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电机数学模型 YUKI was compiled on the morning of December 16,2020 电机数学模型 以二相导通星形三相六状态为例，分析 BLDC 的数学模型及电磁转矩等特性。为了便于分析，假定：a)三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称；b)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响；c)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布；d)磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。则三相绕组的电压平衡方程可表示为：uaubuc=r000r000riaibic+LMMMLMMMLpiaibic+eaebec(1)式中：ua，ub，uc为定子相绕组电压(V)；ia，ib，ic为定子相绕组电流(A)；ea，eb，ec为定子相绕组电动势(V)；L为每相绕组的自感(H)；M 为每相绕组间的互感(H)；p 为微分算子p=d/dt。三相绕组为星形连接，且没有中线，则有 ia+ib+ic=0(2)Mia+Mib+Mic=0(3)得到最终电压方程：uaubuc=r000r000riaibic+L M000L M000L Mpiaibic+eaebec(4)图.无刷直流电机的等效电路 无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似，其电磁转矩大小与磁通和电流幅值成正比 Te=eaia+ebib+ecic1(5)所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制 BLDC 电机的转矩。为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为 120电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为 120电角度，两者应严格同步。由于在任何时刻，定子只有两相导通，则：电磁功率可表示为：Pe eaia+ebib+ecic=2EsIs(6)电磁转矩又可表示为：Te=Pe=2EsIs(7)无刷直流电机的运动方程为：Te TL B=Jddt=JP(8)其中Te为电磁转矩；TL为负载转矩；B为阻尼系数；为电机机械转速；J 为电机的转动惯量。传递函数：无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同，其动态结构图可以采用直流电机通用的动态结构图，如图所示：图2.无刷直流电机动态结构图 由无刷直流电机动态结构图可求得其传递函数为:n(s)=K11+TmsU(s)K21+TmsTL 式中：K1为电动势传递系数，K1=1Ce，Ce为电动势系数；K2为转矩传递函数，K1=RCeCt，R 为电动机内阻，Ct 为转矩系数；Tm为电机时间常数，Tm=RGD2365CeCt，G为转子重量，D为转子直径。基于 MATLAB的 BLDC 系统模型的建立 在 Matlab 中进行 BLDC 建模仿真方法的研究已受到广泛关注，已有提出采用节点电流法对电机控制系统进行分析，通过列写 m 文件，建立 BLDC 仿真模型，这种方法实质上是一种整体分析法，因而这一模型基础上修改控制算法或添加、删除闭环就显得很不方便；为了克服这一不足，提出在 Matlab/Simulink 中构造独立的功能模块，通过模块组合进行 BLDC 建模，这一方法可观性好，在原有建模的基础上添加、删除闭环或改变控制策略都十分便捷，但该方法采用快速傅立叶变换(FFT)方法求取反电动势，使得仿真速度受限制。本文提出了一种新型的 BLDC 建模方法，将控制单元模块化，在 Matlab/Simulink建立独立的功能模块：BLDC 本体模块、电流滞环控制模块、速度控制模块、参考电流模块、转矩计算模块和电压逆变模块，对这些功能模块进行有机整合，即可搭建出无刷直流电机系统的仿真模型。在建模过程中，梯形波反电动势的求取方法一直是较难解决的问题27,28，本文采用分段线性法成功地化解了这一难点，克服了建模方法存在的不足。Matlab6.5针对电气传动控制领域所设计的工具箱 SimPowerSystemToolbox2.3已提供了 PMSM 的电机模型，但没有给出 BLDC 的电机模型。因此，本文在分析无刷直流电机数学模型的基础上，借助于 Matlab 强大的仿真建模能力，在 Matlab/Simulink 中建立了 BLDC 控制系统的仿真模型。BLDC 建模仿真系统采用双闭环控制方案：下即为 BLDC 建模的整体控制框图，其中主要包括：BLDC 本体模块、电流滞环控制模块、速度控制模块、参考电流模块、转矩计算模块和电压逆变模块。BLDC 本体结构(1)BLDCM 本体模块 在整个控制系统的仿真模型中，BLDCM 本体模块是最重要的部分，该模块根据 BLDC 电压方程式(4)求取 BLDC 三相相电流，结构框图如图所示 图.BLDCM 本体模块结构框图及其封装形式 在整个控制系统的仿真模型中，BLDC 本体模块是最重要的部分，该模块根据 BLDC 电压方程式(2-4)求取 BLDC 三相相电流，而要获得三相相电流信号 ia，ib，ic，必需首先求得三相反电动势信号 ea，eb，ec控制框图如图 2-11所示。