圆锥曲线定点、定直线、定值问题.pdf

.定点、定直线、定值专题1 1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l:y kx m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标x2y2【标准答案】【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为221(a b 0)abx2y21.a c 3,a c 1，a 2,c 1,b 3432 y kxm222(II)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由x2y2得(34k)x 8mkx4(m 3)0，13 4 64m2k216(3 4k2)(m23)0，3 4k2m2 0.8mk4(m23)x1 x2,x1x2.2234k34k3(m24k2)y1 y2(kx1m)(kx2m)k x1x2mk(x1 x2)m.34k222Q以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD 1，(最好是用向量点乘来)y1y2 x1x22(x1 x2)4 0，y1y2 1，x12 x223(m24k2)4(m23)16mk4 0，34k234k234k27m216mk 4k2 0，解得m1 2k,m2 2k，且满足3 4k2m2 0.7当m 2k时，l:y k(x2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k22时，l:y k(x)，直线过定点(,0).7772综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).7当m 2 2、已知椭圆 C 的离心率e 3，长轴的左右端点分别为A12,0，A22,0。（）求椭圆 C 的方程；2（）设直线x my1与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线A1P与A2Q交于点 S。试问：当 m 变化时，点 S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。可编辑范本.x2y2解法一：（）设椭圆C的方程为221a b 0。abc3，c 3，b2 a2c21。a2x2椭圆C的方程为2 y21。5 分41 分a 2，e 4 分3333P 1,Q 1,（）取m 0,得，直线的方程是A Py x,12263直线A2Q的方程是y 3x 3,交点为S14,3.7 分,2331,Q 1,若P2，由对称性可知交点为S24,3.2若点S在同一条直线上，则直线只能为l:x 4。8 分x22 y 1以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线l:x 4上。事实上，由 4得x my1my 12 4y2 4,即m24 y22my3 0，2m3。,y y 12m2 4m2 4yy16y1设A1P与l交于点S0(4,y0),由0,得y0.4 2x1 2x1 2记Px1,y1,Qx2,y2，则y1 y2yy22y2,得y0设A2Q与l交于点S0(4,y0),由0.4 2x2 2x229 分10Q y0 y06ymy21 2y2my134my1y26y1 y26y12y21x 2x 2x 2x 2x1 2x22121212m12m22m 4m 4 0，12 分x1 2x22y0 y0，即S0与S0重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线l:x 4上。13 分33331,Q 1,A P解法二：（）取m 0,得P，直线的方程是y x,直线A2Q的方程是122633x 3,交点为S14,3.7 分21118 3取m 1,得P,Q0,1，直线A1P的方程是y x,直线A2Q的方程是y x 1,交点为S24,1.6325 5若交点S在同一条直线上，则直线只能为l:x 4。8 分y 可编辑范本.x22 y 1以下证明对于任意的m,直线A1P与直线A2Q的交点S均在直线l:x 4上。事实上，由 4得x my1my 12 4y2 4,即m24y22my3 0，记Px1,y1,Qx2,y2，则2m3。9 分,y y 12m2 4m2 4y1yyyA1P的方程是y x 2,A2Q的方程是y 2x 2,消去y,得1x 22x 2x1 2x22x1 2x22y1 y2以下用分析法证明x 4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明6y12y2,即证x1 2x223y1my21 y2my13,即证2my1y2 3y1 y2.2my1y23y1 y26m6m这说明，当m变化时，点S恒在定直线l:x 4上。0,式恒成立。m24m24x222 y 1解法三：（）由 4得my 1 4y2 4,即m2 4 y2 2my3 0。x my1记Px1,y1,Qx2,y2，则y1 y22m3。,y y 12m2 4m2 4y1yA1P的方程是y x 2,A2Q的方程是y 2x 2,x1 2x226 分7 分y1y x 2,x1 2yy2由得1x 2x 2,yx 2x 2212y x 2,x2 29 分yx 2 y1x22ymy13 y1my212my1y23y2 y1 2g2即x 2g21 2gy2x1 2 y1x22y2my13 y1my213y2 y13 2m2mg232 y1 y1m 4m 4 2g 4.2m32 y1 y1m 412 分这说明，当m变化时，点S恒在定直线l:x 4上。13 分3 3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值2为2 1，离心率为e 2（）求椭圆E的方程；uuu r uuuu r（）过点1,0作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由可编辑范本.a c 2 1xy解：（I）设椭圆 E 的方程为221,由已知得：c。2 分2ab2ax2a 2222。3 分b a c 1椭圆 E 的方程为 y21。2c 1（）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则：uuu ruuuu ruuu r uuuu rMP (x1 m,y1),MQ (x2 m,y2),MP MQ (x1 m)(x2m)y1y222 x1x2m(x1 x2)m2 y1y2。