全等三角形压轴题及分类解析.pdf

B A O D C E 图 8 8 年级三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1、(1)如图,点 O 就就是线段 AD 得中点,分别以O 与 DO 为边在线段 AD 得同侧作等边三角形 OA与等边三角形 OCD,连结C 与，相交于点 E,连结 BC、求AEB 得大小;(）如图,OAB 固定不动,保持OCD 得形状与大小不变，将OCD 绕着点旋转（OA与D 不能重叠），求AEB 得大小、已知:点 C 为线段 AB 上一点,CM,CB都就就是等边三角形,且N、BM 相交于 O、求证:N=BM 求 AO得度数。若 AN、MC 相交于点 P,BM、C 交于点,求证:PQ。(湘潭中考题)同类变式:如图,ABC 与CEF 就就是两个大小不等得等边三角形,且有一个公共顶点 C,连接 AF 与 B、(1)线段F 与 BE 有怎样得大小关系?请证明您得结论;（2)将图中得CEF 绕点旋转一定得角度,得到图，(1)中得结论还成立吗?作出判断并说明理由;(3）若将图 a 中得AC 绕点 C 旋转一定得角度,请您画出一个变换后得图形 c(草图即可),（1)中得结论还成立吗？作出判断不必说明理由、图 c 3、如图 9,若与为等边三角形，分别为得中点,易证:,就就是等边三角形、(1）当把绕点旋转到图得位置时,就就是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(2)当绕点旋转到图 11 得位置时,就就是否还就就是等边三角形?若就就是,请给出证明,若不就就是,请说明理由、C B O D 图 7 A E A B C M N O P Q 同类变式:已知,如图所示,在ABC与ADE中,ABAC，ADAE，BACDAE,且 点BAD，在 一 条 直 线 上,连 接BECDMN，分别为BECD，得中点、（)求证：BECD;(2)在图得基础上,将ADE绕点A按顺时针方向旋转180,其她条件不变,得到图所示得图形、请直接写出（)中得两个结论就就是否仍然成立、如图,四边形ABCD与四边形AEF均为正方形,连接B与DE相交于点H、(1)证明:AG AD；(）试猜想BD得度数,并说明理由；(3)将图中正方形ABC绕点A逆时针旋转(AE 18）,设AB得面积 为,ADG得面积为，判断与得大小关系,并给予证明、5、已知:如图，就就是等边三角形,过边上得点作，交于点,在得延长线上取点，使，连接、（1)求证:;(2)过点作,交于点,请您连接,并判断就就是怎样得三角形,试证明您得结论、二、垂直模型(该模型在基础题与综合题中均为重点考察内容)考点 1:利用垂直证明角相等 1.如图,AC 中，ACB0,AC=C,AE 就就是 B边上得中线,过 C 作 CFAE,垂足为 F,过作 BDC 交得延长线于 D、求证：()CD;(）若 A=12 cm,求 BD 得长、2.(西安中考)如图(1),已知BC 中,BC00,AB=A，AE 就就是过 A 得一条直线,且 B、C 在 A、E 得异侧，BE 于 D,AE 于 E。图()图(2)图()(1)试说明:=D+CE、（2)若直线绕 A 点旋转到图（2)位置时(BDE），其余条件不变,问 B与E、C得关系如何?写出结论，可不说明理由。、直线 C经过得顶点 C,=CB、E、F 分别就就是直线D 上两点,且、()若直线D 经过得内部,且 E、F 在射线 C上,请解决下面两个问题:如图,若,则 (填“”,“”或“”号)；如图 2,若,若使中得结论仍然成立,则 与 应满足得关系就就是 ；(2）如图 3，若直线 CD 经过得外部，请探究F、与 BE、AF 三条线段得数量关系,并给予证明、考点 2:利用角相等证明垂直 1.