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沪教版初中数学知识点汇总 第九章 整式 第一节整式的概念 9.1.2.3、字母表示数 代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的数或字母也是代数式。代数式的书写：1、代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则。2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面。3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式。4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式。5、代数式不能含有“=、”符号。代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式的值。注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加。2、若带入的值是负数时，应添上括号。3、注意解题格式规范，应写“当.时，原式=.”.4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义。9.4 整式 1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独一个数或字母 也是单项式。2、系 数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项 式的次数。4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，变换过程中面积相等 的表达式。拓展：.立方和公式：（）（）；.立方差公式：（）（）。（）（）-。9.12 完全平方公式：内容：（）；（）。意义：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的倍。两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的倍。特征：.左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其 中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的倍，可简记为“首平方，尾平方，积的倍在中央。”.公式中的、可以是单项式，也可以是多项式。推广：.（）c；.（）；.（）。第五节因式分解 因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式 的积。注意：因式分解的要求：.结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；.每个因式必须是整式；.各因式要分解到不能分解为止。因式分解与整式乘法的关系：是两种不同的变形过程，即互逆关系。9.13 提取公因式法：提公因式法分解因式：（），这个变形就是提公因式法分解因式。这里的可以代表单项式，也可以代表多项式，称为公因式。确定公因式方法：系数：取多项式各项系数的最大公约数。字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。9.14 公式法 利用公式法分解因式：.平方差公式：（）（）。.完全平方公式：（）；（）。.立方和与立方差公式：（）（）；（）（）。注意：（）公式中的字母、可代表一个数、一个单项式或一个多项式。（）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式 应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可 考虑用完全平方公式。9.15.十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解 因式的方法叫做十字相乘法。（）（）（）。9.16 分组分解法：.将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解。.适用范围：适合四项以上的多项式的分解。分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。其他方法：.求根公式法：若+（）的两根是、，+=（-）（-）。因式分解的一般步骤及注意问题：对多项式各项有公因式时，应先提供因式。多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差 公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的 因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。第六节整式除法：9.17 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于零的数的零次幂为 1，既：9.18 单项式除以单项式：单项式与单项式相除的法则：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意：两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。只在被除式里含有的字母不不要漏掉。9.19 多项式与单项式相除：多项式与单项式相除的法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即（+）=+。注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样计算的。整式的混合运算：关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括号里的。内容整理 第十章 分 式 10.1、（1）、分式的意义 两个整式 A/B 相除，即 AB 时，可以表示为 A/B.如果 B 中含有字母，那么 A/B 叫做分式。A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。多项式的乘法 单项式的除法 幂 的 运算 aman(am)n=(ab)nam单项式的乘法 乘法公式 因 式 分 解 提公因式法 公 式 法 多项式除以单项式 如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义。10.2（2）、分式的基本性质 整式 整式和分式统称为有理式：即有理式 分式 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分 式 的 值 不 变。用 式 子 表 示 为：A/B=A*C/B*C A/B=AC/BC （A,B,C 为整式，且 B、C0）约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式 的约分 分式的约分步骤：(1)如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式,将它们的 公因式约去 (2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别,再将公因式约去.注:公因式的提取方法:取分子和分母系数的,字母取分子和分 母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分 时，一般将一个分式化为最简分式。通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分。分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子.注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的及单独字母的幂的乘积。注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质。(2)分式的约分和通分都是互逆运算过程。10.3、分式的运算：分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a/b*c/d=ac/bd 分式的除法法则:.两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 ：a/bc/d=ad/bc .除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/bc/d=a/b*d/c 异分母分式通分时，关键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。