人教A版(2019)高二数学第二学期期末复习测试题(含答案)_2.pdf

人教 A 版（2019）高二数学第二学期期末复习测试题（含答案）本试卷有三道大题，考试时长 120 分钟，满分 150 分。一、选择题（每小题 4 分，共 40 分，每题均只有一个正确答案）1.若函数)(xfsinx+cosx，则)4(f=A.-2 B.2 C.1 D.0 2.4)1(xx的展开式中，常数项是 A.1 B.4 C.6 D.12 3.某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从 6 位老师中选出 3 位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为 A.15 B.20 C.30 D.120 4.已知定义在0，3上的函数)(xf的图像如下图，则不等式)(xf0 的解集为 A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（0，1）（2，3）5.已知nxx)2(2的展开式中，各二项式系数和为 64，则 x7的系数为 A.15 B.20 C.60 D.80 6.用 0，1，2，3，4 可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为 A.36 B.48 C.60 D.72 7.2022 年 4 月 4 日至 2022 年 7 月 3 日期间，北京本地燃油机动车尾号限行规定为 周一 周二 周三 周四 周五 3 和 8 4 和 9 5 和 0 1 和 6 2 和 7 已知甲、乙、丙各拥有一辆本地燃油机动车，车牌尾号分别为 1，2，7。三人住在同一小区且工作地点相近，故商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车只用一天，按此限行规定，周一到周五不同的用车方案种数为 A.12 B.16 C.24 D.36 8.如图所示，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度 h 随时间 t 变化的函数为 h)(tf，定义域为 D，设 t0D，k1，k2分别表示)(tf在区间t0-t，t0，t0，t0+t（t0）上的平均变化率，则 A.k1k2 B.k1k2 C.k1k2 D.无法确定 9.设函数)(xfxaexln（其中 aR，e 为自然常数），则“a0”是“)(xf在区间（0，+）上单调递增”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.当 nN 时，将三项式（12 xx）n展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在（1+ax）（12 xx）5的展开式中，x8的系数为 75，则实数 a 的值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）11.若（1-2x）5a5x5+a4x4+a1x+a0，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5_。12.播种时用的一等小麦种子中混有 3的二等种子，2的三等种子。一等、二等、三等种子长出的穗含有 50 颗以上麦粒的概率分别为 0.5，0.15，0.1，则这批种子所结的穗含有50 颗以上麦粒的概率为_。13.由于防疫需要，学校要在周一到周五每天安排一部分同学做核酸检测。假设每人每周可任选一天测核酸，现有甲、乙两名同学，设事件 A 为“甲不在周一测核酸”，事件 B 为“甲、乙不在同一天测核酸”，则 P（A|B）_。14.已知曲线 y)(xf存在两条互相平行的切线，请写出一个满足条件的函数：_。15.函数)(xfxeax2（其中 aR，e 为自然常数）aR，使得直线 y0 为曲线 y)(xf的一条切线；aR，函数)(xf有且仅有一个零点；当 a0 时，)(xf在区间（e，+）上单调递减；当 a0 时，bR，使得直线 yb 与曲线 y)(xf没有交点。则上述结论正确的是_。（写出所有正确的结论的序号）（注：全部正确得 5 分，有漏选得 3 分，有错选或不选得 0 分）三、解答题（共 6 小题，共 85 分。解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（本小题 12 分）已知函数)(xfxxx3423。（I）求函数)(xf在点 P（1，)1(f）处的切线方程；（II）求函数)(xf的极值。17.（本小题 14 分）某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为 100 分，规定测试成绩在区间85，100内为“体质优秀”，在75，85）内为“体质良好”，在60，75）内为“体质合格”，在0，60）内为“体质不合格”。现从这个年级中随机抽取 7 名学生，测试成绩如下：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 测试成绩 60 85 80 65 90 91 75（I）若该校高二年级有 280 名学生，试估计高二年级“体质优秀”的学生人数；（）若从这 7 名学生中随机抽取 3 人，记 X 为抽取的 3 人中“体质良好”的学生人数，求 X 的分布列。