《概率论与数理统计》习题.doc

第一章 概率论的基本概念1. 设为三个随机事件，用的运算表示下列事件： (1)、都发生； (2)、发生, 不发生； (3)、都不发生； (4)、中至少有一个发生而不发生； (5)、中至少有一个发生； (6)、中至多有一个发生； (7)、中至多有两个发生； (8)、中恰有两个发生。 解： (1)、 ； (2)、 或；(3)、；(4)、 或； (5)、 ；(6)、或； (7)、 或； (8)、 . 2. 设为三个随机事件, 已知： ，。 试求，。 解： ； ； 注: 因为，所以，即。 3. 将一颗骰子投掷两次， 依次记录所得点数， 试求： (1)、两次点数相同的概率； (2)、两次点数之差的绝对值为1的概率； (3)、两次点数的乘积小于等于12的概率。 解：(1)、用表示“两次投掷点数相同”， 则： =(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)。 因为样本空间的样本点数为36，的样本点数为6， 所以 。 (2)、用表示“两次点数之差的绝对值为1”, 则： =(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)。 因为样本空间的样本点数为36, 的样本点数为10, 所以 。 (3)、用表示“两次点数的乘积小于等于12”, 则： =(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),(2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2),(3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3),(5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2)。 因为样本空间的样本点数为36, 的样本点数为23, 所以 4. 设一袋中有编号为1, 2, 3, × × ×, 9的球共9只, 某人从中任取3只球, 试求： (1)、取到1号球的概率； (2)、最小号码为5的概率； (3)、所取3只球的号码从小到大排序，中间号码恰为5的概率； (4)、2号球或3号球中至少有一只没有取到的概率。 解： (1)、用表示 “取到1号球”, 则：. (2)、用表示“最小号码为5”, 因为发生表示其中一球的号码为5, 其它两个球的号码为6, 7, 8, 9。 因此. (3)、用表示“所取号码从小到大排序，中间号码恰为5”。 因为发生表示其中一只球的号码为5, 其它两个球的号码分别为1, 2, 3, 4和6, 7, 8, 9，因此. (4)、用表示“2号球没有取到”，表示“3号球没有取到”， 则2号球或3号球中至少有一只没有取到可表示为， 于是. 5. 已知，试求： (1) ； (2)； (3)； (4)。 解：(1)、； (2)、； (3)、； (4)、 。 6. 设有甲、乙、丙三个小朋友, 甲得病的概率是0.05, 在甲得病的条件下乙得病的概率是0.40, 在甲、乙两人均得病的条件下丙得病的条件概率是0.80, 试求甲、乙、丙三人均得病的概率。 解： 用表示“甲得病”, 表示“乙得病”, 表示“丙得病”, 则：，0.80，所求概率为： 。 7. 设某人按如下原则决定某日的活动： 如该天下雨则以0.2的概率外出购物，以0.8的概率去探访朋友； 如该天不下雨，则以0.9的概率外出购物，以0.1的概率去探访朋友。设某地下雨的概率是0.3。试求： (1) 那天他外出购物的概率； (2) 若已知他那天外出购物，则那天下雨的概率。 解： 用表示“该天下雨”, 用表示“外出购物”, 则： ，,。 (1)、所求概率为： (2)、所求概率为： . 8. 设在某一男、女人数相等的从群中, 已知5%的男人和0.25%的女人患有色盲. 今从该人群中随机地选择一人, 试问: (1) 该人患有色盲的概率是多少？ (2) 若已知该人患有色盲, 那么他是男性的概率是多少？解： 用表示“选到男”，用表示“所选的人是色盲”，则 ，. (1)、所求概率为： (2)、所求概率为：. 9. 设、是相互独立的随机事件，。试求： (1) ；(2) ；(3) ； (4) 。 