已知 BE，CF 就就是A得高,且 BP=A,C=AB,试确定 A与Q 得数量关系与位置关系 2、如图,在等腰 RtAC中，C=90，D为BC得中点,DEAB,垂足为E,过点B作BF交D得延长线于点F,连接CF、(1)求证：CD=B；(2)求证:ADF;(3)连接AF,试判断AC得形状、拓展巩固:如图 9 所示,AB就就是等腰直角三角形,CB=90，就就是 BC 边上得中线,过 C 作 A得垂线,交 AB 于点 E，交 AD 于点 F,求证：DC=BE、（提示：对比此题得条件与上面那题得条件,对比此题得图形与上题得图像,有什么区别与联系?）3、如图,已知正方形得边在正方形得边上,连接,、(1)试猜想与有怎样得位置关系,并证明您得结论；（）将正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上,如图2,连接与、您认为(1)中得结论就就是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由、如图 1,得边C在直线上,且得边也 A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 BACEFQPDA B C D E F 图 9 在直线 上,边与边重合，且（1）在图中，请您通过观察、测量，猜想并写出与所满足得 数量关系与位置关系；（2）将沿直线向左平移到图 2 得位置时,交于点,连接、猜想并写出与所满足得数量关系与位置关系，请证明您得猜想;()将沿直线向左平移到图 3 得位置时,得延长线交得延长 线于点,连结,您认为(2）中所猜想得与得数量关系与位置关系与位置关系还成立吗？若成立，给出证明;若不成立,请说明理由、三、等腰三角形(中考重难点之一）考点 1:等腰三角形性质得应用 1.如图，中,，,就就是中点,与交于,与 交于、求证：，、2.两个全等得含,角得三角板与三角板,如图所示放置，三点在一条直线上，连结,取得中点，连结、试判断得形状,并说明理由、压轴题拓展:(三线合一性质得应用)已知中,为边得中点,，绕点旋转,它得两边分别交、(或它们得延长线)于、当绕点旋转到于时(如图 1),易证、当绕点旋转到与不垂直时,在图 2 与图 3 这两种情况下，上述结论就就是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,，又有怎样得数量关系?请写出您得猜想,不需证明、提示:此题为上面题目得综合应用,思路与第一题相似。3.已知:如图,BC 中，AB=45,CDA于 D，BE 平分ABC，且 BEA于 E,与 C相交于点 F，H 就就是 B边得中点,连结 D与 B相交于点 G。(1）BF=（2)=BF（3)CE 与 BC 得大小关系如何。考点 2:等腰直角三角形(45 度得联想)1.如图 1,四边形 ABD 就就是正方形,M 就就是 AB 延长线上一点。直角三角尺得一条直角边 经过点,且直角顶点 E 在 AB 边上滑动(点不与点 A,B 重合）,另一条直角边与CBM 得平分线 BF 相交于点 F、如图 14,当点在 AB 边得中点位置时:通过测量 DE,EF 得长度,猜想 D与 E满足得数量关系就就是 ;连接点与D 边得中点 N,猜想 NE 与 B满足得数量关系就就是 ；请证明您得上述两猜想、如图 14,当点 E 在 A边上得任意位置时，请您在 AD 边上找到一点 N,l(1)A B(F)(E)C P A B E C F P Q(2)l A B E C F P l(3)Q 使得 NE=BF,进而猜想此时E 与F 有怎样得数量关系并证明 2、在 RAB中，A=BC,CB,D 就就是 AC 得中点,DGAC 交 A于点、(1)如图 1,E 为线段 DC 上任意一点,点 F 在线段 DG 上,且EDF，连结 E与 F，过点 F作FC,交直线于点 H、求证:D=DC 判断 FH 与 FC 得数量关系并加以证明、(）若 E 为线段 DC 得延长线上任意一点,点在射线 DG 上,()中得其她条件不变，借助图 2 画出图形。在您所画图形中找出一对全等三角形,并判断您在(1)中得出得结论就就是否发生改变、(本小题直接写出结论，不必证明)同类变式:(期末考试原题哦)已知:ABC 为等边三角形，M 就就是 BC 延长线上一点,直角三角尺得一条直角边经过点 A,且 60 角得顶点 E 在 BC 上滑动,(点不与点 B、C 重合)，斜边与CM 得平分线 C交于点(1)如图()当点在 B边得中点位置时 错误!