10.4 分式的加减 同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a/cb/c=ab/c 异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a/bc/d=adcb/bd 10.5 分式方程：分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法:.去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方 程);.按解整式方程的步骤求出未知数的值;.验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).10.6 整数指数幂及其运算 内容整理 第十一章 图形的运动 1、平移定义和规律（1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移（Translation）。平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离。关键：a.平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。b.图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。分 分式分式分式约分 通分 乘除法 加减法 （2）平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。（3）简单的平移作图：平移作图要注意：方向；距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。2、旋转的定义和规律（1）旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转（Circumrotate）。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。关键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。（2）旋转的规律(性质)：经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点 到旋转中心的距离相等。(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。)注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。（3）简单的旋转作图：旋转作图要注意：旋转方向；旋转角度。整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。3、图案的分析与设计 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。4、旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角满足 00 时，（a）=a，（a）=a.（2）当 a0 时，2a=a;当 a0 时，2a=12.3 立方根和开立方 如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，用“3a”表示，读作“三次根号”。3a中的 叫做被开方数，“3”叫做根指数。求一个数 的立方根的运算叫做开立方。正数的立方是一个正数，负数的立方是一个 负数，零的立方等于零，所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。12.4n 次方根 如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于，那么这个数叫做 的 n 次方根，当 n 为奇数时，这个数为 的奇次方根；当 n 为偶数时，这个数为 的偶次方根 求一个数的n次方跟的运算叫做开n次方，叫做被开方数，n 叫做根指数。实数 的奇次方根有且只有一个，用“na”表示，其中被开方数 是任意一个实数,根指数 n是大于 1 的奇数。正数 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正 n 次方根用“na”表示，负 n 次方根用“na”表示，其中被开方数 0，根指数 n 是正偶数（当n=2 时，在na中省略 n)负数的偶次方根不存在。零的 n 次方根等于零，表示为n0=0 “na”读作“n 次根号”第三节 实数的运算 12.5用数轴上的点表示数 有理数范围内绝对值、相反数意义：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。实数 a 的绝对值记作.绝对值相等，符号相反的两个数记作互为相反数；零的相反数是零。非零实数 的相反数是。实数大小的比较：负数小于零；零小于正数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。两点间的距离：在数轴上，如果点 A、点 B 所对应的数分别为、b，那么 A、B 两点的距离 AB=b.12.6 实数的运算 设 0，b0，可知（）=（）（）=b。根据平方根的意义，得=。同理：=近似数与准确数的接近程度即近似程度。对近似程度的要求，叫做精确度。对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。第四节 分数指数幂 分数指数幂 =（0）=（0）其中 m、n 为正整数，n1.有理数指数幂有下列性质：设 b，b0，P、q 为有理数，那么（1）=，=（2）=（3）本章小结 有理数 实数的分类 无理 数 实数 用数轴上的点表示数 运算法则及运算性质 实数的运算 近似数及近似计算 数的开方 分数指数幂 有理数指数幂 运算性质 第十三章 相交线、平行线 第 1 节 相交线 13.1 邻补角，对顶角 相交线的定义：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线。对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。邻补角的定义：有公共顶点和一条公共边，并且互补的两个角称为邻补角。邻补角的性质：邻补角互补。垂线的定义：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：垂线段最短。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。同位角：两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角。内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角。同旁内角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角。平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直 线也平行。13.2 垂线 1.垂线与斜线 通过操作实践，所得到的结果说明垂线有这样的基本性质：在平面内经过直线上或直线外地一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条。2.点到直线的距离 联结直线外一点与直线上各点得所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。133 同位角，内错角，同旁内角（三线八角）第 2 节 平行线 13.4 平行线的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行）平行线具有以下基本性质：经过直线外地一点，有且只有一条直线与已知直线平行。两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直 线平行）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）13.5 平行线的性质 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。(两直线平行，同 位角相等)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内 错角相等）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 行。（对于直线a、b、c,如果cbba/,/，那么ca/。