江西省赣州市2015届高三数学一模试卷(理科)(解析版).pdf

第1页（共28页）2015 年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x2x20，B=x|log4x0.5，则（）AAB=BBA CARB=R DAB 2在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（0，1）B C D 3已知 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）y=f（|x|）；y=f（x）；y=xf（x）；y=f（x）+x A B C D 4已知双曲线 x2=1 的两条渐近线的夹角为 60，且焦点到一条渐近线的距离大于，则 b=（）A3 B C D 5要从由 n 名成员组成的小组中任意选派 3 人去参加某次社会调查若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 0.4，则 n 的值为（）A4 B5 C6 D7 6某同学想求斐波那契数列 0，1，1，2，（从第三项起每一项等于前两项的和）的前 10 项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）第2页（共28页）Ac=a；i9 Bb=c；i9 Cc=a；i10 Db=c；i10 7已知向量，若向量满足与的夹角为 120，则=（）A1 B C2 D 8设an是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前 10 项和等于（）A10 B5 C0 D5 9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A32 B18 C16 D10 第3页（共28页）10如图是函数图象的一部分，对不同的 x1，x2a，b，若 f（x1）=f（x2），有，则（）Af（x）在上是减函数 Bf（x）在上是减函数 Cf（x）在上是增函数 Df（x）在上是减函数 11过抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点且斜率为 2 的直线与 C 交于 A、B 两点，以 AB 为直径的圆与 C的准线有公共点 M，若点 M 的纵坐标为 2，则 p 的值为（）A1 B2 C4 D8 12已知函数 f（x）=（a3）xax3在1，1的最小值为3，则实数 a 的取值范围是（）A（，1 B12，+）C1，12 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 1，3，5 13展开式中的常数项为 14若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则 m 的值 15A、B、C 三点在同一球面上，BAC=135，BC=2，且球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，则此球 O 的体积为 第4页（共28页）16已知数列an满足，Sn是其前 n 项和，若 S2015=1007b，且 a1b0，则的最小值为 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且（）求角 A 的大小；（）若 a=3，sinC=2sinB，求 b、c 的值 18在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面 ABCD，PDPB，PA=PD（）求证：平面 PAD平面 PAB；（）设 E 是棱 AB 的中点，PEC=90，AB=2，求二面角 EPCB 的余弦值 19某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级，分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为 E 的学生有 8 人 （）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数；（）若该班共有 10 人的两科成绩得分之和大于 7 分，其中有 2 人 10 分，2 人 9 分，6 人 8 分从这 10人中随机抽取两人，求两人成绩之和 的分布列和数学期望 第5页（共28页）20已知椭圆 E：的焦距为 2，A 是 E 的右顶点，P、Q 是 E 上关于原点对称的两点，且直线 PA 的斜率与直线 QA 的斜率之积为（）求 E 的方程；（）过 E 的右焦点作直线与 E 交于 M、N 两点，直线 MA、NA 与直线 x=3 分别交于 C、D 两点，设 ACD与 AMN 的面积分别记为 S1、S2，求 2S1S2的最小值 21设函数 f（x）=（e 为自然对数的底），曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为 y=x+b （）求 a、b 的值，并求函数 y=f（x）的单调区间；（）设 x0，求证：f（x）请考生在第 22、23、24 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分选修 4-1：几何证明选讲 22如图，已知 AB 为圆 O 的一条直径，以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 C、D 两点，交圆 O 于 E、F两点，过点 D 作垂直于 AD 的直线，交直线 AF 于 H 点（）求证：B、D、H、F 四点共圆；（）若 AC=2，AF=2，求 BDF 外接圆的半径 选修 4-4：坐标系与参数方程 第6页（共28页）23已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合点 A、B 的极坐标分别为（2，）、（aR），曲线 C 的参数方程为为参数）（）若，求 AOB 的面积；（）设 P 为 C 上任意一点，且点 P 到直线 AB 的最小值距离为 1，求 a 的值 选修 4-5：不等式选讲 24设函数 f（x）=|x|+|2xa|（）当 a=1 时，解不等式 f（x）1；（）若不等式 f（x）a2对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围 第7页（共28页）2015 年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=x|x2x20，B=x|log4x0.5，则（）AAB=BBA CARB=R DAB【考点】集合的包含关系判断及应用【专题】集合【分析】先根据不等式的解法求出集合 A，再根据对数的单调性求出集合 