函数的奇偶性、对称性、周期试题.pdf

-.z 2 定 义 在R上 的 函 数()f x满 足)()6(xfxf 当)1,3x时，2)2()(xxf,当)3,1x时，xxf)(，则(1)(2)(3)(2015)ffff A336B355C1676 D2015【答案】A【解析】试 题 分 析：根 据)()6(xfxf可 知：()f x是 周 期 为6的 周 期 函 数，且 1234561 210101ffffff ，20156 33551 335 1336ff ，所以答案为 A 考点：1函数的周期性；2利用函数的周期性求函数值 3设函数)(),(xgxf的定义域为R，且)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，设)1()1()(xgxfxh，则以下结论中正确的选项是 A)(xh关于)0,1(对称 B)(xh关于)0,1-(对称 C)(xh关于1x对称 D)(xh关于1x对称【答案】C【解析】试题分析：因为函数()f x是奇函数，所以()f x是偶函数，即()f x与()g x均为偶函数，其图象均关于y对称，所以(1)f x与(1)g x 的图象都关于直线1x 对称，即()(1)(1)h xf xg x的图象关于直线1x 对称，应选 C 考点：1函数的奇偶性；2图象平移 4 定义为 R 上的函数()f x满足()(2)7f x f x，(1)3f，(2)f=2，则(2014)f=A3 B72C73D2【答案】D【解析】试题解析：7()(2)7(2)()f x f xf xf x；试卷第 2 页，总 14 页 7(4)()4(2)f xf xTf x(2014)(4 5032)(2)2fff 考点：此题考察函数的性质 点评：解决此题的关键是求出函数的周期 5函数()f x满足()(1)(2),f xf xf xxR当0,3x时，2()f xx，则(2014)f A5 B5 C1 D1【答案】C【解析】试题分析：由)2()1()(xfxfxf)3()2()1(xfxfxf，从而)3()(xfxf，故()f x的周期为6，1)1()4()43356()2014(ffff 考点：函数的性质 6设)(xf是定义在实数集R上的函数，且满足以下关系)10()10(xfxf，)20()20(xfxf，则)(xf是 .A.偶函数，但不是周期函数 B.偶函数，又是周期函数 C.奇函数，但不是周期函数 D.奇函数，又是周期函数【答案】D【解析】试题分析：f20-*=f10+10-*=f10-10-*=f*=-f20+*f20+*=-f40+*，结合 f20+*=-f*得到 f40+*=f*f*是以 T=40 为周期的周期函数；又f-*=f40-*=f20+20-*=-f20-20-*=-f*f*是奇函数应选：D 考点：此题考察函数的奇偶性，周期性 点评：解决此题的关键是准确理解相关的定义及其变形，即满足 f(*+T)=f(*)，则 f(*)是周期函数，函数的奇偶性，则考虑 f(*)与 f(-*)的关系 7设 f*定义 R 上奇函数，且 yf*图象关于直线*13对称，则 f23 A1 B1 C0 D2【答案】C【解析】试 题 分 析：由 题 意 可 得，2()(),()()3fxf x f xfx，所 以-.z 22()()(0)033fff，选 C.考点：函数的奇偶性及对称性.8)(xf在R上是奇函数,且满足)()4(xfxf,当)2,0(x时,22)(xxf,则)7(f 的值为 A2 B2 C98 D98【答案】A【解析】试题分析：)()4(xfxf，根据周期函数定义可知 f x是周期为 4 的周期函数，71 81fff，又根据函数 f x是奇函数，可得 1f=1f，因为10,2，所以 211 2 12f .故正确答案为选项 A.