猜想E 与 E满足得数量关系就就是 、错误!连结点与 AB 边得中点,猜想 B与F 满足得数量关系就就是 、错误!请证明您得上述猜想;()如图(2)当点E在边得任意位置时,AE与E有怎样得数量关系,并说明您得理由?四、角平分线问题、如图:在线段 CD上,EA、E分别平分DAB 与CA,AB=90，设 AD=，BC=，且满足(1)求 A与 BC 得长;()您认为 AD 与 BC 还有什么关系?并验证您得结论；(3)您能求出 A得长度吗?若能,请写出推理过程;若不能,请说明理由、2、如图,OP 就就是MO得平分线，请您利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题:()如图,在AB中,AB 就就是直角,0,A、CE 分别就就是AC、BC得平分线,、CE 相交于点 F。请您判断并写出 FE 与 F之间得数量关系;(2)如图，在AC 中,如果ACB 不就就是直角,而(）中得其它条件不变,请问,您在（1)中所得结论就就是否仍然成立？若成立,请证明;若不成立，请说明理由。ADBCGE图 2 GHFEDCBA图 1 图（1）NFMCBAE图（2）FMCBAA C B D E O P A M N E B C D F A E F B D 图 12 2 图 12 1 3、（北京市中考模拟题)如图,在四边形中,平分,过作,并且,则等于多少?4、如图,ABC 中,AD 平分BA，DGB且平分 BC，DEA于 E,FAC 于、(1)说明 BE=CF 得理由；(2)如果 A=，A=,求 AE、E 得长、五、中点问题、在C 中,为得中点，过点得直线交于，交得平行线 于点。,并交于点、连结、(1)求证:;(2)请猜想与得大小关系，并加以证明 2.如右下图,在中,若,，为边得中点、求证:、3.已知中，,为得延长线,且,为得边上得中线、求证(提示:倍长中线试试)附加思考题:(此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究)以得两边、为腰分别向外作等腰与等腰,、连接,、分别就就是、得中点、探究:与得位置关系及数量关系、如图 当为直角三角形时,与得位置关系就就是 ;线段与得数量关系就就是 ;将图中得等腰绕点沿逆时针方向旋转（)后，如图所示,问中得到得两个结论就就是否发生改变？并说明理由、图NMEDCBA 、判断与说理()如图 11,ADE 中,AE=A且 AD D,EAD0,EC、分别平分 AED、DE,交 AD、A于点 C、B,连接 BC、请您判断B、AC 就就是否相等,并说明理由;(2）DE 得位置保持不变，将 C 绕点 A 逆时针旋转至图 12 得位置，A、B相交于 O,请您判断线段 BE 与D 得关系,并说明理由、2、某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:如图 11，在正三角形 ABC 中,、N 分别就就是、A上得点,BM 与N 相交于点,若 BON=60,则 BM=N、如图 12-2,在正方形 AC中,、N 分别就就是 C、A上得点,BM与N相交于点，若 BN 0,则M=C、EDGFCBA图 111 图 112 AEDDEACBBCO 图 12 3 图 12 4 图 12 5 学习小组成员根据上述两个命题运用类比得思想又提出了如下得命题:如图 12-3,在正五边形BCE 中,M、N 分别就就是 CD、E 上得点,BM 与N 相交于点 O,若 BON=08，则M CN、(友情提示:正多边形得各边相等且各内角也相等)(1)请您从、三个命题中选择一个说明理由;(2)请您继续完成下面得探索:如图 12,在正边形（n6)中,M、N 分别就就是D、DE 上得点，BM 与 CN相交于点 O,问当 BON 等于多少度时,结论 BM CN 成立？