B，根据子集的关系即可判断【解答】解：x2x20，（x2）（x+1）0，解得1x2 A=（1，2），log4x0.5=log42，0 x2，B=（0，2），BA，故选：B【点评】本题考查了不等式的解法和函数的性质，以及集合的包含关系，属于基础题 2在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（0，1）B C D【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数=i 对应的点的坐标为（0，1），故选：A 第8页（共28页）【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题 3已知 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）y=f（|x|）；y=f（x）；y=xf（x）；y=f（x）+x A B C D【考点】函数奇偶性的判断【专题】计算题【分析】由奇函数的定义：f（x）=f（x）逐个验证即可【解答】解：由奇函数的定义：f（x）=f（x）验证 f（|x|）=f（|x|），故为偶函数 f（x）=f（x）=f（x），为奇函数 xf（x）=xf（x）=xf（x），为偶函数 f（x）+（x）=f（x）+x，为奇函数 可知正确 故选 D【点评】题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题 4已知双曲线 x2=1 的两条渐近线的夹角为 60，且焦点到一条渐近线的距离大于，则 b=（）A3 B C D【考点】双曲线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出双曲线的渐近线方程，由夹角公式得到 b 的方程，再由焦点到渐近线的距离为 b，解不等式可得 b1，再解 b 的方程即可得到 b【解答】解：双曲线 x2=1（b0）的两条渐近线方程为 y=bx，即有 tan60=|=|=，第9页（共28页）设焦点（c，0）到一条渐近线的距离为 d=b，即有 b，解得 b1，则有b22b=0，解得 b=，故选 C【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，同时考查两直线的夹角公式和点到直线的距离公式的运用，属于基础题 5要从由 n 名成员组成的小组中任意选派 3 人去参加某次社会调查若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 0.4，则 n 的值为（）A4 B5 C6 D7【考点】条件概率与独立事件【专题】计算题；概率与统计【分析】利用在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 0.4，建立方程，即可求 n 的值【解答】解：由题意，在男生甲被选中的情况下，只需要从其余 n1 人中选出 2 人，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，即从其余 n2 人中选 1 人即可，故=0.4，n=6，故选：C【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础 6某同学想求斐波那契数列 0，1，1，2，（从第三项起每一项等于前两项的和）的前 10 项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）第10页（共28页）Ac=a；i9 Bb=c；i9 Cc=a；i10 Db=c；i10【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】由斐波那契数列从第三项起每一项等于前两项的和，由程序框图从而判断空白矩形框内应为：b=c，模拟执行程序框图，当第 8 次循环时，i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出 S 的值，即可得判断框内应为 i9【解答】解：由题意，斐波那契数列 0，1，1，2，从第三项起每一项等于前两项的和，分别用 a，b来表示前两项，c 表示第三项，S 为数列前 n 项和，故空白矩形框内应为：b=c，第 1 次循环：a=0，b=1，S=0+4=1，i=3，求出第 3 项 c=1，求出前 3 项和 S=0+1+1=2，a=1，b=1，满足条件，i=4，执行循环；第 2 次循环：求出第 4 项 c=1+1=2，求出前 4 项和 S=0+1+1+2=4，a=1，b=2，满足条件，i=5，执行循环；第 8 次循环：求出第 10 项 c，求出前 10 项和 S，此时 i=10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出 S的值 故判断框内应为 i9 故选：B 第11页（共28页）【点评】本题考查的知识点是程序框图解决实际问题，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题 7已知向量，若向量满足与的夹角为 120，则=（）A1 B C2 D【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】运用坐标求解，=（x，y），得出 x2y=5，根据夹角公式得出=，即=，整体代入整体求解即可得出=2选择答案【解答】解：设=（x，y），4=（1，2），|4|=，x+2y=5，即 x2y=5，向量满足与的夹角为 120=，即=，=，=2 故|=2，第12页（共28页）故选：D【点评】本题综合考查了平面向量的数量积的运算，运用坐标求解数量积，夹角，模，难度不大，计算准确即可完成题目 8设an是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前 10 项和等于（）A10 B5 C0 D5【考点】等差数列的前 n 项和【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到 a1+a10=0，则可求得数列的前10 项和等于 0【解答】解：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d（d0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即 a1+a10=0，故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础的计算题 9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A32 B18 C16 