黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题理.pdf
哈尔滨市第六中学 2019-2020 学年度上学期期中考试 高二理科数学试题 一.选择题（每题 5 分，共 60 分）1.已知双曲线的渐近线为22yx，实轴长为4，则该双曲线的方程为（）A22142xy B22142xy或22148yx C 221168xy D221168xy或2211632yx 2.给出以下几个结论：(1)垂直于同一直线的两条直线互相垂直；(2)垂直于同一平面的两个平面互相平行；(3)若，是两个平面，m，n是两条直线，且m，n，/m，/n，则；(4)若，是两个平面，m，n是两条直线，,m mn，则n(5)若，是两个平面，m，n是两条直线，,/,n mmn，则m 其中错误结论的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知一个三棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如右图所示），则此三棱锥的体积为（）A.2 2 B.2 C.13 D.6 2 4.长方体1,3,ABCDA B C DBCBB ，平面AB C D 与长方体的各个面所形成的二面角的大小中不正确的有()A3 B4 C6 D2 5.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A7 B9 C11 D13 6.过椭圆22221(0)xyabab的左焦点1F做x轴的垂线交椭圆于点P，2F为其右焦点，若1230F F P，则椭圆的离心率为（）A22 B13 C12 D33 7.正三棱锥ABCD，侧棱2 3AB，棱2CD，,E F分别是,AB CD的中点，则EF与BC成角为（）A.60 B.90 C.30 D.45 8.如图，在正四棱锥PABCD中，60APC，则二面角APBC的平面角的余弦值为（）A.17 B.17 C.12 D.12 9.中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA 平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，若鳖臑PADE的体积为 1，则阳马PABCD的外接球的表面积等于（）A17 B18 C19 D20 10.在四面体-A BCD中，AD 底面ABC,5,8,6ABACBCAD,G为ABC的重心,F为线段AD的一点，且/FG平面BCD，则线段FG的长度是（）A.3 2 B.2 5 C.2 3 D.4 11.如图，在正方体1111ABCDABC D中，F是棱11AD上的动点下列说法正确的是（）A对任意动点,F在平面11ADD A内不存在与平面CBF平行的直线 B对任意动点,F在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线 C当点F从1A运动到1D的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变大 D当点F从1A运动到1D的过程中，二面角FBCA的大小不变 12.已知椭圆 C 的焦点为121,0,0FF()，(1)，过2F的直线与C交于A，B两点.若222AFF B，1ABBF，则C的方程为（）A22143xy B22154xy C2212xy D22132xy 二.填空题（共 20 分）13.双曲线224640 xy上的一点P到它的一个焦点的距离等于 1，那么点P到另一个焦点的距离为_ 14.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_ 15.已知圆锥的底面半径为 1，高为2 2，点P是底面圆周上一点，若一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离为_ 16.对于四面体ABCD，给出下列四个命题：若ABAC，BDCD，则BCAD；若,ABAC ABAD ACAD，则点A在平面BCD内的射影为BCD的重心；若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，BDAC，则BCAD 若ABACAD，则点A在平面BCD内的射影为BCD的外心 其中真命题的序号是_ 三.解答题（共 70 分）17.（共 10 分）如图，在正方体1111ABCD-A B C D中，O为AC的中点（1）求证：1OC/平面11AB D；（2）求证：平面11A D C 平面11AB D 18.（共 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，60DAB，侧面PAD为正三角形，且平面PAD 平面ABCD（1）求证：ADPB（2）若E为BC中点，试在PC上找一点F，使平面DEF 平面ABCD 19.（共 12 分）如图，在正方体1111ABCDABC D中，,E F G分别是1,AB CC AD的中点。（1）求异面直线1B E与BG所成角的余弦值；（2）棱CD上是否存在点T，使得/AT平面1B EF？请证明你的结论。20.（共 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60BAD，点O为AD的中点，90APD且ADPB.（1）求证：OB 平面PAD；（2）若ADPB，求平面PBC与平面PAD所成二面角的余弦值;（3）在第（2）问的前提下，求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.21.