高中二年级数学选修2_1知识点总结(精华版).pdf
.专业.专注.高二数学选修高二数学选修 2 21 1 知识点知识点1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”.6、四种命题的真假性：原命题真真假假逆命题真假真假否命题真假真假逆否命题真真真假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件若p q，则p是q的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题（一假必假一假必假）用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq.word 完美格式.专业.专注.当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题（一真必真一真必真）；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个x，有px成立”，记作“x，px”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个x，使px成立”，记作“x，px”10、全称命题p：x，px，它的否定p：x，px全称命题的否定是特称命题11、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F）的点的轨1F2迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率xy1a b 022ab2222yx1a b 022aba x a且b y bb x b且a y a1a,0、2a,010,b、20,bF1c,0、F2c,010,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c短轴的长 2b长轴的长 2aF1F2 2cc2 a2b2关于x轴、y轴、原点对称cb2e 120 e 1aa.word 完美格式.专业.专注.准线方程a2x ca2y c13、设是椭圆上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则F1d1F2d2 e14、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F）1F2的点的轨迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性xy1a 0,b 022ab2222yx1a 0,b 022abx a或x a，yR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0y a或y a，xR10,a、20,aF10,c、F20,c虚轴的长 2b实轴的长 2aF1F2 2cc2 a2b2关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称.word 完美格式.专业.专注.离心率准线方程渐近线方程a2x cby xacb2e 12e 1aaa2y cay xb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线17、设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准线的距离为d2，则F1d1F2d2 e18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即 2p20、焦半径公式：p；2p若点x0,y0在抛物线y2 2pxp 0上，焦点为F，则F x0；2p若点x0,y0在抛物线x2 2pyp 0上，焦点为F，则F y0；2p若点x0,y0在抛物线x2 2pyp 0上，焦点为F，则F y02若点x0,y0在抛物线y2 2pxp 0上，焦点为F，则F x021、抛物线的几何性质：标准方程图形顶点y2 2 pxy2 2 pxx2 2 pyx2 2 pyp 0p 0p 0p 00,0.word 完美格式.专业.专注.对称轴 pF,02x轴y轴p F0,2p F0,2焦点pF,02准线方程x p2x p2y p2y p2离心率e 1范围x 0 x 0y 0y 022、空间向量的概念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向uuu ruuu r3向量的大小称为向量的模（或长度），记作4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a6方向相同且模相等的向量称为相等向量23、空间向量的加法和减法：rrr1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点rr为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四uuu rrr边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.word 完美格式.专业.专注.2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则 即：在空间任取一点，作uuu rruuu rruuu rrr a，b，则 a brr24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算 当 0时，a与a方向相同；当 0时，a与a方向相反；当 0时，a为rrr零向量，记为0a的长度是a的长度的倍rrrrrrrb25、设，为实数，a，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律rrrrrr分配律：a b a b；结合律：aa26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线r rrrr27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，b b 0，a/b的充要rr条件是存在实数，使a b28、平行于同一个平面的向量称为共面向量29、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对uuu ruuu ruuu rx，y，使 x yC；或 对 空 间 任 一 定 点，有uuu ruuu ruuu ruuu r x yC；或 若 四 点，C共 面，则uuu ruuu ruuu ruuu r x y zCx y z 1uuu rruuu rrrr30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作 a，b，则rrrr称为向量a，b的夹角，记作a,b两个向量夹角的取值范围是：rra,b0,rrrrrr31、对于两个非零向量a和b，若a,b，则向量a，b互相垂直，记作2.word 完美格式.专业.专注.rra brrrrrrrr32、已知两个非零向量a和b，则a b cosa,b称为a，b的数量积，记作rrrrrrrrab即ab a b cosa,b零向量与任何向量的数量积为零向量与任何向量的数量积为0rrrrrrrrr33、ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影b cosa,b的乘积r rr rrr rrrr3434、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1ea ae a cosa,e；rrrrrra b a与b同向rrrrrr rr rr2，aa a，a aa；2a b ab 0；3ab rrrr a b a与b反向rrrabrrrrr4cosa,b rr；5ab a ba brrrrrrrrrr35、向量数乘积的运算律：1ab b a；2ab ab ab；3rrrr rrra b c ac b crrrr36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有rrrrrrrrrrrp xi yj zkyjjzkk序实数组x,y,z，使得，称xi，为向量p在i，上的分量rrr37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量rrrrrp，存在实数组x,y,z，使得p xa yb zcrrr38、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是rr rrrrrrp p xa yb zc,x,y,zR这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，rrrrrra,b,c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底u ru u ru r39、设e1，e2，e3为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位u ru u ru ru ru u ru r正交基底），以e1，e2，e3的公共起点为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向.word 完美格式.专业.专注.uuu rrr量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量 p存在u ru u ru rrr有序实数组x,y,z，使得p xe1 ye2 ze3把x，y，z称作向量p在单位u ru u ru rrr正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p x,y,z此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标x,y,zrrrr40、设a x1,y1,z1，b x2,y2,z2，则1a b x1 x2,y1 y2,z1 z2rr2a b x1 x2,y1 y2,z1z2r3a x1,y1,z1rr4ab x1x2 y1y2 z1z2rrrrrr5若a、b为非零向量，则a b ab 0 x1x2 y1y2 z1z2 0rrrrrr6若b 0，则a/b a b x1x2,y1y2,z1z27rr ra aa x12 y12 z12rrrx1x2 y1y2 z1z2abrcosa,b 8r r222222a bx1 y1 z1x2 y2 z29duuu r x1,y1,z12，22 x2,y2,z2，则x2 x1y2 y1z2 z141、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向uuu ruuu r量来表示向量称为点的位置向量42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确r定点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任uuu rrr意一点，有 ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直rr线相交于点，它们的方向向量分别为a，b为平面上任意一点，存在有.word 完美格式.专业.专注.uuu rrrrr序实数对x,y，使得 xa yb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置rr44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量rrrr45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a/b a/b rrrrrra bR，a b a b ab 0rr46、若直 线a的方向向量为a，平 面的法 向量 为n，且a，则ra/a/rrr rrrrrr a n an 0，a a a/n a nrr47、若 空 间 不 重 合 的 两 个 平 面，的 法 向 量 分 别 为a，b，则/a/b rrrrrra b，a b ab 0rrrr48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有rrabcos cosrra brrr49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与rrl nrn的夹角为，则有sincos rrl nuruu ruruu r50、设n1，n2是二面角l 的两个面，的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角l 的平面角为，ur uu rn1n2则cos ur uu rn1n2uuu ruuu r51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算r52、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直.word 完美格式.专业.专注.uuu rrnuuu ruuu rr线l的距离为d cos,n rnr53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面的距离为.word 完美格式.
