勾股定理9种证明(有图)_1.pdf
勾股定理的 9 种证明（有图）【证法 1】（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上.RtHAE RtEBF,AHE=BEF.AEH+AHE=90,AEH+BEF=90.HEF=180 90=90.四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形.它的面积等于 c2.RtGDH RtHAE,HGD=EHA.HGD+GHD=90,EHA+GHD=90.又 GHE=90,DHA=90+90=180.ABCD 是一个边长为 a+b 的正方形，它的面积等于2ba.22214cabba.222cba.【证法 2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上.过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P.DGCFAHEBabcabcabcabcbacGDCFPHGFEDCBAabcabcabcabccbaAEFP D、E、F 在一条直线上,且 RtGEF RtEBD,EGF=BED，EGF+GEF=90，BED+GEF=90，BEG=180 90=90.又 AB=BE=EG=GA=c，ABEG 是一个边长为 c 的正方形.ABC+CBE=90.RtABC RtEBD,ABC=EBD.EBD+CBE=90.即 CBD=90.又 BDE=90，BCP=90，BC=BD=a.BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,21222abSba abSc2122,222cba.【证法 3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba），斜边长为c.再做一个边长为 c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P.过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N.BCA=90，QPBC，MPC=90，BMPQ，BMP=90，BCPM 是一个矩形，即MBC=90.QBM+MBA=QBA=90，ABC+MBA=MBC=90，QBM=ABC，又 BMP=90，BCA=90，BQ=BA=c，RtBMQ RtBCA.同理可证 RtQNF RtAEF.从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明）.【证法 4】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD.过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L.AF=AC，AB=AD，FAB=GAD，FAB GAD，cbacbaABCDEFGHMLK FAB 的面积等于221a，GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半，矩形 ADLM 的面积=2a.同理可证，矩形 MLEB 的面积=2b.正方形 ADEB 的面积 =矩形 ADLM 的面积+矩形 MLEB 的面积 222bac，即 222cba.【证法 5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba），斜边长为 c.再做一个边长为 c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过 A 作 AFAC，AF 交 GT于 F，AF 交 DT 于 R.过 B 作 BPAF，垂足为 P.过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为E，DE 交 AF 于 H.BAD=90，PAC=90，DAH=BAC.又 DHA=90，BCA=90，AD=AB=c，RtDHA RtBCA.DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以 RtAPB RtBCA.即 PB=CA=b，AP=a，从而 PH=ba.RtDGT RtBCA,RtDHA RtBCA.987654321PQRTHGFEDCBAabcabccc RtDGT RtDHA.DH=DG=a，GDT=HDA.又 DGT=90，DHF=90，GDH=GDT+TDH=HDA+TDH=90，DGFH 是一个边长为 a 的正方形.GF=FH=a.TFAF，TF=GTGF=ba.TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP=b，高 FP=a+（ba）.用数字表示面积的编号（如图），则以 c 为边长的正方形的面积为 543212SSSSSc abaabbSSS21438=abb212，985SSS，824321SabbSS=812SSb.把代入，得 98812212SSSSbSSc=922SSb=22ab.222cba.【证法 6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba），斜边的长为 c.做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.TBE=ABH=90，TBH=ABE.又 BTH=BEA=90，MHRTGFEDCBAcba87654321BT=BE=b，RtHBT RtABE.HT=AE=a.GH=GTHT=ba.又 GHF+BHT=90，DBC+BHT=TBH+BHT=90，GHF=DBC.DB=EBED=ba，HGF=BDC=90，RtHGF RtBDC.即 27SS.过 Q 作 QMAG，垂足是 M.由BAQ=BEA=90，可知 ABE=QAM，而 AB=AQ=c，所以 RtABE RtQAM.又 RtHBT RtABE.所以 RtHBT RtQAM.即 58SS.由 RtABE RtQAM，又得 QM=AE=a，AQM=BAE.AQM+FQM=90，BAE+CAR=90，AQM=BAE，FQM=CAR.又 QMF=ARC=90，QM=AR=a，RtQMF RtARC.即64SS.543212SSSSSc，612SSa，8732SSSb，又 27SS，58SS，64SS，8736122SSSSSba=52341SSSSS=2c，即 222cba.【证法 7】（利用多列米定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC=a，AC=b，斜边 AB=c（如图）.过点 A 作 ADCB，过点 B 作 BDCA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 BDACBCADDCAB，AB=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，222ACBCAB，即 222bac，222cba.【证法 8】（利用反证法证明）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CDAB，垂足是 D.假设222cba，即假设 222ABBCAC，则由 ABABAB2=BDADAB=BDABADAB 可知 ADABAC2，或者 BDABBC2.即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB.在ADC 和ACB 中，A=A，若 AD：ACAC：AB，则 ADCACB.在CDB 和ACB 中，B=B，若 BD：BCBC：AB，则 CDBACB.bacabcACBDABDCacb又 ACB=90，ADC90，CDB90.这与作法 CDAB 矛盾.所以，222ABBCAC的假设不能成立.222cba.【证法 9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 abbaba2222；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 22214cabba=22cab.22222cababba,222cba.