D10【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】结合直观图可得几何体是正方体的一半，根据正方体的棱长为 4，计算几何体的体积【解答】解：由三视图知：几何体是正方体的一半，如图：第13页（共28页）已知正方体的棱长为 2，几何体的体积 V=43=32 故选：A 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是根据三视图判断几何体的结构特征及数据所对应的几何量 10如图是函数图象的一部分，对不同的 x1，x2a，b，若 f（x1）=f（x2），有，则（）Af（x）在上是减函数 Bf（x）在上是减函数 Cf（x）在上是增函数 Df（x）在上是减函数【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据函数 y=Asin（x+）的图象特征，求得 a+b=，再根据 f（a+b）=2sin=，求得 的值，可得 f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论【解答】解：由函数图象的一部分，可得 A=2，函数的图象关于直线 x=对称，a+b=x1+x2 由五点法作图可得 2a+=0，2b+=，a+b=再根据 f（a+b）=2sin（2+）=2sin=，可得 sin=，第14页（共28页）=，f（x）=2sin（2x+）在上，2x+（，），故 f（x）在上是增函数，故选：C【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，函数 y=Asin（x+）的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题 11过抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点且斜率为 2 的直线与 C 交于 A、B 两点，以 AB 为直径的圆与 C的准线有公共点 M，若点 M 的纵坐标为 2，则 p 的值为（）A1 B2 C4 D8【考点】抛物线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】取 AB 的中点 N，分别过 A、B、N 作准线的垂线 AP、BQ、MN，垂足分别为 P、Q、M，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系：相切，确定抛物线 y2=2px 的焦点，设直线 AB 的方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可得 AB 的中点 M 的纵坐标为，由条件即可得到 p=4【解答】解：取 AB 的中点 N，分别过 A、B、N 作准线的垂线 AP、BQ、MN，垂足分别为 P、Q、M，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形 APQB 中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心 N 到准线的距离等于半径，即有以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，由 M 的纵坐标为 2，即 N 的纵坐标为 2，抛物线 y2=2px 的焦点坐标为（，0），设直线 AB 的方程为 y=2（x），即 x=y+，与抛物线方程 y2=2px 联立，消去 x，得 y2pyp2=0 由韦达定理可得 AB 的中点 N 的纵坐标为，即有 p=4，故选 C 第15页（共28页）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题 12已知函数 f（x）=（a3）xax3在1，1的最小值为3，则实数 a 的取值范围是（）A（，1 B12，+）C1，12 D【考点】函数的最值及其几何意义【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】分析四个选项，可发现 C、D 选项中 a 可以取 0，故代入 a=0 可排除 A、B；再注意 C、D 选项，故将代入验证即可；从而得到答案【解答】解：当 a=0 时，f（x）=3x，x1，1，显然满足，故 a 可以取 0，故排除 A，B；当时，所以 f（x）在1，1上递减，所以，满足条件，故排除 C，故选：D【点评】本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 1，3，5 第16页（共28页）13展开式中的常数项为 80 【考点】二项式系数的性质【专题】计算题；二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=令 155r=0，解得 r=3，故展开式中的常数项为 80，故答案为：80【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数 14若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则 m 的值 【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用三角形的面积，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，若对应的区域为三角形，则 m2，由，得，即 C（m，m），由，得，即 B（m，），由，得，即 A（2，2），则三角形 ABC 的面积 S=（m）（2m）=，即（2m）2=，解得 2m=，或 2m=，即 m=或 m=（舍），第17页（共28页）故答案为：；【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合作出对应的图象，利用三角形的面积公式是解决本题的关键 15A、B、C 三点在同一球面上，BAC=135，BC=2，且球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，则此球 O 的体积为 4 【考点】球的体积和表面积【专题】空间位置关系与距离；球【分析】运用正弦定理可得 ABC 的外接圆的直径 2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的体积公式计算即可得到【解答】解：由于 BAC=135，BC=2，则 ABC 的外接圆的直径 2r=2，即有 r=，由于球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，则由勾股定理可得，球的半径 R=，即有此球 O 的体积为 V=R3=（）3=4 