被称为平行 的传递性）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都 是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间 的距离。第十四章 三角形 第 1 节 三角形的有关概念与性质 14.1 三角形的有关概念 1.三角形的有关线段 三角形的高，中线，角平分线 2.三角形的分类 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形 14.2 三角形的内角和 三角形的内角和等于。180。三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。三角形的外角和等于。360。第 2 节 全等三角形 14.3 全等三角形的概念与性质 能够重合的两个图形叫做全等形。两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。全等三角形的对应边相等，对应角相等。14.4 全等三角形的判定 判定方法 1 在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为 S.A.S）。判定方法 2 在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为 A.S.A）。判定方法 3 在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三 角形全等（简记为 A.A.S）。判定方法 4 在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为S.S.S）。斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“HL”。、不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。三角形全等的证明思路 找夹角.已知两边 找直角 找另一边 找边的对角.已知一边一角 边为角的邻边 找夹角的另一边 找夹边的另一角 边为角的对边找任意一角 .已知两角 找夹边 找任意一边 第 3 节 等腰三角形 14.5 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三 线合一”）。等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。14.6 等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）。14.7 等边三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三边都相等。等边三角形的性质：等边三角形的每个内角等于。60。判定等边三角形的方法：（1）三个内角都相等的三角形是等边三角形。（2）有一个角等于。60的等腰三角形是等边三角形。、不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。第十五章 平面直角坐标系 第1节 平面直角坐标系 15.1 平面直角坐标系 在平面内取一点，过点 画两条互相垂直的数轴，且使它们以点 为公共原点。这样，就在平面内建立了一个直角坐标系。通常，所画的两条数轴中，有一条是水平放置的，它的正方向向右，这条数轴叫做横轴（记作 轴）；另一条是铅直放置的，它的正方向向上，这条轴叫做纵轴（记作 轴）。如图所示，记作平面直角坐标系；点 叫做坐标原点（简称原点），轴和 轴统称 为坐标轴。在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 所对应的有序实数对（ab)叫做点 P 的坐标，记作 P（a,b)，其中 叫做横坐标，b 叫做纵坐标。象限的划分：经过点 A（a,b)且垂直于 x 轴的直线可以表示为直线 x=,经过点 A(a,b)且垂直于 y 轴的直线可以表示为直线 y=b.第2节直角坐标平面内点的运动 15.2 直角坐标平面内点的运动 点的坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a 点对应 x 轴的数值为横坐标，b 点对应 y 轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点 A 的坐标，记作（a,b）。在直角坐标平面内，平行于x轴的直线上的两点A(,y)、B(,y)的距离 AB=；平行于 y 轴的直线上的两点 C(x,)、D(x,)的距离 CD=.点的平移 在平面直角坐标系中，(m0)将点（x,y）向右平移 m 个单位长度，可以得到对应点（xm，y）；将点（x,y）向左平移 m 个单位长度，可以得到对应点（xm，y）；将点（x,y）向上平移 m 个单位长度，可以得到对应点（x，ym）；将点（x,y）向下平移 m 个单位长度，可以得到对应点（x，ym）。坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为 六个区域：x 轴上，y 轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在这六个区域中，除 x 轴与 y 轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点。建立了直角坐标系的平面叫做直角坐标平面（简称坐标平面）。这样，原来平面内的点都可以用有序实数对来表示。在平面直角坐标系中，点 所对应的有序实数对叫做点 的坐标，记作，其中 叫做横坐标，叫做纵坐标。原点 的坐标是。的坐标是，的坐标是。在平面直角坐标系中对称点的特点：关于 x 成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反）关于 y 成轴对称的点的坐标，纵坐标相 同，横坐标互为相反数。（横反纵同）关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）一般地，在直角坐标平面内，与点 M(x,y)关于 X 轴对称的点的坐标为（x,y);与点 M(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y).一般地，在直角坐标平面内，与点 M(x,y)关于原点对称的点的坐标为（-x,-y)。第十六章 二次根式 第一节 二次根式的概念和性质 16.1 二次根式 1 二次根式的概念:式子)0(aa叫做二次根式注意被开方数只能是正数或 O 2 二次根式的性质)0()0(2aaaaaa；)0()(2aaa)0,0(babaab；)0,0(bababa 16.2 最简二次根式与同类二次根式 1.被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式 2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式 16.3 二次根式的运算 1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并 2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即).0,0(baabba 3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式 4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)把分母的根号化 去，叫做分母有理化 二次根式的运算法则：ac+bc=(a+c)c(c0).0,0(baabba aabb（a0,b0）()nnaa(a0)第十七章 一元二次方程 17.1 一元二次方程的概念 1只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程 2一般形式 y=ax+bx+c（a0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项 17.2 一元二次方程的解法 1特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法 2一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法 3求根公式242bbacxa：22124422bbacbbacxxaa ；=24bac0 17.3 一元二次方程的判别式 1一元二次方程20(0)axbxca：0 时，方程有两个不相等的实数根 0 时，方程有两个相等的实数根 0 时，方程没有实数根 2反过来说也是成立的 17.4 一元二次方程的应用 1一般来说，如果二次三项式2axbxc（0a）通过因式分解得2axbxc=12()()a xxxx；1x、2x是一元二次方程20(0)axbxca的根 