专题03圆的取值范围与最值问题题型全归纳（原卷版）.docx

专题03圆的取值范围与最值问题题型全归纳【考点预测】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：(1)形如心 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.x-a(2)形如 =办+b的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如根= (% a)2+(y 加2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(°, b)的距离平方的最值问题【方法技巧与总结】解决圆中的范围与最值问题常用的策略：(1)数形结合(2)多与圆心联系(3)参数方程(4)代数角度转化成函数值域问题【题型归纳目录】题型一：斜率型题型二：直线型题型三：距离型题型四：长度、周长、面积型题型五：数量积型【典例例题】题型一：斜率型例L (2022.上海市控江中学高二期末)已知点P(%,y)在圆(-l+(y-1=3上运动，则上三的最大值为 x 3()A. -6-V30 B. 6 + V30C. 6 +而D. 6-730例2. (2022甘肃永昌县第一高级中学高二阶段练习(理)已知实数羽y满足方程Y + V41+1 = 0,则上 x的最大值和最小值的和是()A. 1B. 0C. V3D. -V3例3.(2022全国高二专题练习)若实数x, y满足/+产4xi4y+45=0,则下列关于二 的最值的判断 x + 2正确的是（）A.最大值为2+6，最小值为一26B.最大值为2+6，最小值为2QC.最大值为一2+，最小值为一2一6D.最大值为一2+6，最小值为26例4.（2022.全国.高二课时练习）已知圆G：/ + y2=2,圆26丁+ 丁=4.若过点（0, -2）的直线/与圆G、。2都有公共点，则直线斜率的取值范围是（）A. -1,73 B.。,6C. T（）Ul6 D. 1,6例5.（2022.全国.高二课时练习）若直线/：&-y-2 = 0与曲线c：6i7 = x-l有两个交点，则实数左 的取值范围是（）"J14八A.不2B.彳，4（3（3）-4、<41（4）C. -2, u ,2D. 77，+0°_3）（33J例6.（2022.甘肃.永昌县第一高级中学高二阶段练习（文）若P（x, y）在圆（x3）2+。 6）2 = 6上运动，则上的最大值为.x题型二：直线型例7.（2022贵州.高二学业考试）已知平面向量痴1满足同= l,cos = ；,片一4£石+3 = 0,则忸-4的 最小值是（）A.立匚B.立C. V3D. V3-122例8.（2022四川广安二中高二阶段练习（理）若（x，V）满足关系式£ +4x-4y = 0,则x+y-4的最大值为;例9.（2022全国高二课时练习）已知点是函数 ） =匚？ 的图象上的动点，则|4加+3-21|的最 小值为.题型三：距离型例10. （2022全国高二课时练习）已知点P（m, ）在圆。:（-2+（丁-2）2=9上运动，则（根+2了+（ + 17 的最大值为.例11. （2022.全国高二单元测试）若x, y满足/ + >2_21+ 4>-20 = 0,则/+尸的最小值是（）A. 5B. 5 右C. 30-1075 D.无法确定例12. （2022全国高二课时练习）已知"为圆C:（x-2+（y-7=8上任意一点，且点。（-2,3）,则|国 的最大值为,最小值为.例13.（2022全国高二课时练习）若圆。的方程为Y + y2+4x + 4y + 5 = （）,点P是圆。上的动点，点。为 坐标原点，则|OP|的最大值为,最小值为.例14.（多选题）（2022全国高二专题练习）圆储：/ +2- 2%=0和圆。2：/ +Y2+2工4=。的交点为4B,则（）A.公共弦所在直线的方程为1-> = 0B.线段A5中垂线方程为x+y 1 =。C.公共弦A3的长为也2D. P为圆。上一动点，则尸到直线AB距离的最大值为,+ 1例15. （2022,全国高二课时练习）已知点P（m,根在圆C:（%_2y+（y_2）2=9上运动,则（机+ 2+（ +了的最大值为,最小值为,布与7的范围为.题型四：长度、周长、面积型例16. （2022江苏高二专题练习）已知直线3x-4y 1 =。与圆C：Q-iy+（y + 2）2 = 16相交于A, 8两点,P为圆。上的动点，则R4B面积的最大值为（）A. 8a/3B. 10a/3C. 12a/3D. 16a/3例17.（2022.全国高二课时练习）点。（乂田是直线/："+丁 + 3 =。上一动点，PA,总是圆C:/ + / =。 的两条切线，A B是切点、,若四边形R1CB面积的最小值为2,则攵的值为.例18.（2022全国高二课时练习）已知P,。分别是圆C:（x-4+ 丁=8,圆。+（y-4=1上的动点，O是坐标原点，则PQ + PO的最小值是.例19.（2022.