故答案为：4【点评】本题考查球的体积的求法，主要考查球的截面的性质：球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：求三角形的外接圆的直径，属于中档题 第18页（共28页）16已知数列an满足，Sn是其前 n 项和，若 S2015=1007b，且 a1b0，则的最小值为 【考点】数列递推式；基本不等式【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】由已知递推式得到 a2+a3=2，a4+a5=4，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=2014，累加可求 S2015，结合 S2015=1007b 求得 a1+b=1，代入展开后利用基本不等式求最值【解答】解：由已知得：a2+a3=2，a4+a5=4，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=2014，把以上各式相加得：S2015a1=2014+1006=1008，S2015=a11008=1007b，即 a1+b=1，=故答案为：【点评】本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的和，训练了利用基本不等式求最值，是中档题 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且（）求角 A 的大小；（）若 a=3，sinC=2sinB，求 b、c 的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由已知利用正弦定理余弦定理可得：=，化为 2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，即可得出；（2）利用正弦定理余弦定理即可得出【解答】解：（1）由正弦定理余弦定理得=，2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，sinC0，第19页（共28页），A（0，），（2）由 sinC=2sinB，得 c=2b，由条件 a=3，由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=3b2，解得【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，平面 PAD平面 ABCD，PDPB，PA=PD（）求证：平面 PAD平面 PAB；（）设 E 是棱 AB 的中点，PEC=90，AB=2，求二面角 EPCB 的余弦值 【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明平面 PAD平面 PAB；（）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可【解答】（1）证明：因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，ABAD 所以 AB平面 PAD 又 PD平面 PAD，所以 PDAB 又 PDPB，所以 PD平面 PAB 而 PD平面 PCD，故平面 PCD平面 PAB（2）如图，建立空间直角坐标系 第20页（共28页）设 AD=2a，则 A（a，0，0），D（a，0，0）B（a，2，0），C（a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0），则得，设平面 PEC 的一个法向量，由得 令 x1=1，则，设平面 PEC 的一个法向量，由得，令 y2=1，则 设二面角 EPCB 的大小为，则 故二面角 EPCB 的余弦值为【点评】本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法 第21页（共28页）19某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级，分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为 E 的学生有 8 人 （）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数；（）若该班共有 10 人的两科成绩得分之和大于 7 分，其中有 2 人 10 分，2 人 9 分，6 人 8 分从这 10人中随机抽取两人，求两人成绩之和 的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】概率与统计【分析】（I）利用数据统计图求出该班有 40 人，由此能求出该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为 A的人数（II）设两人成绩之和为，则 的值可以为 16，17，18，19，20，分别求出相应的概率，由此能求出两人成绩之和 的分布列和数学期望【解答】解：（I）因为“铅球”科目中成绩等级为 E 的考生有 8 人，所以该班有 80.2=40 人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为 A 的人数为 40（10.3750.3750.150.025）=400.075=3（II）设两人成绩之和为，则 的值可以为 16，17，18，19，20 ，第22页（共28页）所以 的分布列为 X 16 17 18 19 20 P 所以 所以 的数学期望为【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数据统计图的合理运用 20已知椭圆 E：的焦距为 2，A 是 E 的右顶点，P、Q 是 E 上关于原点对称的两点，且直线 PA 的斜率与直线 QA 的斜率之积为（）求 E 的方程；（）过 E 的右焦点作直线与 E 交于 M、N 两点，直线 MA、NA 与直线 x=3 分别交于 C、D 两点，设 ACD与 AMN 的面积分别记为 S1、S2，求 2S1S2的最小值【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（I）通过 P、Q 是 E 上关于原点对称的两点，且直线 PA 的斜率与直线 QA 的斜率之积为，及焦距为 2，计算可得 a2=4，b2=3，从而可得 E 的方程；（II）设直线 MN 的方程为 x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），可得直线 MA 的方程，联立直线 MN与椭圆 E 的方程，利用韦达定理可得 S1，S2的表达式，通过换元法计算可得结论【解答】解：（I）根据题意，设 P（x0，y0），Q（x0，y0），则，依题意有，又 