而 BLDC 建模过程中，梯形波反电动势的求取方法一直是较难解决的问题，反电动势波形不理想会造成转矩脉动增大、相电流波形不理想等问题，严重时会导致换相失败，电机失控。因此，获得理想的反电动势波形是 BLDC 仿真建模的关键问题之一。本文采用了分段线性法，如图 2-12所示，将一个运行周期 0360分为 6个阶段，每 60为一个换相阶段，每一相的每一个运行阶段都可用一段直线进行表示，根据某一时刻的转子位置和转速信号，确定该时刻各相所处的运行状态，通过直线方程即可求得反电动势波形。分段线性法简单易行，且精度较高，能够较好的满足建模仿真的设计要求。因而，本文采用分段线性法建立梯形波反电动势波形。理想情况下，二相导通星形三相六状态的 BLDC 定子三相反电动势的波形如图 2-12所示。图中，根据转子位置将运行周期分为 6个阶段：0/3，/32/3，2/3，4/3，4/35/3，5/32。以第一阶段 0/3 为例，A相反电动势处于正向最大值 Em，B相反电动势处于负向最大值-Em，C 相反电动势处于换相阶段，由正的最大值 Em 沿斜线规律变化到负的最大值-Em。根据转子位置和转速信号，就可以求出各相反电动势变化轨迹的直线方程，其它 5个阶段，也是如此。据此规律，可以推得转子位置和反电动势之间的线性关系，如表 2-1所示，从而采用分段线性法，解决了在 BLDC 本体模块中梯形波反电动势的求取问题。转子位置和反电动势之间的线性关系表 转子位置 ea eb ec 0/3 K*w-K*w K*w*(per-pos)/(/6)+1)/32/3 K*w K*w*(pos-/6-per)/(/6)-1)-K*w 2/3 K*w*(per+2*/3-pos)/(/6)+1)K*w-K*w 4/3-K*w K*w K*w*(pos-per)/(/6)-1)4/35/3-K*w K*w*(per+4*/3-pos)/(/6)+1)K*w 5/32 K*w*(pos-5*/3-per)/(/6)-1)-K*w K*w 表中：K为反电动势系数(V/(r/min)，pos 为角度信号，w为转速信号，转数per=fix(pos/(2*pi)*2*pi，fix 函数是实现取整功能。根据上式，用 M 文件编写反电势系数的 S 函数如下：反电动势 S 函数(emf.m)%=%BLDCM模型中反电动势函数%=functionsys,x0,str,ts=emf(t,x,u,flag)switchflag case0,%初始化设置 sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizes;case3,%输出量计算 sys=mdlOutputs(t,x,u);case1,2,4,9%未定义标志 sys=;otherwise%错误处理 error(unhandledflag=,num2str(flag);end%=%mdlInitializeSizes进行初始化，设置系统变量的大小%=functionsys,x0,str,ts=mdlInitializeSizes()sizes=simsizes;%取系统默认设置 sizes.NumContStates=0;sizes.NumDiscStates=0;sizes.NumOutputs=3;sizes.NumInputs=2;sizes.DirFeedthrough=1;sizes.NumSampleTimes=1;sys=simsizes(sizes);x0=;str=;ts=-10;%=%mdlOutputs计算系统输出%=functionsys=mdlOutputs(t,x,u)globalk;globalPos;globalw;k=0.060;%V/(r/min)反电动势系数 w=u(1);%转速(rad/s)Pos=u(2);%角度(rad)ifPos=0&Pos=pi/3&Pos=2*pi/3&Pos=pi&Pos=4*pi/3&Pos=5*pi/3&Pos=0&Pos=pi/3&Pos=2*pi/3&Pos=pi&Pos=4*pi/3&Pos=5*pi/3&Pos=2*pi sys=0,-Is,Is;end 5.2.6 电压逆变器模块 逆变器对 BLDC 来说，首先是功率变换装置，也就是电子换向器，每一个桥臂上的一个功率器件相当于直流电动机的一个机械换向器，还同时兼有 PWM 电流调节器功能。对逆变器的建模，本文采用 Simulink的 SimPowerSystem 工具箱提供的三相全桥 IGBT模块。由于在 Matlab新版本(如 Matlab7.0)中 SimPowerSystem工具箱和 Simulink 工具箱不可以随便相连的，中间必须加上受控电压源(或者受控电压源、电压表、电流表)。本文给 IGBT 的 A、B、C 三相加三个电压表，输出的 Simulink 信号可以与 BLDC 直接连接，如图 5.11所示。逆变器根据电流控制模块所控制 PWM 信号，顺序导通和关断，产生方波电流输出。电压逆变器模块结构框图及其封装 基于 Matlab/Simulink 建立了 BLDC 控制系统的仿真模型，并对该模型进行了 BLDC 双闭环控制系统的仿真。仿真中，BLDC 电机参数设置为：定子相绕组电阻 R1，定子相绕组自感 L0.02H，互感 M-0.061H，转动惯量 J0.005kgm2，阻尼系数 B=0.0002Nms/rad，额定转速 n1000r/min，极对数 p1，220V 直流电源供电。总体模型：存在问题：仿真速度慢，且示波器值均为 0