解： (1)、； (2)、； (3)、； (4)、. 10. 甲、乙、丙三门大炮对某敌机进行独立射击, 设每门炮的命中率依次为0.7、0.8、0.9，若敌机被命中两弹或两弹以上则被击落。设三门炮同时射击一次，试求敌机被击落的概率。解：用表示“甲命中”，表示“乙命中”，表示“乙命中”，表示“敌机被击落”。则： ，。所求概率为： =。 第二章 随机变量及其分布 1. 甲、乙、丙3人进行独立射击, 每人的命中率依次为0.3、0.4、0.6，设每人射击一次，试求3人命中总数之概率分布律。 解： 用表示3人命中总数，则的取值为0，1，2，3。 用表示 “甲命中”，表示 “乙命中”，表示 “命中”。则： P(X=0)=P(=0.7´0.6´0.4=0.168, P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =0.3´0.6´0.4+0.7´0.4´0.4+0.3´0.6´0.6=0.436, . 0123 0.1680.4360.3240.072 2. 设对某批产品的验收敛方案为: 从该批产品中随机地抽查5件产品, 若次品数小于等于1, 则该批产品通过验收敛, 否则不予通过, 若某批产品的次品率为0.05, 试求该批产品通过验收敛的概率. 解： 用表示5件产品中的次品数，则。于该批产品通过验收敛的概率为： =0.9774. 3. 某份试卷有10道选择题，每题共有A, B, C, D四个答案供选择， 其中只有一个答案是正确的。设某人对每道题均随机地选择答案，试求该生10道题中恰好答对6道题的概率是多少？解： 用表示10道题中答对的题目数, 则。于是该生10道题中恰好答对6道题的概率是：. 4. 设随机变量具有分布函数：. 试求：，.解： ， ， ， .5. 设随机变量具有概率密度 (1)、求常数， (2)、求的分布函数， (3)、求的取值落在区间内的概率。 解： (1)、由于, 因此得. (2)、当时，； 当时，； 当时，. 综合以上即得分布函数 (3)、 的取值落在区间内的概率为： . 6. 设随机变量，求，以及常数的范围，使.解： ； = =0.6915-1-0.8413=0.5328； ； 0.9772-0.9987+1 0.9785； ，要使，只需，即, 查表得，故. 7. 设某批鸡蛋每只的重量(以克计)服从正态分布，. (1)、求从该批鸡蛋中任取一只, 其重量不足45克的概率； (2)、从该批鸡蛋中任取一只, 其重量介于40克到60克之间的概率； (3)、若从该批鸡蛋中任取五只, 试求恰有2只鸡蛋不足45克的概率； (4)、从该批鸡蛋中任取一只其重量超过60克的概率； (5)、求最小的，使从中任选只鸡蛋，其中至少有一只鸡蛋的重量超过60克的概率大于0.99.解：(1)、； (2)、 =2´0.9772-1=0.9544； (3)、设为5只鸡蛋中重量不足45克的鸡蛋数，则，故所求概率为：； (4)、； (5)、设表示只鸡蛋中重量大于60克的鸡蛋数，则. 因为，所以要使，只需，即 ，解得 . 8.设随机变量具有概率分布律：-3-2-10123450.080.020.030.170.150.050.200.160.14试求的概率分布律。解: 的取值为0，1，2，3，4，5，其概率分布律为 ， ， ， ， ， . 即0123450.170.180.070.280.160.14第三章 多维随机变量及其分布 1设二维离散型随机变量(, )具有概率分布律36912151810.010.030.020.010.050.0620.020.020.010.050.030.0730.050.040.030.010.020.0340.030.090.060.150.090.02 求的边缘分布律和的边缘分布律。 解： 36912151810.010.030.020.010.050.060.1820.020.020.010.050.030.070.2030.050.040.030.010.020.030.1840.030.090.060.150.090.020.440.110.180.120.220.190.18112340.180.200.180.443691215180.110.180.120.220.190.18 2设随机变量(,)具有概率密度. (1)、求的边缘概率密度； (2)、求的边缘概率密度； (3)、求. 