c=1，所以 a2=4，b2=3，故椭圆 E 的方程为：；（II）设直线 MN 的方程为 x=my+1，代入 E 的方程得（3m2+4）y2+6my9=0，第23页（共28页）设 M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理知，又直线 MA 的方程为，将 x=3 代入，得，同理，所以，所以，则 2S1S2=3，令，则 m2=t21，所以，记，则，所以 f（t）在1，+）单调递增，从而 f（t）的最小值为，故 2S1S2的最小值为【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，换元法等知识，注意解题方法的积累，属于难题 21设函数 f（x）=（e 为自然对数的底），曲线 y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为 y=x+b （）求 a、b 的值，并求函数 y=f（x）的单调区间；（）设 x0，求证：f（x）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；证明题；导数的综合应用【分析】（）先求导，由题意令，从而解得 a=2；从而再求得，由导数确定函数的单调区间；第24页（共28页）（）所证不等式等价于，又由，可先证，从而证明不等式成立【解答】解：（）因为，而，所以，解得 a=2；所以，因此，由知，当 x1 时，f（x）0，当 x1 且 x2 时，f（x）0；故 f（x）的单调增区间是（1，+），减区间是（，2）和（2，1），（）证明：所证不等式等价于，因为，先证，记，g（x）=ex2x2，记 u（x）=ex2x2，则 u（x）=ex2，由此可知，u（x）在（，ln2）上单调递减，在（ln2，+）上单调递增；因为 u（1）u（2）0，u（1）u（0）0，故 g（x）=0 在（0，+）只有一个零点 x1（1x12），且，所以 g（x）在（0，x1）递减，在（x1，+）递增，所以当 x0 时，即，又，所以，即，第25页（共28页）故【点评】本题考查了导数的综合应用及放缩法证明不等式的应用，属于难题 请考生在第 22、23、24 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分选修 4-1：几何证明选讲 22如图，已知 AB 为圆 O 的一条直径，以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 C、D 两点，交圆 O 于 E、F两点，过点 D 作垂直于 AD 的直线，交直线 AF 于 H 点（）求证：B、D、H、F 四点共圆；（）若 AC=2，AF=2，求 BDF 外接圆的半径 【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段【专题】直线与圆【分析】（）由已知条件推导出 BFFH，DHBD，由此能证明 B、D、F、H 四点共圆（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=ACAD，解得AD=4，BF=BD=1，由 AFB ADH，得 DH=，由此能求出 BDF 的外接圆半径【解答】（）证明：因为 AB 为圆 O 一条直径，所以 BFFH，又 DHBD，故 B、D、F、H 四点在以 BH 为直径的圆上，所以 B、D、F、H 四点共圆（2）解：因为 AH 与圆 B 相切于点 F，由切割线定理得 AF2=ACAD，即（2）2=2AD，解得 AD=4，所以 BD=，BF=BD=1，又 AFB ADH，则，得 DH=，第26页（共28页）连接 BH，由（1）知 BH 为 DBDF 的外接圆直径，BH=，故 BDF 的外接圆半径为 【点评】本题考查四点共圆的证明，考查三角形处接圆半径的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用 选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合点 A、B 的极坐标分别为（2，）、（aR），曲线 C 的参数方程为为参数）（）若，求 AOB 的面积；（）设 P 为 C 上任意一点，且点 P 到直线 AB 的最小值距离为 1，求 a 的值【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】坐标系和参数方程【分析】（1）当时，A（2，0），B（2，2），由于 kOB=1，可得 AOB=135利用S OAB=即可得出（2）曲线 C 的参数方程为为参数），化为（x1）2+y2=4，圆心 C（1，0），半径y=2由题意可得：圆心到直线 AB 的距离为 3，对直线 AB 斜率分类讨论，利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：（1）当时，A（2，0），B（2，2），kOB=1，AOB=135 （2）曲线 C 的参数方程为为参数），化为（x1）2+y2=4，圆心 C（1，0），半径y=2 第27页（共28页）点 P 到直线 AB 的最小值距离为 1，圆心到直线 AB 的距离为 3，当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x=2，显然，符合题意，此时 当直线 AB 存在斜率时，设直线 AB 的方程为 y=k（x+2），则圆心到直线 AB 的距离，依题意有，无解 故【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形的面积计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 选修 4-5：不等式选讲 24设函数 f（x）=|x|+|2xa|（）当 a=1 时，解不等式 f（x）1；（）若不等式 f（x）a2对任意 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【专题】选作题；不等式【分析】（）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式 f（x）1；（）由 f（x）a2对任意 xR 恒成立等价于|k|+|2k1|a|对任意 kR 恒成立，即可求实数 a 的取值范围 【解答】解：（）当 a=1 时，根据图易得 f（x）1 的解集为（）令 x=ka（kR），由 f（x）a2对任意 xR 恒成立等价于|k|+|2k1|a|对任意 kR 恒成立 由（1）知|k|+|2k1|的最小值为，所以 故实数 a 的取值范围为 第28页（共28页）【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题