三角函数的应用.pdf

三角函数的应用三角函数的应用三角函数的应用三角函数的应用摘要：摘要：三角函数在历史长河的沉淀中，不仅是科学研究的重要三角函数在历史长河的沉淀中，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，更是我们实际生活组成部分，还是数学学习中得重点难点，更是我们实际生活中不可缺少的元素。我从三角函数的发展以及生活实际应用中不可缺少的元素。我从三角函数的发展以及生活实际应用举例两方面来研究举例两方面来研究关键词：关键词：三角函数三角函数三角函数的应用三角函数的应用三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具究周期性现象的基础数学工具11。在数学分析中，三角函数。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数（常见的三角函数包括正弦函数（和正切函数（和正切函数（）、余弦函数（）、余弦函数（）或者或者）11。在航海学、测绘学、工程学等。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为2 23 3角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。三角函数也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。函数。欧拉的欧拉的 无穷微量解析入门无穷微量解析入门 对建立三角函数在欧洲的对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写还有使用接近现代的简写 sinsin、coscos、tangtang、cotcot、secsec、coseccosec。二、三角函数的应用与生活二、三角函数的应用与生活三角函数在实际生产、三角函数在实际生产、生活中应用的“随处可见”生活中应用的“随处可见”算屋顶算屋顶的高和长度的时候会用到，计算比较复杂点的如直的圆的形的高和长度的时候会用到，计算比较复杂点的如直的圆的形式各样的楼梯，坡道，土方工程的测量控制、公路桥梁的走式各样的楼梯，坡道，土方工程的测量控制、公路桥梁的走向，花园的规划，材料的预算等方面也时常会用到。向，花园的规划，材料的预算等方面也时常会用到。（一）（一）停车场设计问题停车场设计问题如图如图ABCDABCD是一块边长为是一块边长为100m100m的正方形地皮，的正方形地皮，其中其中ATPNATPN 是一半径为是一半径为90m90m 的扇形小山，的扇形小山，P P 是弧是弧TNTN4 4上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在地上建造一个有边落在BCCDBCCD与上的长方形停车与上的长方形停车场场 PQCRPQCR，求长方形停车场，求长方形停车场PQCRPQCR面积的最大值和面积的最大值和最小值。最小值。解：解：（1 1）设PAB=，090，）设PAB=，090，则则 AM=90cos，PM=90sinAM=90cos，PM=90sinRP=RM-PM=100-RP=RM-PM=100-90sin，90sin，PQ=MB=100-PQ=MB=100-90cos90cosS=PQS=PQPR=PR=（100-100-90sin）90sin）（100-100-90cos）90cos）=10000-9000=10000-9000（sin+cos）+8100sincos（sin+cos）+8100sincosS=fS=f（）（）=10000-9000=10000-9000（sin+cos）+8100sincos；（sin+cos）+8100sincos；（2 2）设）设 sin+cos=t，则sin+cos=t，则 sincos=sincos=即即 t=t=sinsin（+（+），0，0，1t，1t，代入代入 S S 化简得化简得 S=S=故当故当 t=t=时，时，S Sminmin=950=950（m m2 2）；当当 t=t=时，时，S Smaxmax=14050-9000=14050-9000（m m2 2）（二）采光问题（二）采光问题5 5已知某小区的两幢已知某小区的两幢 1010 层住宅楼间的距离为层住宅楼间的距离为 AC=30 mAC=30 m，由地面向上依次为第由地面向上依次为第 1 1 层、第层、第 2 2 层、第层、第 1010 层，每层高层，每层高度为度为 3 m3 m假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长 EC=hEC=h，太，太阳光线与水平线的夹角为阳光线与水平线的夹角为(1)(1)用含的式子表示用含的式子表示 h(h(不必指出的取值范围不必指出的取值范围)；(2)(2)当当3030时，甲楼楼顶时，甲楼楼顶 B B 点的影子落在乙楼的第几点的影子落在乙楼的第几层？若每小时增加层？若每小时增加 1515，从此时起几小时后甲楼的影子刚好从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？不影响乙楼采光？(1)(1)过点过点 E E 作作 EFEF ABAB 于于 F F，由题意，四边形，由题意，四边形ACEFACEF 为矩形为矩形 EF=AC=30EF=AC=30，AF=CE=h,AF=CE=h,BEF=BEF=，BF=3BF=3 10-h=30-h10-h=30-h又又 在在 RtRt BEFBEF 中，中，tantan BEF=BFEFBEF=BFEF，tantan=，即，即 30-h=30tan30-h=30tan.h=30-30tanh=30-30tan(2)(2)当当3030时，时，h=30-30tan30h=30-30tan30=30-30=30-30 12.712.7，(2)(2)12.712.7 3 3 4.24.2，B B 点的影子落在乙楼的第五层点的影子落在乙楼的第五层当当 B B 点的影子落在点的影子落在 C C 处时，甲楼的影子刚好不影响乙处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光楼采光.