5 分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y k(x 1)，则x22 y 1由 2得x22k2(x 1)22 0y k(x 1)4k22k22(2k 1)x 4k x(2k 2)0 x1x22,x1x227 分2k 12k 1k222y1y2 k(x11)(x21)k x1x2(x1x2)1 22k 1uuu r uuuu r2k224k2k2(2m24m1)k2(m22)2所以MPMQ29 分m2m 22k 12k 12k 12k21uuu r uuuu r5对于任意的k值，MPMQ为定值，所以2m24m 1 2(m22)，得m，4uuu r uuuu r57所以M(,0),MP MQ ；11 分4161当直线l的斜率不存在时，直线l:x 1,x1x2 2,x1x21,y1y2 2r uuuu r5uuu7由m 得MPMQ 4165综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为(,0)13 分4uuu ruuuu r法二：假设存在点M(m,0)，又设P(x1,y1),Q(x2,y2),则：MP (x1m,y1),MQ (x2m,y2)uuu r uuuu rMPMQ (x1m)(x2m)y1y2=x1x2m(x1 x2)m2 y1y2.5 分当直线l的斜率不为 0 时，设直线l的方程为x ty1，2222x222t1 y 1由 2得(t22)y22ty 1 0y1 y227 分,y1y22t 2t 2x ty1t22t2t222t22x1x2(ty11)(ty21)t2y1y2t(y1 y2)12t22t 22t22t244x1x2 t(y1 y2)2t22t22uuu r uuuu r2t224m1(m22)t22m24m129 分MPMQ 22m 2t 2t 2t 2t22uuu r uuuu r(m22)t22m24m1设MPMQ 则t225m 22222(m 2)t 2m 4m 1(t 2)5m 2 04M(,0)11 分222274(m 2)t 2m 4m 12 02m 4m 12 0 16可编辑范本.5当直线l的斜率为 0 时，直线l:y 0，由M(,0)得：4uuu r uuuu r55257MPMQ(2)(2)2 4416165综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为(,0)4。13 分4、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 4y的焦点，离心率e 焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。（I）求椭圆的标准方程；22，过椭圆的右5uuu ruuu ruuu r（）设点M(m,0)是线段OF上的一个动点，且(MA MB)AB，求m的取值范围；（）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由。x2y2解法一：（I）设椭圆方程为221(a b 0)，由题意知b 1abx2a2b2222 y 1故椭圆方程为 a 525a5（）由（I）得F(2,0)，所以0 m 2，设l的方程为y k(x2)（k 0）x2 y21，得(5k21)x220k2x20k25 0设A(x1,y1),B(x2,y2),代入520k220k25,x1x2则x1 x2,y1 y2 k(x1 x24),y1 y2 k(x1 x2)5k215k21uuu ruuu ruuu rMAMB (x1m,y1)(x2m,y2)(x1 x22m,y1 y2),AB(x2x1,y2 y1)uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQ(MAMB)AB,(MAMB)AB 0,(x1 x22m)(x2 x1)(y2 y1)(y1 y2)020k24k2m822m2 0,(85m)k2m 0由k2 0,0 m，5k 15k 185m5uuu ruuu ruuu r8当0 m 时，有(MA MB)AB成立。55（）在x轴上存在定点N(,0)，使得C、B、N三点共线。依题意知C(x1,y1)，直线 BC 的方2y y1y(x x)y x y2x1(x x1)，令y 0，则x 121 x112程为y y12x2 x1y2 y1y2 y1Ql的方程为y k(x2),A、B在直线l上，k(x11)x2k(x21)x12kx1x22k(x1 x2)y1 k(x12),y2 k(x22)x k(x1 x2)4kk(x1 x2)4k20k2520k22k2k225k 15k 15在x轴上存在定点N(5,0)，使得CBN三点共线。20k222k24k5k 1解法二：（）由（I）得F(2,0)，所以0 m 2。设l的方程为y k(x2)(k 0),x2 y21，得(5k21)x220k220k25 0设A(x1,y1),B(x2,y2),则代入520k220k254kx1 x22,x1x2y y k(x x 4),y1 y2 k(x1 x2)1212225k 15k 15k 1可编辑范本uuu ruuu ruuu rQ(MAMB)AB,|MA|MB|,Q(x1m)2 y1(x2m)2 y2,(x1 x22m)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)0,.(1k2)(x1 x2)2m4k2 0,(85m)k2m 08k28882)Q k 0,k 0m 0 m 225k 155(5k 15uuu ruuu ruuu r8当0 m 时，有(MA MB)AB成立。55（）在x轴上存在定点N(,0)，使得C、B、N三点共线。2uuu ruuu r设存在N(t,0),使得C、B、N三点共线，则CB/CN，uuu ruuu rQCB (x1 x2,y2 y1),CN(t x1,y1)，(x2 x1)y1(t x1)(y1 y2)0即(x2 x1)k(x12)(t x1)k(x1 x24)02x1x2(t 2)(x1 x2)4t 020k2520k255(t 2)4t 02，存在t N(,0)，使得CBN三点共线。5k215k2122x26 6、（福建卷）、（福建卷）已知椭圆 y21的左焦点为 F，O 为坐标原点。2（）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（）设过点 F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B 两点，线段AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。22解：解：（I）Q a 2,b 1c 1,F(1,0),l:x 2.Q圆过点 O、F，M 在直线x 1上。2设M(131,t),则圆半径r ()(2).222由OM r,得()2t2123,解得t 2.219所求圆的方程为(x)2(y 2)2.24（II）设直线 AB 的方程为y k(x1)(k 0),yx2代入 y21,整理得(12k2)x24k2x2k22 0.2Q直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根。记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),lFABGOx4k则x1 x2 2,2k 121AB的垂直平分线 NG 的方程为y y0(x x0).令y 0,得k可编辑范本.2k2k2k211xG x0ky0 22 2 2.2k 12k 12k 124k 211Q k 0,xG 0,点 G 横坐标的取值范围为(,0).22可编辑范本