解： (1)、 (2)、 (3)、 3设和的联合密度为 (1)、求常数； (2)、求边缘概率密度，； (3)、与是否相互独立？解： (1)、因为：, 所以： . (2)、, . (3)、因为 ，所以与相互独立. 4. 设二维随机变量具有概率密度为:(1)、求边缘概率密度，； (2)、求概率解：(1)、 ， ；(2)、.5. 假设随机变量在区间上服从均匀分布，当取到时，随机变量等可能的在上取值.求的联合概率密度函数，并计算概率解：依题设，的密度函数为：，而随机变量在的条件下，在上服从均匀分布，所以的条件概率密度函数为：，由此可以求出的联合概率密度函数：；因此有： .6. 设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：，求随机变量的概率密度.解： 由于和是相互独立的，故：则的概率密度为：易知仅当：， 即：时，上述积分的被积函数不为零，所以： 7. 设随机变量和相互独立，且服从同一分布，试证明：证明：因为和独立同分布，故：第四章 随机变量的数字特征 1设离散型随机变量具有概率分布律：-2-101230.10.20.20.30.10.1试求，.解：， 2. 将个球随机的丢入编号为的个盒子中去，试求没有球的盒子的个数的数学期望.解： 设： （）， 则：， 没有球的盒子个数为： 因为： 所以： .设球的直径在上服从均匀分布.(1)、试求球的表面积的数学期望（表面积）；(2)、试求球的体积的数学期望（体积）.解： (1)、(2)、4. 设某产品的验收方案是从该产品中任取6只产品，若次品数小于等于1，则该产品通验收；否则不予通过.若某厂该产品的次品率为0.1，试求在10次抽样验收中能通过验收的次数的数学期望。解： 设在一次验收中取到的次品数为，则， 在10次验收中通过验收的次数为，则，其中为一次验收通过的概率，且由题意知：， 5设随机变量具有概率密度. (1)、求常数； (2)、求的数学期望。 解： (1)、由, 得. (2)、. 6设随机变量的概率密度为 .求 ，,.解：因为： , 所以： . . .7设随机变量(,)具有联合概率密度,试求：(1)、的边缘密度； (2)、的边缘密度；(3)、,； (4)、E(Y), ； (5)、与是否不相关？(6)、与是否相互独立？解：. (1)、当时, , 所以; 当时, , 所以：. (2)、同理得. (3)、, . (4)、由对称性知，. (5)、, 所以，和不相关. (6)、因为, 所以与不相互独立. 8设已知三个随机变量,中, , ,.试求： (1)、； (2)、； (3)、.解： (1)、； (2)、+ + . (3)、 = =10.第五章 大数定律及中心极限定理1设某公路段过往车辆发生交通事故的概率为0.0001, 车辆间发生交通事故与否相互独立, 若在某个时间区间内恰有10万辆车辆通过, 试求在该时间内发生交通事故的次数不多于15次的概率的近似值. 解:设在某时间内发生交通事故的次数为，则，由二项分布的性质知 ，由中心极限定理知.2设某学校有1000名学生, 在某一时间区间内每个学生去某阅览室自修的概率是0.05, 且设每个学生去阅览室自修与否相互独立. 试问该阅览室至少应设多少座位才能以不低于0.95的概率保证每个来阅览室自修的学生均有座位？解：设至少应设张座位才能以不低于0.95的概率保证来阅览室的学生都有座位, 并设在同一时间内去阅览室的学生人数为, 则由题意知：，.由中心极限定理知,查表得 ， 所以，即至少应设62张座位才能达到要求。 3. 用Chebyshev 不等式确定当掷一均匀铜币时，需投多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不少于90%，并用正态逼近计算同一问题。解：令 , 是的，并且，从而： 又由正态逼近： 近似正态分布， 当频率时，为使此频率不小于，需.4. 一条生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少,才能保障不超载的概率大于0.977. (, 其中是标准正态分布函 数.)解：，所以，每辆车最多可以装98千克，才能保障不超载的概率大于0.977.5. 设某车间有同型号车床200台，独立工作，开工率0.8，开工时每台车床耗电1kw (千瓦). 