（不要求证明)如图 12-5,在正五边形 ACDE 中，M、N 分别就就是 D、AE 上得点,BM 与 CN 相交于点 O,当 BON=18时,请问结论M=CN 就就是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由、解：(1)我选 、(仅填写、中得一个）理由如下：(2)3、如图所示,C 就就是等腰直角三角形,ACB9,A就就是 BC 边上得中线，过作 AD 得垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F。请您猜想ADC 与DE 关系,并证明您得猜想。、如下几个图形就就是五角星与它得变形、(1)图 中 就 就 是 一 个 五 角 星 形 状,求 A+B+C+E=;()图中得点 A 向下移到 B上时(如图)五个角得与（即CAD+BC+DE)有无变化？说明您得结论得正确性;(3）把图中得点向上移动到上时(如图）,五个角得与（即CAD+B+ACE+D+E）有无变化？说明您得结论得正确性、(4）如图,在中,CD、B分别就就是 AB、AC 边上得中线，延长D 到 F,使 FD=D,延长 B到 G,使 EG=B,那么 AF 与 AG 就就是否相等?F、A、G 三点就就是否在一条直线上？说说您得理由、5、操作实验:如图,把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，发现被折痕分成得两个三角形成轴对称、所以 ABD CD,所以 C、A B C D E F 图 9 A B C D E(1)A B C D E(2)B A C D E(3)A B C A B C A B C D 图(1)图(2)图(3)归纳结论:如果一个三角形有两条边相等,那么这两条边所对得角也相等、根据上述内容,回答下列问题：思考验证:如图(4)，在 BC 中，AAC、试说明 B 得理由、探究应用:如图（),BA,垂足为 A，DAB,垂足为 B、E 为 A得中点,AB=B，CEBD、(1)B与 A就就是否相等？为什么?（2)小明认为C 就就是线段E 得垂直平分线，您认为对吗？说说您得理由。()DBC 与 DCB 相等吗?试说明理由、6、如图 13-,在边长为 5 得正方形中,点、分别就就是、边上得点，且,、(1)求得值;（2)延长交正方形外角平分线(如图 13-），试判断得大小关系,并说明理由;(3)在图 1-2 得边上就就是否存在一点，使得四边形就就是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由、7、团体购买某“素质拓展训练营”得门票,票价如表（a 为正整数)：团体购票人数 51100 00 以上 每人门票价 a 元（3)元(a6）元 某中学高一（)、高一(2)班同学准备参加“素质拓展训练营”活动,其中高一(）班人数不超过 5,高一(2)得人数超过0 但不超过 80。当 a8 时,若两班分别购票,两班总计应付门票费 4914 元;若合在一起作为一个团体购票,总计支付门票费42 元。问这两个班级各有多少人?某校学生会现有资金 4429 元用于购票,打算组织本校初三年级团员参加该项活动。为了让更多得人能参加活动,学生会统一组织购票,购票资金恰好全部用完，且参加人数超过了 100 人,问共有多少人参加了这一活动?并求出此时 a 得值。8、如下图,在AC 中,D 平分BC，A+AC,则C 得值为 、9、如左下图,AB D,D BC,O=OF，则图中全等三角形得组数就就是 ()A、B、C、5 D、6 10、两个全等得含0,00角得三角板DE 与三角板 ABC 如图所示放置，E,三点在一条直线上,连结 BD,取 BD 得中点 M,连结 ME,MC、试判断 EMC 得形状,并说明理由、11、（1)不用量角器,只利用刻度尺就能画出一个角得平分线,下面就就是小明得画法,您认为她得画法对吗?请您按照小明得画法,画出图形,说明理由。利用刻度尺在AO得两边上分别取 OC;连结 CD,利用刻度尺画出 CD 得中点画射线 OE 射线 OE 即为AOB 得角平分线。图 13-1 A D C B E 图 13-2 B C E D A F P F A B C D E F O 图(5)C A B D E A B C 图(4)方程组集合 对应方程组解得集合(2)请您探索只利用您得三角尺（可以量长度、画直角)画出一个角得平分线得画法。