2把二次三项式分解因式时；如果24bac0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式 如果24bac0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式 3 实际问题：设，列，解，答 第十八章 正比例函数和反比例函数 18.1函数的概念 1在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量 2在某个变化过程中有两个变量，设为 x 和 y，我们把正比例函数ykx的图像叫做直线ykx 5 正比例函数ykx(0)kk 是常数且有如下性质：（1）当 k0 时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量 x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大 （2）当 k0 时，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量 x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小 18.3 反比例函数 1如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例 2 解析式形如(0)kykkx是常数,的函数叫做反比例函数，其中 k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数 3反比例函数(0)kykkx是常数,有如下性质：（1）当 k0 时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量 x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小 （2）当 k0 时，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。自变量 x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大 18.4 函数的表示法 1把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达-解析法 2把两个变量之间的依赖关系用图像来表示-图像法 3把两个变量之间的依赖关系用表格来表示-列表法 第十九章 几何证明 19.1 命题和证明 1我们现在学习的证明方式是演绎证明，简称证明 2能界定某个对象含义的句子叫做定义 3判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题 4数学命题通常由题设、结论两部分组成 5命题可以写成“如果那么”的形式，如果后是题设，那么后市结论 19.2 证明举例 1平行的判定，全等三角形的判定 19.3 逆命题和逆定理 1在两个命题中，如果第一个命题的题设是第 二个命题的结论，二第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题 2如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理 19.4 线段的垂直平分线 1.线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。2、逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。19.5 角的平分线 1、角的平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等。2、逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。19.6 轨迹 1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 2、在一个叫的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆 19.7 直角三角形全等的判定 1定理 1：如果直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为 H.L）2其他全等三角形的判定定理对于直角三角形仍然适用 19.8 直角三角形的性质 1定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 3推论 2：在直角三角形中，如果一条之骄傲便等于斜边的一般，那么这条直角边所对的角等于30 19.9 勾股定理 1定理：在直角三角形中，斜边大于直角边 2勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方 3勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形 19.10 两点间距离公式 1如果直角坐标平面内有两点11(,)A x y、22(,)B xy，那么A、B两点的距离222121()()ABxxyy 八年级 下册 第二十章 一次函数 20.1 一次函数的概念 1一般地，解析式形如(0)ykxb k bk是常数,的函数 叫做一次函数；一次函数的定义域是一切实数 2一般地，我们把函数yc（c 为常数）叫做常值函数 20.2 一次函数的图像 1列表、描点、连线 2 一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距 3一般地，直线(0)ykxb k bk是常数,与 y 轴的交点坐标是（0，b），直线的截距是 b 4一次函数ykxb（b0）的图像可以由正比例函数ykx的图像平移得到 当 b0 时，向上平移 b 个单位，当 b0 时，向下平移 b 的绝对值个单位 5一元一次不等式与一次函数之间的关系（看图）20.3 一次函数的性质 1 一次函数(0)ykxb k bk是常数,具有以下性质：当 k0 时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大 当 k0 时，函数值 y 随自变量 x 的值增大而 减小 2 一 次 函 数0ykxb k 0b 0b 0b 0k 0k 如图所示，当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；如图所示，当 k0，bO 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；如图所示，当 kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；如图所示，当 kO，bO 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）20.4 一次函数的应用 1利用一次函数及图像解决实际问题 第二十一章 代数方程 21.1 一元整式方程 112ax（a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。于是，在项 ax 中，字母 a 是项的系数，我们把 a 叫做字母系数，我们把 a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程 2如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程 3如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是 n（n 是正整数），那么这方程就叫做一元 n 次方程；其中次数 n 大于 2 的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程 21.2 二项方程 1如果一元 n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为0naxb（0,0ab，n 是正整数）2解一元 n（n2）次二项方程，可转化为求一个已知数的 n 次方根 3对于二项方程0naxb（0,0ab）当 n 为奇数时，方程有且只有一个实数 根 当 n 为偶数时，如果 ab0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果 ab0，那么方程没有实数根 21.3 可化为一元二次方程的分式方程 1解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解 2注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）3换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用 21.4 无理方程 1方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程 2整式方程和分式方程统称为有理方程 3有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程 4解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤 5注意无理方程的检验必须带入原方程中检验 是否为增根 21.5 二元二次方程和方程组 1仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫二元二次方程 2关于 x、y 的二元二次方程的一般形式是：220axbxycydxeyf（a、b、c、d、e、f 都是常数，且 a、b、c中至少有一个不是零；当 b 为零时，a 与 d以及 c 与 e 分别不全为零）3仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为 2。