18.（本小题 15 分）已知函数)(xfxekkxx)(2。（I）求)(xf的单调区间；（II）若)(xf在 x1 处取得极值。（i）求 k；（i）)(xf是否存在最值？说明理由。19.（本小题 14 分）某学校随机抽取部分学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，60），60，80），80，100。（I）求直方图中 x 的值；（II）从该校学生中任选 4 人，这 4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的人数记为 X，以直方图中学生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为学生上学所需时间少于 20 分钟的概率。（i）求 X 的分布列；（i）求这 4 人中至少有 1 人上学所需时间少于 20 分钟的概率。20.（本小题 15 分）设函数)(xf2lnxmx（mR），曲线 y)(xf在点 A（1，)1(f），B（5，)5(f）处的切线分别为 l1，l2。（I）求 l1的方程，并证明：对任意实数 m，l1过定点；（II）若)(xf存在极值，求实数 m 的取值范围；（III）当 m9 时，分别写出 l1，l2与曲线 y)(xf的交点个数（不需证明）。21.（本小题 15 分）给定数列an，若数列cn满足：对an中任意相邻的两项 an和 an+1，均存在某项cm，使得1nmnmacac0，则称cn是an的“分隔数列”。（I）已知an是项数为 4 的数列：1，4，6，9。则（i）an的“分隔数列”可以为_。2，5，8，10 0，5，8 1，7，5（ii）设cn是an的项数为 3 的“分隔数列”，且cn各项均为整数，则所有满足条件的cn的个数为_。（II）已知an为递增的无穷等比数列，a11，Tn是an的前 n 项和，若数列Tn是an的分隔数列，求an的公比 q 的取值范围：（III）是否存在无穷等差数列an，Sn是an的前 n 项和，使得数列Sn是an的分隔数列？说明理由。参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分，每题均只有一个正确答案）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C B B C C B A A C 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）11.-1；12.0.4815；13.54；14.ysinx（答案不唯一）；15.。三、解答题（共 5 小题，共 85 分。解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.解：（I）)(xf3832 xx，2 分 所以 k)1(f8，3 分 又因为)1(f2，.4 分 所以 y8x-6。.5 分（II）)(xf3832 xx（3x-1）（x+3），令)(xf0，得 x31或 x-3，6 分)(xf与)(xf随 x 的变化情况如下表：x（-，-3）-3（-3，31）31（31，+）)(xf+0-0+)(xf 极大值 极小值 10 分 所以 x-3 时，)(xf极大18，11 分 x31时，)(xf极小-2714。12 分 17.解：（I）高一年级随机抽取的 7 名学生中，“体质优秀”的有 3 人，优秀率为73，将此频率视为概率，估计高一年级“体质优秀”的学生人数为73280120 人.6 分（）高一年级抽取的 7 名学生中“体质良好”的有 2 人，非“体质良好”的有 5 人。所以 X 的可能取值为 0，1，2 7 分 )0(XP72373502CCC，)1(XP74372512CCC，)2(XP71371522CCC .10 分 所以随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 P 72 74 71.14 分 18.解：（I）)(xf（2x-k）ex+（x2-kx-k）ex .1 分 exx2+（2-k）x-2kex（x+2）（x-k）令)(xf0，得 xk 或 x-2.2 分 当 k-2 时，)(xf0，)(xf单调递增区间为（-，+）3 分 当 k-2 时，)(xf与)(xf随 x 的变化情况如下表：x（-，-2）-2（-2，k）k（k，+）)(xf+0-0+)(xf 极大值 极小值 .4 分 当 k-2 时，)(xf与)(xf随 x 的变化情况如下表：x（-，k）k（k，-2）-2（-2，+）)(xf+0-0+)(xf 极大值 极小值 .5 分 综上：当 k-2 时，)(xf单调递增区间为（-，+）；当 k-2 时，)(xf单调递增区间为（-，-2）和（k，+），单调递减区间（-2，k）；当 k-2 时，)(xf单调递增区间为（-，k）和（-2，+），单调递减区间（k，-2）。6 分（II）（i）因为)(xf在 x1 处取极值，所以)1(f3e（1-k）0，得 k1。8 分 经检验符合已知条件，所以 k1。