(要求:画出图形;简要说明画法;说明理由。）12、(1)如图(1),正方形 ABC中,为边D 上一点,连结 AE,过点 A 作 AFE 交得延长线于,猜想 AE 与 AF 得数量关系,并说明理由;(2)如图(2),在()得条件下,连结 AC,过点 A 作 AMC 交 CB 得延长线于 M,观察并猜想 C与F 得数量关系(不必说明理由);（3)解决问题:王师傅有一块如图所示得板材余料,其中=90,B=A、王师傅想切一刀后把它拼成正方形、请您帮王师傅在图(3)中画出剪拼得示意图;王师傅现有两块同样大小得该余料,能否在每块上各切一刀,然后拼成一个大得正方形呢？若能,请您画出剪拼得示意图；若不能，简要说明理由、3、下图就就是按一定规律排列得方程组集合与它解得集合得对应关系图,若方程组集合中得方程组自左至右依次记作方程组、方程组 2、方程组 3、方程组 n、(1）将方程组得解填入图中;（2)请依据方程组与它得解变化得规律,将方程组 n 与它得解直接填入集合图中;(3)若方程组得解就就是,求 m、n 得值,并判断该方程组就就是否符合（2)中得规律?、某工厂用如 图甲所示得长方形与正方形纸板,做成如图乙所示得竖式与横式两种无盖 得长方体纸盒、（长方形得宽与正方形得边长相等)(1)现有正方形纸板0 张,长方形纸板 0张,若要做竖式纸盒 x 个，横式纸盒 y 个、根据题意,完成以下表格:若纸板全部用完,求 x、y 得值;(2)若有正方形纸板 8张，长方形纸板 a 张,做成上述两种纸盒,纸板恰好全部用完、已知 162n172，求得值、15、(1）如图,图 2,图 3，在中，分别以为边，向外作正三角形,正四边形,正五边形,相交于点、(说明:每条边都相等，每个角都相等得多边形叫做正多边形)A B C D F E 图 A B C D F E 图 M 图 3 A B C D A B C D 图 4 A B CD 如图 1,求证:；探究:如图 1，;如 图2,;如 图3，、()如图 4,已知:就就是以 为边向外所作正边形得 一组邻边;就就是以为边向外所作正边形得一组邻边、得延长相交于点、猜想：如图 4,（用含得式子表示);根据图 4 证明您得猜想、按照指定要求画图(1)如下图所示，黑粗线把一个由8 个小正方形组成得图形分割成两个全等图形,请在图2中,仿图1沿着虚线用四种不同得画法,把每图形分割成两个全等图形、(2)请将下面由 16 个小正方形组成得图形,用两种不同得画法沿正方形得网格线用粗线把它分割成两个全等图形 17、用两个全等得等边三角形AC 与ACD 拼成四边形 ABD,把一个含 60角得三角尺与这个四边形叠合,使三角尺得 60角得顶点与点 A 重合,两边分别与 AB、A重合,将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转。(1）当三角尺得两边分别与四边形得两边 B、相交于点 E、F 时(如图 a),通过观察或测量 B、CF 得长度,您能得出什么结论?并说明理由;()当三角尺得两边分别与四边形得两边、C得延长线相交于点 E、F 时(如图 b),您在（)中得到得结论还成立吗?简要说明理由。（本题 12 分)18、如图,在下列网格中,ABC与DF 全等,且 D与B就就是对应线段,则符合条件得 F 点得 个数为(）、A、1 个 B、2 个 C、3个 、个 19、已知:如图所示，在与中,，,BAC=DA=,且点在一条直线上,连接分别为得中点、(1)求证:;(2）在图得基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其她条件不变,得到图所示得图形、请直接写出(1)中得两个结论就就是否仍然成立;(3)在旋转得过程中，若直线 BE 与 CD 相交于点 P,试探究APB 与MN 得关系，并说明理由。