考点：周期函数的定义和性质;奇函数定义和性质.9定义在R上的函数 f x，对任意xR，都有 63f xf xf成立，假设函数1yf x的图象关于直线1x 对称，则2013()f A0 B2013 C3 D2013【答案】A【解析】试题分析：由题意得(2013)(20133356)335(3)336(3)ffff，又有函数1yf x的图象关于直线1x 对称，则函数()f x图像关于y轴对称，即(3)(3)ff，还有(3+6)(3)(3)fff，得(3)=0f，则(2013)336(3)=336(3)0fff，应选 A 考点：函数的性质 10设偶函数 f x对任意xR都有 13fxfx ,且当3,2x 时，4f xx,则107.5f A10 B110 C-10 D110【答案】B【解析】试题分析：因为 13fxfx，所以 6f xf x，所以函数 f x是周期为6的周期函数，又 试卷第 4 页，总 14 页 1118 60.5(0.5)(0.5)(2.5)(2.5107.5)ffffff ，而(2.5)10f ，故107.5f110，应选 B 考点：函数的性质 11 函 数 f x的 定 义 域 为R,假 设 函 数 f x的 周 期 6 当31x 时,22f xx，当13x 时，f xx则 122013fff+2014f A337 B338 C1678 D2012【答案】A【解析】试题分析：由得(1)1f，(2)2f，(3)(3)1ff，(4)(2)0ff，(5)(1)1ff，(6)(0)0ff，故 1261fff，122013fff+2014f 335+1234ffff=337 考点：函数周期性 考点：函数的图象、周期性、对称性 13函数 f(*)在定义域上的值不全为零，假设函数 f(*+1)的图象关于(1,0)对称，函数f(*+3)的图象关于直线*=1 对称，则以下式子中错误的选项是 A.()()fxf x B.(2)(6)f xf x C.(2)(2)0fxfx D.(3)(3)0fxfx【答案】D【解析】试题分析：函数(1)f x的图象关于1,0对称，函数()f x的图象关于(2,0)对称，令(1)F xf x，2F xFx，即(3)1fxfx，4fxf x 令(3)G xf x，其图象关于直线1x对称，2GxGx，即53f xfx，44f xfx 由得，4f xf x，8f xf x 844fxfxfx，由得 4444fxfxf x-.z fxf x；A 对；由，得2 82f xf x，即26f xf x，B 对；由得，220fxf x，又 fxf x，(2)(2)220fxfxfxfx ，C 对；假设330fxfx，则 6fxf x，12fxf x，由 得124fxf x，又 4f xf x，f xf x，即 0f x，与题意矛盾，D 错.考点：函数的图象与图象变化.15 设()f x是定义在R上且以 5 为周期的奇函数，假设23(2)1,(3),3aaffa则a的取值围是().A、(,2)B、3,02,C、0，3 D、3,02,【答案】B【解析】试 题 分 析：由 题 意，得:)()5(),()(xfxfxfxf,所 以1)2()2()3(fff，即1332aaa，0322aaa，0)3)(2(aaa，302xa或.考点：函数的奇偶性、周期性.第 II 卷非选择题 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题题型注释 16定义在 R 上的偶函数 f*满足对任意*R，都有 f*8f*f4，且*0,4时，f*4*，则 f2 015的值为_【答案】3【解析】试 题 分 析：因 为 定 义 在R上 的 偶 函 数()f x满 足 对 任 意xR，都 有(8)()(4)f xf xf，令4x，则(4)(4)(4)fff，故(4)(4)0ff 试卷第 6 页，总 14 页 所以()f x满足对任意xR，都有(8)()f xf x，故函数()f x的周期8T 所以(2015)(2528 1)(1)(1)4 13ffff 故答案为 3 考点：函数的周期性和奇偶性 18 定义在实数集 R 上的函数 f x满足 20f xf x，且 4fxf x，现有以下三种表达：8 是函数 f x的一个周期；f x的图象关于直线2x 对称；f x是偶函数。其中正确的序号是 .【答案】【解析】试题分析：由 20f xf x，得)()2(xfxf，则)()2()4(xfxfxf，即 4 是)(xf的一个周期，8 也是)(xf的一个周期；由 4fxf x，得)(xf的图像关于直线2x对称；由 4fxf x与)()4(xfxf，得)()4(xfxf，即)()(xfxf，即函数)(xf为偶函数.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的对称性；3.