第1讲：数形结合法与数学建模思想(初三)-.pdf
决胜中考2015 九数(春季班）数学思维训练 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，老师助你走向人生的辉煌！1 E D C B A 数形结合法与数学建模思想 1 数形结合法：是数学中的重要思想方法之一，特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数量关系；求解这类问题的关键是把“形”、“数”相结合与相互转化。在初中学习范围内十分重要，它为高中、大学等后续学习奠定基础，也是中考每年必考的一种思想方法，涉及的题型、题量的分值配备高达 30 多分。2 数学建模：是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法，广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相似三角形、图形变换等知识，加强对常见数学模型的识记，有助于学生对所学知识进行系统归类，增强识图与应用数学的能力。3 数形结合法在初中范围内的运用 1、代数问题通过构造几何图形给予解决【例 1】当代数式12xx 取最小值时，相应的x的取值范围是 ；【例 2】已知0 x，0y，1 yx,且xya恒成立，则a的最小值等于 【例 3】请计算：（1）、tan015=(2)、sin018=【例 4】如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC，已知5AB,1DE,8BD,设CDx。(1)用含x的代数式表示ACCE的长；(2)请问点C满足什么条件时,ACCE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422xx的最小值.变式议练一：1、若0a，0b，且0ab，则有理数a，b，a，b的大小关系是 ；2、在平面直角坐标系中，已知 A(-1，-2),B(4,2),C(1,m),当 m=时，CA+CB 有最小值。3、_,0,0的取值范围是成立的要使若xbabxaxba 4、函数1342222xxxxy的最小值是 2、几何问题的代数解法【例 5】将边长分别为 2、3、5 的三个正方形按如图 方式排列，则图中阴影部分的面积为 【例 6】O是ABC的内切圆，与边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，5AB,6BC，7CA,则AD ，BE ，CF 。变式议练二：决胜中考2015 九数(春季班）数学思维训练 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，老师助你走向人生的辉煌！2 yxAOCBABCPEDM1、Rt ABC的斜边为 13，面积为 30，则两直角边的和等于 。2、已知 AB 是半径为 1 的O的弦，AB 的长是方程：012 xx的一个根，则AOB 的度数是 。3 在平面直角坐标系中的广泛运用【例 7】（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点(3 0)C ，点AB，分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足2310OBOA（1）求点A、点B的坐标（2）若点P从C点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线CB运动，连结AP设ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点ABP，为顶点的三角形与AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【例 8】已知点 A,C 都在双曲线：)0(33xxy上，点 B,D 都在 x 轴上，AOB,BCD都是等边三角形，则点 D 的坐标是 变式议练三：关于 x 的方程：axx52有且只有两个不同实根，则 a 的取值范围是 4 初中数学常见数学模型及其运用 基本模型 1：等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意一点，PDAB，PEAC，CMAB。结论：PDPECM 证明思路：（1）面积恒等法（2）截长补短法 【例 9】在ABC中，AB=AC，CGBA 交 BA 的延长线于点 G，一等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 在一条直线上，另一条直角边决胜中考2015 九数(春季班）数学思维训练 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，老师助你走向人生的辉煌！3 GFDEACBGFDEACBABCDEFP恰好经过点 B。（1）在图中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，猜想并写出 BF 与 CG 满足的数量关系，让后证明你的猜想；（2）当三角尺沿 AC 方向平移到如图位置时，一条仍与 AC 在一条直线上，另一条直角边交BC 边于点 D，过点 D 作 DEBA 于点 E，此时请你通过观察、测量 DE、DF 与 CG 的长度,猜想并写出 DE、DF 与 CG 之间满足的数量关系，让后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿 AC 方向继续平移到如图所示的位置（点 F 在线段 AC 上，且点 F 与点 C 不重合）时，（2）中的猜想是否成立？变式练习四：1、等边三角形边长为 4，则该三角形内任意一点到三边的距离之和为 。2、如图：在矩形ABCD中，已知5AB，12AD，P是AD边上任意一点，BDPE 于E，ACPF 于F，那么PFPE 的值为 ；基本模型 2：“A”型，“X”型，斜射影模型 若：/DEBC 若：ABDC/若：ACDB 则：；则：；则：；【例 10】（重庆）如图：正方形ABCD中，F是CB延长线上的一点，DF交AB于E，交对角线AC于P，如2PE，3EF。求PD的长。【例 11】如图：在 RtABC 中，C=90，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，点 D 在 AB 上，DEEB。ABCGFOABCDECDBAEABDC决胜中考2015 九数(春季班）数学思维训练 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，老师助你走向人生的辉煌！4 BEDCAFQPABCEFP （1）求证：AC 是BDE 的外接圆的切线；（2）若 AD=6，AE=26，求 BC 的长；变式练习五：如图，平行四边形ABCD中，cmBC18，P、Q是AC的三等分点，DP延长线交BC于E，EQ延长线交AD于F，则AF ；基本模型 3：【例 12】已知如图，正方形ABCD与正方形OEFG边长均为2cm。O是正方形ABCD的中心，正方形OEFG绕点O旋转，求两个正方 形重叠部分（图中阴影）的面积。结论：1、OMON；2、S阴影14S正方形 变式练习六：1、（变换基本图形中一个）把正方形OEFG换成足够大的矩形，圆心角为90的扇形，直角三角形时，上述结论仍然成立。2（德州中考题）如图：已知ABC中，ABAC，90BAC，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：、AECF；、APECPF；、EPF是等腰直角三角形；、EFAP；、S四边形 AEPF12ABCS；当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（E不与A、B重合），上述结论中始终正确的是（）A、B、C、D、ABCDOEFGNMOABCDEFGMNABCDOEFMNABCDOEFMN决胜中考2015 九数(春季班）数学思维训练 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，老师助你走向人生的辉煌！5 基本模型 4：【例 13】如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为kmAC10，kmBD30，且kmCD30，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？变式练习七：1、（黄冈）如图：MN为O的直径，2MN，点A在O上，30AMN，B为 的中点，P是MN上的一个动点，则PBPA的最小值为（）A、22 B、2 C、1 D、2 2、如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线。（1）实验与探究：由图观察易知A（0，2）关于直线的对称点A（2，0），请在图中分别标明B（5，3），C（2，5）关于直线的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；（2）归纳与发现：结合图形观察以上点 的坐标特征你会发现：坐标平面内任一点 P（a，b）关于第一、三象限的角平分线 的对称点P的坐标为 ；（3）运用与拓广：已知两点D（1，3）、E（1，4），试在直线上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标 中考加油站-家庭作业（1）科目：数学 姓名：家长签字：1、如图：把PQR沿着 PQ 的方向平移到/RQP的位置，它们重叠部分的面积是PQRACBDOyxAABEDCANOMNABP/R/R决胜中考2015 九数(春季班）数学思维训练 没有比脚更长的路，没有比人更高的山，老师助你走向人生的辉煌！6 OxyABCPMQND面积的一半，若2PQ，则此三角形移动的距离/PP是（）A、21 B、22 C、1 D、12 2、如图：以边长为1 的正方形ABCD的顶点B为圆心，BC 为半径的弧交对角线BD于点E，F是CE上任意一点，FNBD于点N，FMBC于点M，则FNFM ；3、如图：E为正方形ABCD的边AB上一点，3AE，1BE，P为AC上的动点，则PEPB的最小值等于 ；4、如图：二次函数的图像经过点D（0，739），且顶点C的横坐标为4，该图像在x轴上截得的线段6AB。（1）求该二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PAPD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。ABCDEPABCDEFMN
