高考数学一轮复习第八章立体几何第七节热点专题__立体几何中的热点问题课后作业理.doc

1【创新方案创新方案】2017】2017 届高考数学一轮复习届高考数学一轮复习 第八章第八章 立体几何立体几何 第七节第七节 热点专题热点专题立体几何中的热点问题课后作业立体几何中的热点问题课后作业 理理1在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB2BC4，BFCFAEDE，EF2，EFAB，AFCF.(1)若G为FC的中点，证明：AF平面BDG；(2)求平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值2. (2016·长春模拟)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60°，PD平面ABCD，PDAD1，点E，F分别为AB和PD的中点(1)求证：直线AF平面PEC；(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值3. (2016·兰州模拟)如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB2，BCCD1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C.(1)求证：AD1BC；(2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余 3弦值24.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，ABC60°，AB2CB2.在梯形ACEF中，EFAC，且AC2EF，EC平面ABCD.(1)求证：BCAF；(2)若二面角D­AF­C的大小为 45°，求CE的长5如图是多面体ABC­A1B1C1和它的三视图(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA所成的角(锐角)的余弦值6如图，在 RtABC中，ABBC4，点E在线段AB上过点E作EFBC交AC于点F，将AEF沿EF折起到PEF的位置(点A与P重合)，使得PEB60°.(1)求证：EFPB；3(2)试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P­FC­B的平面角的余弦值是否为定值？答 案1解：(1)证明：如图，连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，点G为FC的中点，OGAF.AF平面BDG，OG平面BDG，AF平面BDG. (2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQABEF，M，Q，F，E共面作FPMQ于P，ENMQ于N，则ENFP且ENFP.连接EM，FQ，AEDEBFCF，ADBC，ADE和BCF全等，EMFQ，ENM和FPQ全等，MNPQ1，BFCF，Q为BC的中点，BCFQ，又BCMQ，FQMQQ，BC平面MQFE，PFBC，PF平面ABCD.以P为原点，PM为x轴，PF为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(3,1,0)，B(1,1,0)，C(1，1,0)，得Error!令z11，得x10，y12，同理得平面BCF的一个法向量为n n2(2,0,1)，cosn n1，n n2 ，n n1·n n2 |n n1|n n2|15 ×51 54平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为 .1 52.解：(1)证明：如图，作FMCD交PC于M，连接ME. 点F为PD的中点，FMCD.1 2AEABFM，1 2AEMF为平行四边形，AFEM.AF平面PEC，EM平面PEC，直线AF平面PEC.(2)连接DE，DAB60°，DEDC. 如图所示，建立坐标系，则P(0，0,1)，C(0,1,0)，E，A， ，0，B(32，0，0)321 2，(32，12，0) Error!取x1，则z，平面PAB的一个法向量为n n.32(1，0，32)5PC与平面PAB所成角的正弦值为.42143.解：(1)证明：连接D1C，则D1C平面ABCD，D1CBC.在等腰梯形ABCD中，连接AC，AB2，BCCD1，ABCD，BCAC，BC平面AD1C，AD1BC.(2)法一：ABCD，D1DC， 3CD1，D1C.3在底面ABCD中作CMAB，连接D1M，则D1MAB，D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角在 RtD1CM中，CM，D1C，323D1M，cosD1MC，CM2D1C215255即平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.55法二：由(1)知AC，BC，D1C两两垂直，ABCD，D1DC， 3CD1，D1C.3在等腰梯形ABCD中，AB2，BCCD1，ABCD，AC，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，33D1(0,0，)，3设平面ABC1D1的法向量n n(x，y，z)，可得平面ABC1D1的一个法向量n n(1， ，1)36平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.554.解：(1)证明：在ABC中，AC2AB2BC22AB·BCcos 60°3，所以AB2AC2BC2，由勾股定理知ACB90°，所以BCAC.又因为EC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCEC.又因为ACECC，所以BC平面ACEF，又AF平面ACEF，所以BCAF.(2)因为EC平面ABCD，又由(1)知BCAC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz.设CEh，则C(0,0,0)，A(，0,0)，F，D（， ，0） ，3(32，0，h)321 2设平面DAF的法向量为n n1(x，y，z)，令x，所以n n1.3(3，3，3 2h)又平面AFEC的一个法向量n n2(0,1,0)，所以 cos 45°，解得h，|n n1·n n2| |n n1|n n2|2264所以CE的长为.645解：7(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，C1(1，1,2)，则(1,1,2)，(1，1,0)，(0，2，2)设E(x，y，z)，则(x，y2，z)，(1x，1y,2z)则Error! 则E，.( 1，2 1，2 1)(2 1，2 1，2 1)得Error!解得2，所以线段CC1上存在满足条件的一点E，使BE平面A1CC1.(2)设平面C1A1C的法向量为m m(x，y，z)，取x1，则y1，z1，故m m(1，1,1)而平面A1CA的一个法向量为n n(1,0,0)，则 cosm m，n n，m m·n n |m m|n n|1333故平面C1A1C与平面A1CA所成的角(锐角)的余弦值为.336解：(1)证明：在 RtABC中，EFBC，EFAB，EFEB，EFEP.又EBEPE，EB，EP平面PEB，EF平面PEB.又PB平面PEB，EFPB.(2)在平面PEB内，过点P作PDBE于点D，由(1)知EF平面PEB，EFPD，8又BEEFE，BE，EF平面BCFE，PD平面BCFE.在平面PEB内过点B作直线BHPD，则BH平面BCFE.如图所示，以B为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系设PEx(0x4)，又ABBC4，BE4x，EFx.在 RtPED中，PED60°，PDx，DEx，BD4xx4x，321 21 23 2C(4,0,0)，F(x,4x,0)，P.(0，43 2x，32x)从而(x4,4x,0)，.(4，43 2x，32x)设n n1(x0，y0，z0)是平面PCF的一个法向量，即Error!Error!取y01，得n n1(1,1，)是平面PFC的一个法向量3又平面BFC的一个法向量为n n2(0,0,1)，设二面角P­FC­B的平面角为，则 cos |cosn n1，n n2|.|n n1·n n2 |n n1|n n2|155因此当点E在线段AB上移动时，二面角P­FC­B的平面角的余弦值为定值，且定值为.155