（共 12 分）设抛物线2:4Q yx的焦点为F（1）过F且斜率为(0)k k 的直线l与抛物线Q交于A，B两点，|8AB 求l的方程；（2）若斜率为32的直线m与抛物线2:4Q yx的交点为,C D，与x轴的交点为P若3CPPD，求线段CD的长度 22.（共 12 分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点(2,0),(2,0)AB连线的斜率之积为12，记点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于,M N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由；（3）过坐标原点的直线交C于,P Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形.高二理科数学答案 一.选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B B C D A B A B D D 二.填空题 13.17 14.3 15.3 316.17.()令11111B DACO,连接1O A,11111111/,/,A AB B A AB B C CB B C CB B 1111/,A AC C A AC C则四边形11A ACC是平行四边形，1111/,ACAC ACAC;又1OO点，分别是11ACAC，的中点 1111/,AOOC AOOC,则四边形11O AOC是平行四边形，11/AOOC，111111,AOAB DOCAB D平面平面 所以 1OC/平面11AB D；(2)证明1A C 平面11AB D,1A C 平面11A DC，平面11A D C 平面11AB D 18.（1）证明：取AD的中点O，连接,PO BO PAPD，POAD在底面菱形ABCD中，60BAD，BOAD，则AD平面PBO，ADPB（2）F为PC的中点，连接CO交DE于点G/ODCE，ODCE，G为OC的中点，则/FGPO平面PAD 平面ABCD，POAD，PO平面ABCD，则FG 平面ABCD，平面DEF 平面ABCD.设正方体棱长为2a 则2,2,0Baa，12,2,2Baaa，2,0Ea a，,0,0G a，0,2,0Ca，0,0,0D，0,2,Fa a，2,0,0Aa 19.（1）设异面直线1B E与BG所成角为10,2B Eaa，,2,0BGaa 21122cos555B E BGaaaB E BG，即异面直线1B E与BG所成角的余弦值为：25（2）假设在棱CD上存在点0,0Tt，0,2ta，使得/AT平面1B EF 则10,2B Eaa，2,EFa a a，2,0ATa t 设平面1B EF的法向量,nx y z 12020B E nayazEF naxayaz ，令1z，则2y ，12x 1,2,12n 20AT nat，解得：2at 14DTDC 棱CD上存在点T，满足14DTDC，使得/AT平面1B EF 20.（1）证明：连结OP，BD，因为底面ABCD为菱形，60BAD，故ADABBD，又O为AD的中点，故OBAD 在APD中，90APD，O为AD的中点，所以12POADAO 设2ADPBa，则3OBa，POOAa，因为22222234POOBaaaPB，所以OBOP（也可通过POBAOB 来证明OBOP），又因为OPADO，OP 平面PAD，AD平面PAD，所以OB 平面PAD；（2）因为ADPB，ADOB，OBPBB，PB 平面POB，PB 平面POB，所以AD平面POB，又PO 平面POB，所以POAD 由（1）得OB 平面PAD，又OP 平面PAD，故有OPOB，又由ADOB，所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直 故以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴如图建系 设2AD，则1,0,0A，1,0,0D，0,3,0B，0,0,1P 所以0,3,1PB，2,0,0BCAD，0,3,0OB，由（1）知OB 平面PAD，故可以取与OB平行的向量0,1,0n 作为平面PAD的法向量 设平面PBC的法向量为,mx y z，则2030m BCxm PByz，令1y，所以0,1,3m 设平面PBC与平面PAD所成二面角为，则1coscos0 1y+2222mym则121(xxm y+2)2y=-242m 由四边形OMEN为平行四边形，得到OEOMON E（-224222mmm，）把点E坐标代入曲线C的方程得：4220mm=0，解得20m 此时直线l的方程为1x ，但2x ，所以不存在.（3）(3)设直线PQ的方程为ykx,由题意可知0k,直线PQ的方程与椭圆方程2224xy联立,即22222,2124.2.21xykxkxykyk或222,212.21xkkyk,点P在第一象限，所以22222222(,),(,)21212121kkPQkkkk，因此点E的坐标为22(,0)21k 直线QE的斜率为2QEkk，可得直线QE方程：2221kkyxk，与椭圆方程联立，222,22124.kkyxkxy，消去y得，2222224128(2)02121k xkkxkk（*），设点11(,)G x y，显然Q点的横坐标2221k和1x是方程（*）的解 所以有22211222212826421221(2)21kkkxxkkkk，代入直线QE方程中，得 31222(2)21kykk，所以点G的坐标为232222642(,)(2)21(2)21kkkkkk，直线PG的斜率为;3322222222222222(2)1(2)2121642642(2)(2)2121PGkkkk kkkkkkkkkkkk,因为1()1,PQPGkkkk 所以PQPG，因此PQG是直角三角形；