全国高二课时练习）已知线段A3的端点8的坐标是（6,5）,端点A在圆G ：口-4+（y-3=4 上运动.（1）求线段A5的中点P的轨迹。2的方程；若点c在曲线G上运动，点。在轴上运动，求|QA|+|QC|的最小值.例20. （2022全国高二专题练习）在平面直角坐标系1。），中.已知圆。经过4（0,2）,。（0,0）,。&0）«>0） 三点，以是线段AO上的动点，44是过点6（1,0）且互相垂直的两条直线，其中4交y轴于点E, 4交圆。于 P,。两点.（1）若才=尸。=6,求直线4的方程；若看是使AM恒成立的最小正整数，求即。的面积的最小值.例21. （2022全国高二课时练习）已知4（2,0）, B （0, 2）, P是圆C： /十产十息一2y =。上的动点，点 M, N在圆。上，且关于直线-丁一1 =。对称.（1）求圆C的圆心坐标及半径；求雨5面积的最大值S.例22. （2022.江苏.高二专题练习）已知A（2,O）、B（8,0）、C（4,2）,且动点尸满足周=；,则21Pq+ |即取 得最小值时，点P的坐标是.例23.（2022.江苏江苏.高二期中）在圆M + y22x 6y = 0内，过点石（0,1）互相垂直的两条直线4 , 4与圆 分别相交于点4。和' D,则四边形ABC。的面积的最大值为.例24. （2022.全国.高二课时练习）在A3C中，AB = 2, AC = SC（Z >1）,则当ABC面积的最大值为2及 时,k.例25. （2022.全国.高二课时练习）已知边长为2的等边三角形43C,。是平面43C内一点，且满足DB-.DC = 2A,则三角形ABD面积的最小值是（）|（a/3-1） B. |（V3 + 1） C.苧D.乎例26. （2022全国,高二课时练习）已知P是半圆C J2y _ y2 =_%上的点,Q是直线x-y-1 =。上的一点， 贝”尸。的最小值为（）A. B. 72-1C. -1D.222例27. （2022全国高二课时练习）若圆C:（x + l+（y 2）2=2关于直线2公+勿+ 6 =（）对,称，由点尸伍向圆C作切线，切点为4则I尸山的最小值是（）A. 6B. 4C. 3D. 2例28. （2022.全国高二单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：己知动点M与两定点。,P的距离之比愣一九合。，。1），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为f +y2=i,定点。为工 （1轴上一点，P -,0且 = 2,若点3（1,1）,则21Mpi+ |加到的最小值为（）A. V6B. V?C. V10D.而题型五：数量积型例29.（多选题）（2022河北石家庄高二期末）设相£?,直线如一3根+1=。与直线x + “y 3根1 = 0相 交于点P（x»）,线段AB是圆C：（x + 2）2+（y + l）2=9的一条动弦，。为弦的中点，|4例=4收，下列说 法正确的是（）A.点P在定圆（% 2）2+（）- 2）2=8上B.点。在圆C外C.线段PQ长的最大值为6 +血D.丽丽的最小值为15-8立例30.（多选题）（2022浙江省杭州学军中学高二期中）过点A（-G/）作圆G：Y + y2=4的切线/,2是圆。2：X2 + 丁2-4% = 0上的动点，则下列说法中正确的是（）A.切线/的方程为Tlx-y + 4 = 0B.圆G与圆。2的公共弦所在直线方程为x = lC.点P到直线/的距离的最小值为1D.点。为坐标原点，则;丽的最大值为26+ 4例3L （2022上海市崇明中学高二期中）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A =（3,0）I = （-l,2）,动点 产的轨迹满足丽.丽=4，则|。尸|的最大值为.例32. （2022.江苏.高二专题练习）已知圆。:/+（丁 2）2=26及定点4（0,-2）,点P，。为圆。上两动点,点用为弦PQ的中点，若丽版=0,则点"到点N（3,4）的距离的最大值为.【同步练习】一、单选题1. （2022全国高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知直线/： xcos9 + ysin9 = l,当。变化时，动 直线始终没有经过点P,定点。的坐标为（-2,0）,则|PQ|的取值范围为（）A. 0,2B.（0,2）C. 1,V3D. （1,3）2. （2022江苏高二阶段练习）在平面直角坐标系次9中，已知点在圆。:2 + /一2,7tx 2+ /15 = 0内，动直线A3过点P且交圆。于A8两点，若ABC的面积的最大值为8, 则实数加的取值范围是（）A.（3-2百,3 + 26）B. 1,5C.（3-273,1u5,3 + 2a/3）D. （8,lu5,+”）3. （2022江苏高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:/+ 丁向，若曲线丁 =%,-1| + 2上存 a在四个点4（1 = 123,4）,过动点Pi作圆。