函数的周期性.20 函数()yf x满足对任意xR都有(2)()f xfx成立，且函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，(1)4f，则(2012)(2013)(2014)fff的值为.【答案】4【解析】试题分析：函数(1)yf x的图象关于点(1,0)对称，()f x是 R 上的奇函数，(2)()f xf x，(4)(2)()f xf xf x，故()f x的周期为4，(2013)(50341)(1)4fff，(2012)(2014)(2012)(20122)(2012)(2012)0ffffff，(2012)(2013)(2014)4fff.考点：函数的对称性、奇偶性、周期性.21 定义在R上的偶函数)(xf，且对任意实数x都有)()2(xfxf，当)1,0 x时，-.z 2)(xxf，假设在区间3,3，函数kkxxfxg3)()(有 6 个零点，则实数k的取值围为_【答案】61,0(【解析】由)()2(xfxf得函数的周期为 2 由03)()(kkxxfxg，得)3()(xkxf，分别作出函数)(xfy，)3(xky的图象，设)0,3(A,)1,3(B，要使函数有 6 个零点，则直线)3(xky的斜率ABkk 0，因为61)3(301ABk，所以610 k，即实数k的取值围是61,0(【命题意图】此题考察函数的性质、函数的零点等根底知识，意在考察数形结合思想，转化与化归能力、运算求解能力 22偶函数()yf x的图象关于直线1x 对称，且0,1x时，()1f xx，则32f=【答案】12【解析】试题分析：由偶函数()yf x的图象关于直线1x 对称知：f(1-*)=f(1+*),所以21121)21()211()211()23()23(fffff，故答案为：12。考点：函数的奇偶性。23定义在R上的奇函数()f x满足(3)()f xf x，且(1)2f，则(2013)(2015)ff_【答案】2【解析】试题分析：由 f*+3=-f*，得 f*+6=-f*+3=-f*=f*，即函数 f*的周期是 6 所以 f2013=f3356+3=f3=-f(0)，f2015=f3366-1=f-1=-f(1)=-2 试卷第 8 页，总 14 页 因为 f*是定义在 R 上的奇函数，所以根据奇函数的性质可知 f0=0，所以(2013)(2015)ff0+(-2)=-2 考点：函数奇偶性的性质 24定义在 R 上的奇函数 xf满足 xfxf4，且在区间0,2上是增函数，假设 方 程 0mmxf，在 区 间 8,8 上 有 四 个 不 同 的 根4321,xxxx，则4321xxxx_.【答案】-8【解析】试题解析：48422xfxfxfxfxfxf，即 8xfxf xf是一个周期为 8 的周期函数，又函数是奇函数，所以 xf关于原点对称 由 xf在 2,0上是增函数，可做函数图象示意图如图：设4321xxxx，因为函数图像关于y轴对称，所以函数图像关于4x对称，所以 考点：函数的性质.25给出以下命题：集合 M 满足4,3,2,1M，且 M 中至多有一个偶数，这样的集合 M 有 6 个；函数2)1(2)(2xaaxxf，在区间)4,(上为减函数，则a的取值围为510 a；函数1)(xxxf，则60)611()31()21()61()3()2(ffffff；如果函数)(xfy 的图象关于 y 轴对称，且)0(1)2014()(2xxxf，则当0 x时，1)2014()(2 xxf；其中正确的命题的序号是。【答案】【解析】试题分析：中满足条件的M有11个；中2)1(2)(2xaaxxf，在区间)4,(上为减函数，则a的取值围为510 a；中1)(xxxf，可得1()()1,xf xf故 60)611()31()21()61()3()2(ffffff；中)(xfy 为偶函数，当0 x 时，-.z 2()(2014)1f xx，当0 x 时，2()(2014)1f xx，故正确的命题的序号是.考点：集合的概念及函数的应用【解析】试题分析：11(1)(2)()()(1)f xf xf xf xf x ，所 f*是周期为 2的函数，故正确；又因为当*-1，1时，2()1f xx，可知 f*的图象 由图像可知正确；由图象可知 f*=t1，2，函数4ytt 在1，2上单调递减，所以最大值为 5，最小值为 4，故错误；因为*的方程2()()0f xf xm有实根，所以2()()f xf xm，因为 f*1，2，所以2()()f xf x0，2，故 m的围是0，2；有图像可知当 12,1,3x x 时，1212()()()22xxf xf xf，故错误.