问应该至少供多少电，可以99.9%的概率，保证该车间不因供电不足而影响生产？解：，取等号并查表31，故 ， 取.6. 经以往检验已确认某公司组装PC机的次品率为0.04，现对该公司所组装的PC机100台逐个独立的测试，(1)、试求不少于4台次品的概率（写出精确计算的表达式）；(2)、用中心极限定理和Poisson定理给出此概率的两个近似值。解：(1)、 次品数，(2)、 利用中心极限定理， 再利用Poisson逼近，  7. 设随机变量序列依概率收敛于非零常数, 而且， 证明：依概率收敛于.证明：(1)、， 只需证， ，当故依概率收敛到(2)、 当故：依概率收敛于.      第六章 样本及抽样分布  1. 设在总体中抽取样本，其中已知而未知，指出之中，哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？ 解： 都是统计量，因为他们都不含未知参数；不是统计量，因为他含有未知参数. 2. 在总体中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率. 解： 由题意知，故： 3. 求总体的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率.解： 记第一个容量为10的样本的均值为，记第二个容量为15的样本的均值为， 则：故： 4. 在总体中随机抽取一容量为5的样本，求样本平均值与总体平均值之差的绝对值大于1的概率.解： 由题意知，总体均值为12，样本均值为，则：5. 记 为的一个样本，求解： 由的构造知：故： 6. 设在总体中抽取一容量为16的样本，其中均未知，求：(1)、其中为样本方差；(2)、.解： (1)、因为： 所以：(2)、因为：所以： 7. 设为来自泊松分布的一个样本，分别为样本均值和样本方差，求 解： 由题意知 所以：8. 设为来自的一个样本，记求证：解：由题意知：所以： 从而：即：9. 设为来自的一个样本，为样本均值和样本方差，求满足下式的的值：解： 由分布的定义知：故：所以： 第七章 参数估计1. 某种产品被抽样9个样品，测其重量（单位），计算得：。设重量近似服从未知。求总体均值、总体标准差的置信水平为95%置信区间。解：的双侧置信区间为：，即：的双侧置信区间为：0.1584，1.0416的置信区间为：即： 的置信区间为：0.3880, 1.10052. 设总体是泊松分布， 抽取一样本，其样本观测值为，求参数的极大似然估计.   解：首先，建立似然函数 取对数得： 然后，对上式求导，并令其等于零 ，  从而解得   可以验证（取0和正整数）   所以，  是的极大似然估计。  3. 设总体是正态分布，求 和的极大似然估计量。  解：抽取样本，其样本观测值为，     首先，建立似然函数：   两边取对数得 然后，建立似然方程，即两边求偏导，并令其等于零    即    解方程，得： ，    这两个估计分别是，的极大似然估计。（可以验证二阶偏导小于零，即在此估计值时，是极大值）4. 设总体的概率分布为：1 2 3 现在观察容量为3的样本：，求的极大似然估计值.解: 令=2,则：,再使得,5. 设总体(未知)，是样本，试从以下的三个无偏估计量中选送一个最有效的： 解： ，独立 ， ，比较可知，是的最有效的估计量.6.  某车间生产滚珠，从长期的生产实践中知道，可以认为滚珠的直径服从正态分布，从某日的产品中随机取出6件，量得平均直径为，若已知该日产品直径的方差为.试求平均直径的置信区间.解：由于总体方差是已知的，即方差为.均直径的置信区间为 样本均值的观测值为,，, , ,结论：以的把握认为总体均值（平均直径）落入.7. 从某年高考随机抽取102份作文试卷，算得平均得分为26分，标准差为1.5，试估计总体均值95%和99%的置信区间。解：由于是大样本情形，即，总体均值的置信区间为： (1)、 结论：总体均值以95%的可靠性落入,(2)、 , 结论：总体均值以99%的可靠性落入.8. 某自动车床加工零件，抽查16个零件，测得平均长度为12.075，试问该车床所加工的零件长度的方差落在什么范围内？解：假设零件长度服从正态分布，所问的问题即为求总体方差的置信区间，即：总体方差的的置信区间为： 由于， ， ， .