的两条切线，4 B为切点,满足踮%=；,则左的取值范围为（）44C. （一°0,一7）U（-q,-1）D. （-7,-） U（-hO）4. （2022.全国.高二课时练习）已知点（加,）在过（-2,0）点且与直线2x-y =。垂直的直线上，则圆。：+（y + l=4上的点到点M（北小的轨迹的距离的最大值为（）A. 1B. 2C. 5D. 3755.（2022.天津南开.高二期末）已知函数小）=丁+"7i=/卜+ 2 j 是偶函数，则/（、）的图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是（）.A. 6B. 4C. 2D. 0二、多选题6. （2022江苏高二专题练习）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线.已知圆。，的圆心在。钻的欧拉线/上，。为坐标原点，点8(4,1)与点4(1,4)在圆0,上，且满足。2，。右，则下列说法正确的是()A.圆 O'的方程为 f + 丁 _4x _ 4y + 3 = 0B. /的方程为x-y =。C.圆O'上的点到/的最大距离为3D.若点(%,y)在圆O'上，则x-丁的取值范围是-3近,3&7. (2022江苏高二单元测试)点P在圆G：/ + y2=i上，点。在圆G：/ + y26工+ 8丁 + 24 =。上，则()A. |PQ|的最小值为3B. |尸。|的最大值为74C.两个圆心所在的直线斜率为-4D.两个圆相交8. (2022.湖南衡阳.高二期末)已知向量£,瓦2满足忖=3,忖=1弧-0 = 77,口 = 2尸-4.设说=亦”£咫，则()A.而一2的最小值为及B.而一2的最小值为26-2C.正一"的最大值为26 + 2D.肩一2无最大值(2022云南罗平县第一中学高二期末)圆C x2 + /+4%-6y-3 = 0,直线/：3x 4y 7 =。，点p在圆。上，点Q在直线/上，则下列结论正确的是()A.直线/与圆。相交B.忸。|的最小值是1C.若P到直线/的距离为2 ,则点尸有2个D.从。点向圆C引切线，则切线段的最小值是4三、填空题9. (2022全国高二专题练习)已知f+y2=l,则工的取值范围是.x + 211. (2022上海华东师范大学附属东昌中学高二期末)实数(%,)满足d+(y 2)2=1,则-2y的取值范围是.12. (2022江苏高二专题练习)已知点P是圆f +>2=1上任意一点，则上的取值范围为.x-2(2022.上海市崇明中学高二期中)若对圆(x-3)2+(y-2/=1上任意一点P(x,y),|3x-4y + a|+|9-3x + 4y|的取值与x、>无关，则实数。的取值范围是.13. （2022.全国高二课时练习）设直线3x+4y-5 = 0与圆q：Y + y2=4交于a,吕两点，若圆。2的圆心在线段AB上，且圆。2与圆C相切，切点在圆G的劣弧A8上，则圆G的半径的最大值是.14. （2022全国高二专题练习）已知直线/： x-丁 + 4 = 0与x轴相交于点A,过直线/上的动点P作圆 f+ >2=4的两条切线，切点分别为。，。两点，记M是。的中点，则的最小值为.15. （2022全国高二专题练习）已知直线/： ） =制一2）+ 2与圆C： Y+y =9交于4为两点，则弦长馆却 的最小值为.四、解答题（2022全国高二单元测试）已知圆O：x2 + y2=，&>o）,直线/：履一丫 一以=0,当左=当时，直线/与 圆。恰好相切.求圆。的方程；若直线/上存在距离为2的两点N,在圆。上存在一点P,使得丽两二。，求实数Z的取值范围.16. （2022云南昆明一中高二期中）已知椭圆£： 一+ >2=1上任意一点人 过点Q作轴，。为垂足， 3且两邛麻求动点m的轨迹r的方程；（2）设直线/与曲线相切，且与椭圆E交于A , 3两点,求03面积的最大值（。为坐标原点）.17. （2022.全国.高二专题练习）在平面直角坐标系宜为中，圆。的方程为（x-2）2+9=1,“为圆。的圆心，过原点0的直线/与圆。相交于A3两点（A,3两点均不在x轴上）.求面积的最大值.18. （2022.全国高二单元测试）已知圆。：/+ / + 2%一4丁 + 3 = 0.若圆。的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；从圆C外一点尸（不必）向该圆引一条切线，切点、为M,。为坐标原点，且有|尸间= |PO,求使得PM的 长度取得最小值的点P的坐标.五、双空题（2022全国高二单元测试）在平面直角坐标系xOy中，直线/过点4（0, 4）且与曲线£+9 =4（%>。） 相切于点&则直线/的方程是.设£是线段。8中点，长度为2的线段PQ（P在。的上方）在直线/上滑动，则。P+EQ的最小值是.19. （2022全国高二课时练习）已知为圆。:（工-2）2+（丁-7）2=8上任意一点，且点。（-2,3）,则|阿 的 最大值为，最小值为