考点：函数的性质.27 定义在 R 上的函数)1(,0)()2(:)(xfxfxfxf且函数满足为奇函数，对于以下命题：函数)(xf满足)()4(xfxf；函数)(xf图象关于点1，0对称；函数)(xf的图象关于直线2x对称；函数)(xf的最大值为)2(f；0)2009(f其中正确的序号为_【答案】1.【解析】试题分析：由0)()2(xfxf得)()2(xfxf，则)()2(2)2(xfxfxf，所以)(xf的周期为 4，则对，由)1(xf为奇 试卷第 10 页，总 14 页 函 数 得)(xf的 图 像 关 于 点)0,1(对 称，则 对，由)1(xf为 奇 函 数 得)1()1(xfxf，令1 xx得)()2(xfxf，又)()2(xfxf，)2()2(xfxf，则 对，由)1()1(xfxf得0)1(f，故0)1()2009(ff。考点：1周期函数的定义，2奇函数的定义，3赋值法的应用。28函数1)(axxaxf的图象的对称中心是3,-1,则实数a【答案】2a【解析】试题分析：函数1)(axxaxf的,函数图像的对称中心是3,-1，将函数的表达式化为1111)(axaxxaxf，所以31a，所以2a 考点：函数的对称中心 29函数()f x与()g x的定义域为R，有以下 5 个命题：假设(2)(2)f xfx，则()f x的图象自身关于直线y轴对称；(2)yf x与(2)yfx的图象关于直线2x 对称；函数(2)yf x与(2)yfx的图象关于y轴对称；()f x为奇函数，且()f x图象关于直线12x 对称，则()f x周期为 2；()f x为偶函数，()g x为奇函数，且()1g xf x，则()f x周期为 2。其中正确命题的序号是。【答案】【解析】试题分析:函数 xf关于直线 0222xxx对称,正确 函数2xf图像关于直线2x对称的函数解析式xfxfy224,正确 把函数2xfy中x代换x得xfy2，关于y轴对称.函数关于原点对称，关于直线21x对称，周期20214T正确.xg关于原点对称，1xfxg关于直线1x对称，周期4014T错误 考点：函数的对称性和周期性.30假设()f x是定义在 R 上的奇函数，且满足(2)()f xf x，给出以下 4 个结-.z 论：1(2)0f；2()f x是以 4 为周期的函数；3(2)()f xfx；4()f x的图像关于直线0 x 对称；其中所有正确结论的序号是.【答案】【解析】试题分析：因为()f x是定义在 R 上的奇函数，所以0)0(f，则0)0()2(ff；(2)()f xf x，)()()2()4(xfxfxfxf，即周期为 4；因为()f x是定义在 R 上的奇函数，所以)()(xfxf，又(2)()f xf x，)()2(xfxf；因为()f x是定义在 R 上的奇函数，所以()f x的图像关于直线)0,0(对称；应选.考点：函数的奇偶性、周期性.评卷人 得分 三、解答题题型注释 31 本小题总分 值 12 分函数 2f xxmxn的图像过点 13，且11fxfx 对任意实数都成立，函数 yg x与 yf x的图像关于原点对称 1求 f x与()xg的解析式；2假设()()xgxF=f x在-1，1上是增函数，数的取值围【答案】12()2f xxx，2()2g xxx；20.【解析】试题分析：1首先把 13，代入函数()f x中得2mn，11fxfx 对任意实数都成立，则有(0)=(2)42fnfmn，即20mn，从而得函数()()f xg x，的解析式；2函数在区间上是增函数，则函数的导数在此区间上为非负，分三种情况讨论即可.试题解析：1因(1)=1+m+n=3f，得2mn，又有11fxfx 对任意实数都成立，则(0)=(2)42fnfmn，即20mn，试卷第 12 页，总 14 页 所以2()2f xxx,又因函数 yg x与 yf x的图像关于原点对称，则2()2g xxx.2 因()()xgxF=f x在-1，1 上 是 增 函 数，所 以22)22()(xxF在-1，1上非负，所以2(1)02(1)02(1)0(22)(1)220(22)220220 或或，解得0.