人教B版选择性必修第一册2.3.4圆与圆的位置关系学案.docx
【标题】2. 3. 4圆与圆的位置关系今日头条相交：网与眼的位置关系：HUQ?：F|>0, r2>0圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含.强吆圆与圆的位置关系的判定位置关系位置关系d>ri +。d =r + nl - r2l<d<ri + r2d=|ri r?l1 .几何法：若两圆的半径分别为内、废，两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如表:与n、P2的关系2 .代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.圆Ci方程）消元（"一1兀一.圆。2方程JZ > o=>相交次方程（ d = On内切或外切/ <0=外离或内含一、思考判断（正确的打“«”，错误的打“X”）1 .如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（X）2 .如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（X）3 .从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.（X ） 二、思考题1 .用代数法消元后若AV0成立，是否两圆相离？答案：不一定，可能相离或内含.2 .将两个相交的非同心圆的方程f+V+O4+&>，+后=0 （/=1, 2）相减，可得一直线方程，这条直线方程 具有什么样的特殊性呢？答案：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在 的直线. >探究1圆与圆的位置关系的判断判断圆与圆的位置关系的一般步骤：（1）将两圆的方程化为标准方程（若圆方程已是标准形式，此步骤不需要）.(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长ri, rz.(3)求两圆的圆心距d.(4)比较d与|rirz|,n+门的大小关系.(5)根据大小关系确定位置关系.【例 I】已知圆 a： /+)，22"a+4.y+"尸一5=0,圆。2： x2+r+2.v-2/77y+w2-3=O.(1)当，"为何值时，圆G与圆C2外切？(2)当圆G与圆C2内含时，求m的取值范围？思路点拨关键将圆的方程表示为标准方程，然后再利用外切、内含的条件列出方程或不等式即可.解析：对于圆G与圆C2的方程，经配方后，有Ci： (xin) 2+ (>,4-2) 2 =9. Ciz (x+1) 2+ (ym) 2 =4.两圆的圆心 a (?，-2) , C2 ( 1, W ,半径门=3, n=2,且|CC2| =J(m + (m + 2尸.(I)若圆Ci与圆C2相外切，则|。心|=外+心，即 J(m + 1)2 + (m + 2尸=5.解得 ?=5 或，=2.(2)若圆G与圆C2内含,则|CiC21Vl废一川=1,即，(m+l)2 + (m + 2)2< 1.解得一2<加< 1.【针对训练】1.两圆 G： f+y2-2v3=0, C2： f+y24x+2y+3=0 公切线条数是(B)A. IB. 2C. 3 D. 4解析：法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x-1) 2+/=4, (x-2) 2+ ()，+1) 2=2, 所以两圆圆心为G (1, 0) , C2 (2, -1),半径为门=2, S 则|GQ| =J(l-2)2 + (0 + 1尸=近,门 =2+或，门一门=2企，故，1 AV|GC2|Vri + r2,两圆相交.所以公切线条数是2条.法二(代数法)联立方程后篝着黑3 = 0,解得匕111；匕211，即方程组有2组解.，也就是说两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交.所以公切线条数是2条.2 .当实数攵为何值时，两圆G：/+产+4工-6>，+12=0, C2： f+y2-2l14)，+A=0相交、相切、外离？ 解析：将两圆的一般方程化为标准方程，Ci： (x+2) 2+ (y3) 2=,C2： (x-1) 2+ (y-7) 2 =50匕圆。的圆心为G (-2, 3),半径长n=l；圆C2的圆心为。2 (1, 7),半径长9=同玉(攵<50),从而 |G C2I ='(21)2 + (37)2 =5.当1 +，50-k=5,即太=34时，两圆外切.当|同工一1|=5,即同玉=6,即=14时，两圆内切.当|同4一1|<5<1+同玉，即14VZV34时，两圆相交.当|同仄- 1|>5,即34Vz50时，两圆外离.探究2两圆相切问题处理两圆相切问题的两个步骤：(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论.(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径 之和(外切时).【例2】(1)以(3, -4)为圆心，且与圆f+=64内切的圆的方程为工曰L?+ 3422=9或0二) 2+(y+4) 2=169(2)圆 Ci： (x?)2 + (y+2) 2=9 与圆 C2： (x+I) 2+ (ym) 2=4 外切，则?的值为 2 或一5.思路点拨首先判断两圆是内切还是外切，然后确定圆心距是等于半径差还是半径和，注意结合图形求解.解析：(1)设所求圆的半径为入则j32 + (-4)2 =|8 一小 所以r=3或r=13,故所求圆的方程为(x-3) 2 4- (y+4) 2K或(x3) 2+ (y+4) 2=169.(2) Ci (in, 2) , ri=3, C2 ( 1» in) > rz=2,由题意得IC1C2I =5,即(?+1) 2+ (?+2) 2 =25,解 得 “2 =2 或 m=5.【针对训练】.若两圆与/+),2+6工一8y11 =0内切，则a的俏为 或1.解析：,/x2+y2=a表示一个圆，二。.