高考数学大一轮复习不等式选讲第二节不等式证明的基本方法教师用书理选修4_5.doc

- 1 -第二节第二节 不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法。2016，全国卷，24,10 分(比较法证明不等式)2015，全国卷，24,10 分(分析法、综合法证明不等式)2014，全国卷，24,10 分(放缩法、反证法证明不等式)本部分主要考查比较法、综合法、分析法证明不等式，往往应用完全平方式、基本不等式等知识点，有时与函数、数列相结合。微知识 小题练自|主|排|查1比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：ab>0a>b。(2)作商法： >1a>b(a>0，b>0)。a b2综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立。这是一种执果索因的思考和证明方法。3反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。4放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。5柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号当且仅当adbc时成- 2 -立。微点提醒 1作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系。2用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)” “即要证” “就要证”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立。小|题|快|练1设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac ；1 3(2)1。a2 bb2 cc2 a【证明】 (1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca。由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1。所以 3(abbcca)1，即abbcca 。1 3(2)因为b2a，c2b，a2c，a2 bb2 cc2 a故(abc)2(abc)，a2 bb2 cc2 a即abc。a2 bb2 cc2 a所以1。a2 bb2 cc2 a2设a>0，|x1|1；1 2当 0。abab所以a3b3(a2b2)。ab考点二 综合法、分析法证明不等式【典例 2】 (1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x2y3。1 x22xyy2(2)设a，b，c>0 且abbcca1，求证：abc。3- 4 -【证明】 (1)因为x>0，y>0，xy>0，2x2y2(xy)1 x22xyy21 xy2(xy)(xy)1 xy233，(当且仅当xy1 时，等号成立)3xy21 xy2所以 2x2y3。1 x22xyy2(2)因为a，b，c>0，所以要证abc，3只需证(abc)23。即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)。即证：a2b2c2abbcca。而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)a2b2 2b2c2 2c2a2 2成立。所以原不等式成立。反思归纳 用综合法证明不等式是“由因导果” ，用分析法证明不等式是“执果索因” ，它们是两种思路截然相反的证明方法。综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野。【变式训练】 (1)已知n2，求证：>。1nnn1(2)(2016·银川质检)已知a，b，c全为正数，且abc1，求证：1；abbccaa2b2c2 。1 3【证明】 (1)要证>，只需证>。1nnn11nnn1nn1nn1即>，1n1nn1只需证 >，nn1n只需证>0，n1只需证n>1，- 5 -因为n2>1，所以>。1nnn1(2)a，b，c全为正数，且abc1，ab2(当且仅当ab时等号成立)；abbc2(当且仅当bc时等号成立)；bcca2(当且仅当ca时等号成立)，ca2(abc)222(当且仅当abc时等号成立)。abbcca1(当且仅当abc时等号成立)。abbccaa2b2c2 a2b2c2a2b2c2abbcca。1 3abc2 3Error!2(a2b2c2)2ab2bc2aca2b2c2abbcac，a2b2c2 (当且仅当abc时等号成立)。1 3考点三 柯西不等式的应用【典例 3】 (2015·陕西高考)已知关于x的不等式|xa|0，y>0，aR R，bR R。求证：2。(axby xy)a2xb2y xy证明 因为x>0，y>0，所以xy>0。所以要证2，(axby xy)a2xb2y xy即证(axby)2(xy)(a2xb2y)，即证xy(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立。故2(axby xy)。a2xb2y xy3设a>0，b>0，且ab 。证明：1 a1 b(1)ab2；(2)a2a0，b>0，得ab1。1 a1 bab ab(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，当且仅当ab1 时等号ab成立。(2)假设 a2a0 得 0<a<1；同理，0<b<1，从而- 7 -ab<1，这与 ab1 矛盾。故 a2a<2 与 b2b<2 不可能同时成立。