此时，由此时，由 AB=AC=30AB=AC=30，知，知ABCABC 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACBACB4545 6 6 45-30/15=1(45-30/15=1(小时小时).).故经过故经过 1 1 小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光。小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光。（三）销售利润问题（三）销售利润问题某专业调查队在调查某商品的出厂价格和它的市场销某专业调查队在调查某商品的出厂价格和它的市场销售价格时发现：售价格时发现：信息信息 1 1：该商品的出厂价格是在：该商品的出厂价格是在 6 6 元的基础上按月份随元的基础上按月份随函数函数y1=A1siny1=A1sin（1x+1x+1 1）+B1+B1 波动的波动的.已知已知 3 3 月份出厂价月份出厂价格达到最高，为格达到最高，为 8 8 元，然后逐渐降低，到元，然后逐渐降低，到 7 7 月份出厂价格达月份出厂价格达到最低，为到最低，为 4 4 元元信息信息 2 2：该商品的销售价格是在：该商品的销售价格是在 8 8 元的基础上，按月份元的基础上，按月份随函数随函数 y2=A2siny2=A2sin（2x+2x+2 2）+B2+B2 波动的波动的.已知已知 5 5 月份销售月份销售价格达到最高，为价格达到最高，为 1010 元，然后逐渐降低，到元，然后逐渐降低，到 9 9 月份销售价月份销售价格达到最低，为格达到最低，为 6 6 元元（1 1）根据上述信息，求该商品的出厂价格）根据上述信息，求该商品的出厂价格 y1y1（元（元/件）件）和销售价格和销售价格 y2y2（元（元/件）与月份件）与月份 x x 之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2 2）若某经销商每月购进该商品）若某经销商每月购进该商品 m m 件，且当月能售完，件，且当月能售完，则在几月份盈利最大？并说明理由则在几月份盈利最大？并说明理由解析解析（1 1）依题意，依题意，得得 B1=8+42=6B1=8+42=6，A1=2A1=2，T1=2T1=2（7-37-3）=8=8，所以所以1=21=2T1=T1=4 4，y1=2siny1=2sin4x+4x+1+6.1+6.将点（将点（3 3，8 8）代入函数）代入函数 y1=2siny1=2sin4x+4x+1+61+6，得，得1=-1=-4 4，7 7所以所以 y1=2siny1=2sin4x-4x-4+6.4+6.同理，可得同理，可得 y2=2siny2=2sin4x-34x-34+8.4+8.（2 2）因为利润函数是）因为利润函数是 y=my=m（y2-y1y2-y1）=m2sin=m2sin4x-34x-34+8-2sin4+8-2sin4x-4x-4-64-6=m2-22sin=m2-22sin4x4x，当当 sinsin4x=-14x=-1，即即4x=2k4x=2k-2 2（k kZ Z），亦即亦即 x=8k-2x=8k-2（k kZ Z）时，）时，y y 取最大值取最大值又又 1 1x x1212，故当，故当 k=1k=1，即，即 x=6x=6 时，时，y y 最大最大.综上可知，在综上可知，在 6 6 月份盈利最大月份盈利最大通过三角函数的应用，解决经济学中的销售利润问题，通过三角函数的应用，解决经济学中的销售利润问题，也是我们工作中常常用到的手法。也是我们工作中常常用到的手法。通过生活中的例子我们可以体会到三角函数在生活中通过生活中的例子我们可以体会到三角函数在生活中应用之大。历经历史长河的沉淀，三角函数不仅是科学研究应用之大。历经历史长河的沉淀，三角函数不仅是科学研究的重要组成部分，还是实际生活应用中不可缺少的。通过我的重要组成部分，还是实际生活应用中不可缺少的。通过我们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身们的研究，我们深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，也可以体会到三角函数在生活中应用之大。在设“角”边，也可以体会到三角函数在生活中应用之大。在设“角”求解的生活情景中一般涉及到角与边之间的相互关系，求解的生活情景中一般涉及到角与边之间的相互关系，对这对这类问题，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦类问题，一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。调性等。8 8当今时代，知识更新速度加快，日新月异，特别是进入当今时代，知识更新速度加快，日新月异，特别是进入2121 世纪以后，世纪以后，思想活跃，思想活跃，关于数学方面的研究日益深入和丰关于数学方面的研究日益深入和丰富，三角函数研究的意义和必要性也日益突出。三角函数教富，三角函数研究的意义和必要性也日益突出。三角函数教学对我们的生产生活发挥着重要作用，三角函数的教学会更学对我们的生产生活发挥着重要作用，三角函数的教学会更加深入化，专业化，也会给我们的国家和社会带来强大的动加深入化，专业化，也会给我们的国家和社会带来强大的动力！力！9 9