两圆的圆心、半径长分别为(0, 0) , «与(-3, 4) , 6.由于两圆内切，则/(0 + 3)2 + (0-4)2=|«6|, 解得a =121或4=1.1 .求与圆f+),2=0外切且与直线x+gy=o相切于点M(3, -V3)的圆的方程.解析：已知圆的方程可化为(x-1) 2+)2 =1,则圆心为C (1,0),半径为1.设所求圆的方程为(xa) 2+ (y/?) 2 =r (r>0).(y(a-l)2 4- b2 = r + 1,今于 x (-y) = -1,解得 b = 0,|a+闻 1 =(r = 2a = 0,或 b = -4V3,r = 6,即所求圆的方程为(x-4) 2+)2 =4或1+ ()，+4次)2=36.>探究3两圆相交的问题1 .求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有 当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.2 .求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所 在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.3 .已知圆G： %2+)2+。4+屈)，+"=0与圆Q： 1+)2+。4+&)，+22=0相交，则过两圆交点的圆的方程 可设为 f+V+Oix+Eiy+Fi + 入(x2 +y2+Z)iv+Eiy-Fz) =0 (1W 1) .【例 3】已知圆 Ci：+),2+64=0 和圆 C2： x2+/+6>'-28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线工一)，-4=0上的圆的方程.思路点拨(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦 长.(2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求 解.解析：（1）设两圆交点为4 （AM V）, B（X2,”），则A, B两点坐标是方程组区 + y2 + 6x-4 = 0,lx2+y2 + 6y-28 = 0,（2）irJW，一，得 l），+4=0.4, 8两点坐标都满足此方程，xy+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.又圆G的圆心（一3, 0） , r=V13,Ci到直线AB的距离为4=曾=4，A AB =2庐不=2J13-1 =5企,A AB =2庐不=2J13-1 =5企,yj 2即两圆的公共弦长为5企.（2）法一：解方程组1x2 + y2 + 6x-4 = 0, x2 + y? + 6y-28 = 0,得两圆的交点A （-1, 3） , B （-6, -2）.设所求圆的圆心为（a, b）,因圆心在直线工一），-4二0上，故/?=-4.则 J（a + （a-4-3）2=J（a + 6）2 + （a-4 + 2）2,解得注,故圆心为g ?，半径为佟故圆的方程为（X-1） 2+ （），+夕2=p即/+产一彳+7厂32=0.法二：设所求圆的方程为r+V+Gx4+入（X2+）2+6），-28） =0 （九W1）,其圆心为（一义，笠），代入x4=0,解得入=-7. 1+A1+A故所求圆的方程为F+），x+7,3 2=0.【针对训练】.圆。：+_），24彳+6）=0和圆02：+），2-6x=0交于A, 8两点，则线段AB的垂直平分线的方程是直二 90解析：两圆的方程相减得所在直线的方程为x+3），=0,圆。的圆心为（2, -3）,所以线段A8的垂直平分 线的方程为y+3=3 （x-2）,即族一），-9=0.1 .求圆G：1+）2=1与圆。2： f+）,22K2），+l=0的公共弦所在直线被圆C3： （x-l） 2+ （y-1） ?=日所截 得的弦长.解析：设两圆的交点坐标分别为A （xi, yi） , B （也，然），则A, 3的坐标是方程组两式相减得+），-1=0.因为A, 8两点的坐标满足x+y1 =0,所以AB所在直线方程为x+y 1 =0,即G, C2的公共弦所在直线方程为x+y1=0,圆C3的圆心为（1, 1）,其到直线AB的距离（/=% 由条件知户一才=竽一：=日， v2424所以直线被圆C3截得的弦长为2X”=后.1 .已知两圆的圆心距为6,两圆的半径分别是方程/一6工+8=0的两个根，则两圆的位置关系为（B）A.外离B.外切C.相交 D.内切解析：由题意知力+ m=6,两圆外切.2 .两圆 f+y2-4工-6)，+9=0 和/+)2+12t+6y19=0 的位置关系是(B)A.外离 B.外切C.相交 D.内切解析：两圆的圆心分别为(2, 3) , (-6, -3),半径分别为2, 8.所以两圆的圆心距d =J(2 +6产+ (3 + 3>=10, J 10=2+8,即 d=+m,两圆外切.3 .两圆 f+)2=户与(x-2) 2+ (y+1) 2=r (r>0)外切，则，的值是(C)A. V5B. 5C. v D. 2V5解析：两圆外切，圆心距 d =J(0-2)2 + (o + 1)2 =2,解得,=y.4 .已知两圆/+)2+4.1+6)，+10=0与f+.y2-2i+8)，+6=0相交于A, B两点、,则直线AB的方程为3m±2三 0解析：两圆的方程相减，得6x2y+4=0,即3xy+2=O.5 .已知圆G：/+ (>-«2) 2=/的圆心到直线X),2=0的距离为2A2 判断圆Ci与圆C2：1+)22x4.y+ 4=0的位置关系.解析：圆Ci： jr+ (ya2) 2="的圆心为(°,标)，半径为圆心到直线工一厂2=0的距离为d= 需停=2a,解得/=2.圆G： F+ ()，-2) 2=4的圆心为A (0, 2),半径为门=2,圆 C2：2x4y+4 =0 的标准方程为(x I ) 2+ (y2) 2 =1,圆心坐标为8 (1, 2),半径n=1,圆心距 d =J(0-l)2 + (2-2)2 = =n n,两圆相内切.