结论：总体方差以95%的概率落入置信区间.9. 设有一批胡椒粉，每袋净重（单位：g）服从分布，今任取8袋测得平均净重为12.15；，试求的置信度为0.99的置信区间.解：由于总体方差未知，故的置信度为的置信区间为 ， 样本均值的观测值为， ， .结论：的置信度为0.99的置信区间为.第八章 假设检验1. 某车间用一台包装机包装葡萄糖，规定标准为0.5。设包装机实际生产的每袋重量服从正态分布，且由长期的经验知其标准差。某天开工后，为了检验包装机工作是否正常，随机抽取了9袋，称得净重为，。问这天的包装机工作是否正常？（）解： 设从包装机产品中随机抽取一袋其质量为，则，检验假设, .由于，故用检验：又 ，故不能否定，即认为这天的包装机工作正常2. 一个工厂制成一种新的钓鱼绳，声称其折断平均受力为15公斤，已知标准差为公斤。为检验15公斤这数字是否确实，在该厂产品中随机抽取50件，测得其折断平均受力是14.8公斤，若取显著性水平 ，问是否应该接受厂方声称的15公斤这个数字？解：假定该厂生产的钓鱼绳折断受力，已知标准差为0.5公斤，提出假设： ， 确定检验统计量及其分布： 在假设成立之下，有 将代入上式，.确定显著性水平  ， 拒绝域为： ，显然， ，所以：在显著性水平 上，拒绝，即认为不应该接受厂方这15公斤数字。3. 某苗圃采用两种育苗方案作杨树的育苗试验，在两组育苗试验中，已知苗高服从正态分布，且它们的标准差分别为，现各取60株作为样本，求得样本均值观测值分别为，（厘米），试求以95%的可靠性估计两种试验方案对平均苗高的影响。解：提出假设： ， 确定检验统计量及其分布：在假设成立之下，有 经计算得： 显著性水平，拒绝域为： 显然有3.11>1.96.结论：在显著性水平下，拒绝假设，即第一组苗高显著大于第二组。4. 为了研究一种新化肥对种植小麦的效力，选用13块条件相同面积相等的进行试验。在5块上施肥，在另8块上不施肥。经过基本相同的田间管理，各自平均产量与样本标准差为： ， ， ，.问这种化肥对小麦产量是否有显著影响？（）解：假设两者皆服从正态分布，总体方差未知，提出假设： ， 确定检验统计量及其分布：在假设成立之下，有 ，经计算得 ，显著性水平，显然有  2.2010<2.828，所以：在显著性水平下，拒绝假设，即认为化肥对小麦产量有显著影响.5. 已知维尼龙纤度在正常情况下服从正态分布某日抽取5根纤维，测得平均值为1.414，标准差为0.00778。问这一天纤度的总体标准差是否正常？ 解：提出假设： ， 确定检验统计量及其分布： 在假设成立之下，有 经计算得 ，显著性水平，显然有13.507>11.1，落入拒绝域.结论：在显著性水平下，拒绝假设。认为总体标准差有显著变化.6. 在甲厂抽9个产品，算出它的样本方差在乙厂抽12个产品，算出它的样本方差在显著性水平下，检验假设 （， 分别是甲厂和乙厂产品的方差，又假定各厂产品质量都服从正态分布）解：提出假设： ， 确定检验统计量及其分布： 在假设成立之下，有， 经计算得 ，显著性水平，.结论：在显著性水平下，不能拒绝假设。认为两个厂产品质量方差一致.7. 有两台机器生产金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量的样本，测得部件重量的样本方差分别为设两样本相互独立.两总体分别服从分布.试在显著性水平下检验假设：解： 按题意，需检验假设：此题属于未知时两方差的右边检验，拒绝域为：已知从而 因为：结论：接受第九章 方差分析及回归分析1. 某地区19911995年个人消费支出和收入资料如下： 年份19911992199319941995个人收入（万元） 消费支出（万元） 64  56 70  69 77  66 82  75 92  88 要求：(1)、计算个人收入与消费支出之间的相关系数。(2)、配合消费支出(y)对个人收入(x)的直线回归方程.解： (1)、 (2)、配合回归方程 设回归方程为：2. 为研究产品销售额与销售利润之间的关系。某公司对所属六家企业进行了调查，产品销售额为（万元），销售利润为（万元），调查资料斤经初步整理计算，结果如下： ，.要求： （1）、计算销售额与销售利润之间的相关关系。（2）、配合销售利润对销售额的直线回归方程。 解： (1)、 (2)、配合回归方程 设回归方程为：- 34 -