(结果用含得代数式表示）、如右图所示，方格纸中有 A、B、D、E 五个格点（图中得每一个方格均表示边长为 1 个单位得正方形),以其中得任意 3 个点为顶点，画出所有得三角形,数一下,共构成_个三角形,其中有_对全等三角形,它们分别_ _请选取一对非直角全等三角形，说明全等得理由、C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 第27题图 A B C D E 22、已知AB=900,在AOB 得平分线 OM 上有一点 C,将一个三角板得直角顶点与重合,它得两条直角边分别与 O、B(或它们得反向延长线)相交于点 D、当三角板绕点旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图 1),易证:CD=CE 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时,在图 2、图 3 这两种情况下，上述结论就就是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出您得猜想，不需证明、23、如图，AC 与EB均就就是等边三角形，A、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，有如下结论:ACEDCB;C=CN;EM=BN、其中,正确结论得个数就就是(）、3 个 、2 个 、1 个 D、个 24、锐角为5o得直角三角形得两直角边长也相等,这样得三角形称为等腰直角三角形、我们常用得三角板中有一块就就就是这样得三角形,也可称它为等腰直角三角板、把两块全等得等腰直角三角板按如图 1 放置,其中边 BC、P 均在直线上,边 EF 与边 AC 重合、(）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 得位置时,EP 交 AC 于点,连结 AP，BQ、猜想并写出与 AP 所满足得数量关系与位置关系,请证明您得猜想；（)将EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 得位置时，EP 得延长线交得延长线于点 Q,连结 AP,Q、您认为(1）中所猜想得 BQ 与 AP 得数量关系与位置关系还成立吗？若成立,给出证明；若不成立,请说明理由、5、如图,B与AD都就就是每边长相等得等边三角形,点、F 同时分别从点 B、出发,各自沿 BA、AD 方向运动到点、停止,运动得速度相同,连接 EC、FC、(1)在点 E、运动过程中ECF 得大小就就是否随之变化？请说明理由;(2)在点 E、F 运动过程中,以点 A、E、C、F 为顶点得四边形得面积变化了吗?请说明理由、(3)连接，在图中找出与C相等得所有角，并说明理由、(4)若点 E、F 在射线 B、射线上继续运动下去,(1)小题中得结论还成立吗?(直接写出结论,不必说明理由)、如图,方格纸中C 得 3 个顶点分别在小正方形得顶点(格点)上,这样得三角形叫格点三角形,图中与ABC 全等得格点三角形共有_个(不含A)、7、我校“心动数学”社团活动小组,在网格纸上为学校得一块空地设计植树方案如下:第 k 棵树种植在点第行列处,其中,当 k时,表示非负数得整数部分,例如2、=2,、2=0、按此方案，第 2009 棵树种植点所A(E)B C(F)P l 图1 E A Q B F C P l 图2 E F P A l C B Q 图3 A E B C D F 在得行数就就是 4，则所在得列数就就是（)、401 、40 、2009 D、2010 28、如图,已知A中,A=C=6c,BC=m,点 D 为 A得中点、(1)如果点在线段C 上以 1 c/得速度由点 B 向点 C 运动,同时,点 Q 在线段 CA 上 由点 C 向点运动、若点得运动速度与点 P 得运动速度相等,经过 1 秒后,BD 与CP 就就是否全等,请说明理由;若点 Q 得运动速度与点 P 得运动速度不相等，当点得运动速度为多少时,能够使 BP与CQP 全等?（)若点 Q 以中得运动速度从点 C 出发,点以原来得运动速度从点 B 同时出发,都 逆时针沿C 三边运动,求经过多长时间点 P 与点第一次在BC 得哪条边上相遇?