9 分（ii）因为 k1，所以)(xf（x2-x-1）ex，则)(xfex（x+2）（x-1）)(xf与)(xf随 x 的变化情况如下表：x（-，-2）-2（-2，1）1（1，+）)(xf+0-0+)(xf 极大值 极小值 .10 分 所以 x-2 时，)(xf极大5e-225e，当 x1 时，)1(f极小-e。.12 分 又因为)2(fe225e，所以当 x2 时，)(xf)(xf极大，所以)(xf无最大值。.13 分 当 x-2 时，x2-x-10，)(xf（x2-x-1）ex0-e，.14 分 当 x-2 时，)(xf-e，所以)(xf有最小值，最小值为)1(f-e。15 分 19.解：（I）由直方图可得：20 x+0.02520+0.006520+0.0032201 所以 x0.0125。.3 分（）（i）X 的可能取值为 0，1，2，3，4。.4 分 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为41，25681)43()0(4XP，6427)43)(41()1(314CXP，12827)43()41()2(2224CXP，643)43()41()3(334CXP，2561)41()4(4XP。.9 分 所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P 25681 6427 12827 643 2561 11 分（ii）这 4 人中至少有 1 人上学所需时间少于 20 分钟的概率为 1-25681=256175 .14 分 20.解：（I）由)(xf222)2(4)4()2(1xxxmxxmx，2 分 得91)1(mf。3 分 又3)1(mf 4 分 所以 l1方程为)1)(91(3xmmy，.5 分 即 ymxm941)91(。当 x4 时，y39414)91(mm，所以 l1过定点（4，3）。.6 分（II）设4)4()(2xmxxg，则)(xf存在极值等价于)(xg在区间（0，+）有变号零点。因为)(xg在（-，2m-2）单调递增，在（2m-2，+）单调递减，.7 分 当2m-20 即 m4 时，x（0，+），)(xgg（0）0，即)(xf0，.8 分 所以)(xf在（0，+）单调递增，不合题意。9 分 当2m-20 即 m4 时，由 g（2m-2）0 得 m8，.10 分 此时 存在 x1（0，2m-2），x2（2m-2，+），使得 g（x1）g（x2）0。)(xf与)(xf的情况如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）)(xf+0-0+)(xf 极大值 极小值 综上，实数 m 的取值范围是（8，+）。.11 分（III）l1，l2与曲线 y)(xf交点的个数分别为 2 个和 3 个。15 分 21.解：（I）an的“分隔数列”有 .2 分 设cn是an的“分隔数列”。由41mmcc0，cmZ，得cn中有一项取自1，2，3 同理，cn中有一项取自4，5，有一项取自6，7，8，由乘法原理及数列的有序性，得an的“分隔数列”共计有 3233！108 种 .4 分（II）由an是递增的等比数列，所以 q1，anqn-1，.5 分 所以 a1T1T2T3Tn，a2a1+a2T2，因此满足条件 a11iTa2的1iT如果存在，只能是 T1。现在寻找满足条件 a22iTa3的2iT。注意到 T1a2T2，a3T3，因此满足条件 a22iTa3的2iT如果存在，只能是 T2。再寻找满足条件 a33iTa4的3iT，注意到 T2a3T3，a4T4，因此满足条件 a33iTa4的3iT，如果存在，只能是 T3.这时，由 a1+a2+a3a4，得 1+q+q2q3。即 1+q+q2+qn-1qn（q1）对一切正整数 n 成立，7 分 即qqn11qn（2-q）qn1，解得 q2。故 q2 9 分（）不存在。.10 分 理由：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d。若 d0，由1nmnmaSaS0 得1111amaama0，无解 11 分 如果将an中的每一项均变成原来的相反数，则题意不变，故只需证明公差为正的等差数列是不存在的：由于 d0，故存在正整数 N1，使得1NSmaxS1，S2，11NS.12 分 存在一个正整数 N2，使得当 mN2时，Sm+1-Sm2d 因为 Sm+1-Smam+1a1+md2d（m-2）d-a1 m21da 所以取 N2max0,21da+1 即可，.13 分 对于给定的大于 1 的正整数 m（mN3时），存在 akSmak+l，这样的 k 是存在的，因为：a1+（k-1）dSma1+kd daSm1kdaSm1+1 所以只需 Sma1，则 k 就是大于daSm1的最小正整数 而 Sma1ma1+dmm2)1(a1 dmm2)1(（1-m）a1 dm2-a1 mda12 所以取 N3max1,21da+1 即可，.14 分 由，令 NmaxN1，N2，N3，当 mN 此时有 Sm+1Sm+2dak+2dak+2 而 Smak+1，故 Smak+1ak+2Sm+1 又由于 S1，S2，Sm-1均小于 Sm；Sm+2，Sm+3，Sm+4，均大于 Sm+1，故数列Sn中没有一项 St，满足 ak+1Stak+2，所以Sn不是an的分隔数列 .15 分