像这样的方程组叫做二元二次方程组 4能是二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程 5方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解 21.6 二元二次方程组的解法 1代入消元法 2因式分解法 21.7 列方程（组）解应用题 第二十二章 四边形 22.1 多边形 1由平面内不在同一直线上的一些线段收尾顺次联结所组成的封闭图形骄傲做多边形 2组成多边形每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点 3多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角 4对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余个边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形 5多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于（n-2）180 6多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角 7对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有的外角的和叫做多边形的外角和 8多边形的外角和等于 360 22.2 平行四边形 1 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；用符号 表示 2（1）性质定理 1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等 简述为：平行四边形的对边相等 （2）性质定理 2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等 简述为：平行四边形的对角相等（3）夹在平行线间的平行线段相等（4）性质定理 3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分（5）性质定理 4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 3（1）判定定理 1：如果一个四边形两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形 简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）判定定理 2：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形 简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （3）判定定理 3：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形 简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形（4）判定定理 4：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形 简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 22.3 特殊的平行四边形 1有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 2有一组林边相等的平行四边形叫做菱形 3矩形的性质定理 1：矩形的四个角都是直角 2：矩形的两条对角线相等 菱形的性质定理 1：菱形的四条边都相等 2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4矩形的判定定理 1：有三个内角是直角的四边形是矩形 2：对角线相等的平行四边形是矩形 菱形的判定定理 1：四条边都相等的四边形是菱形 2.：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 5有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形 6正方形的判定定理 1：有一组邻边相等的矩形是正方形 2：有一个内角是直角的菱形是正方形 7正方形的性质定理 1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等 2：正方形的两条对角线相等，并互相垂直，每条对角线平分一组对角 22.4 梯形 1一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 2梯形中，平行的两边叫做梯形的底（短上底；长下底）；不平行的两边叫做梯形的腰；两底之间的距离叫做梯形的高 3有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形 4两腰相等的梯形叫做等腰梯形 22.5 等腰梯形 1等腰梯形性质定理 1：等腰梯形在同一底商的两个内角相等 2 性质定理 2.：等腰梯形的两条对角线相等 3等腰梯形判定定理 1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 4 判定定理 2：对角线相等的梯形是 等腰梯形 22.6 三角形、梯形的中位线 1联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 3联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 4梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 22.7 平面向量 1规定了方向的线段叫做有向线段，有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向 2既有大小。又有方向的量叫做向量，向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）3方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的量 4方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量 5方向相同或相反的两个向量叫做平行向量 22.8 平面向量的加法 1求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法 2求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量收尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量，这样的规定叫做向量加法的三角形法则 3一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量 4向量的加法满足交换律、结合律 22.9 平面向量的减法 1已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法 2在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量；求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形法则 3减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 4向量加法的平行四边形法则 第二十三章 概