考点：1、函数的性质；2、导数判断函数的单调性.32f(*)是实数集 R 上的函数，且对任意*R,f(*)=f(*+1)+f(*-1)恒成立.1求证：f(*)是周期函数.2f(-4)=2，求 f(2012).【答案】1详见解析 22【解析】试题分析：1 1111f xf xf xf xf xf x，依次推导下去，问题即可得证.2 根据 1推导的 f x的周期,根据周期性求2012f的值.试题解析：1证明 11f xf xf x 11f xf xf x,则 211111f xfxf xf xf xf xf xf x.31211f xfxfxf x 5 分 f x是周期函数且 6 是它的一个周期 7 分 (2)2012335 6226(4)42fffff .12 分 考点：函数的周期性.33设 f(*)是(，)上的奇函数，f(*2)f(*)，当 0*1 时，f(*)*.(1)求 f()的值；(2)当4*4 时，求 f(*)的图象与*轴所围图形的面积【答案】14.24【解析】解：(1)由 f(*2)f(*)，得 f(*4)f(*2)2f(*2)f(*)，所以 f(*)是以 4 为周期的周期函数，从而得 f()f(4)f(4)(4)4.(2)由 f(*)是奇函数与 f(*2)f(*)，得 f(*1)2f(*1)f(*1)，即 f(1*)f(1*)故知函数 yf(*)的图象关于直线*1 对称 又 0*1 时，f(*)*，且 f(*)的图象关于原点成中心对称，则 f(*)的图象如下图 当4*4 时，f(*)的图象与*轴围成的图形面积为 S，-.z 则 S4SOAB4(1221)4.35定义在 R 上的奇函数 f(*)满足 f(*4)f(*)(1)求 f(2 012)的值；(2)求证：函数 f(*)的图像关于直线*2 对称；(3)假设 f(*)在区间0,2上是增函数，试比拟 f(25)，f(11)，f(80)的大小【答案】(1)0 (2)见解析 (3)f(25)f(80)f(11)【解析】解：(1)因为 f(*4)f(*)，所以 f(*)f(*4)f(*4)4f(*8)，知函数 f(*)的周期为 T8.所以 f(2 012)f(25184)f(4)f(0)又 f(*)为定义在 R 上的奇函数 所以 f(0)0，故 f(2 012)0.(2)证明：因为 f(*)f(*4)，所以 f(*2)f(*2)4f(*2)f(2*)，知函数 f(*)的图像关于直线*2 对称(3)由(1)知 f(*)是以 8 为周期的周期函数，所以 f(25)f(3)81f(1)，f(11)f(83)f(3)f(1)f(1)，f(80)f(1080)f(0)又 f(*)在0,2上是增函数，且 f(*)在 R 上为奇函数，所以 f(*)在2,2上为增函数，则有 f(1)f(0)f(1)，即 f(25)f(80)f(11)36 设函数()f x是定义在 R 上的奇函数，对任意实数x有33()()22fxfx 成立 1证明()yf x是周期函数，并指出其周期；2假设(1)2f，求(2)(3)ff的值；3假设2()3g xxax，且|()|()yf xg x是偶函数，数a的值【答案】13T；2-2；30a.【解析】试题分析：1由33()()22fxfx 可得(3)()f xfx ，由()f x是定义在R 上的奇函数得()()fxf x，故()(3)f xf x;2根据奇偶性和3T 得(2)(1)(1)2fff ，(3)(0)0ff；3可证明|()|yf x是偶函数，由|()|()yf xg x是偶函数，得2()3g xxax为偶函数，故0a.试题解析：1由33()()22fxfx，且()()fxf x 知 3333(3)()()()()2222fxfxfxfxf x ，所以()yf x是周期函数，且3T 是其一个周期 2因为()f x为定义在 R 上的奇函数，所以(0)0f，且(1)(1)2ff ，又 试卷第 14 页，总 14 页 3T 是()yf x的一个周期，所以(2)(3)(1)(3)202ffff ；3 因 为|()|()yf xg x是 偶 函 数，且 可 证 明|()|yf x是 偶 函 数，所 以2()3g xxax为偶函数，即()()gxg x恒成立 于是22()()33xaxxax恒成立，于是20ax 恒成立0a，所以0a 为所求 考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.