知识讲解-指数函数及其性质-基础.pdf

.-指数函数及其性质指数函数及其性质【学习目标】【学习目标】1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；2.掌握指数函数图象：(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；(2)掌握底数对指数函数图象的影响；(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题【要点梳理】【要点梳理】要点一、指数函数的概念：要点一、指数函数的概念：x函数 y=a(a0 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.要点诠释：要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如 y=a(a0 且 a1)的函数才是指数函数 像y 23，y 2，y 3 1xx1xx等函数都不是指数函数（2）为什么规定底数 a 大于零且不等于 1：xx 0时，a 恒等于0，如果a 0，则xx 0时,a 无意义.如果a 0，则对于一些函数，比如y(4)，当x xx11,x,时，在实数围函数值不存在24如果a 1，则y 11是个常量，就没研究的必要了要点二、指数函数的图象及性质：要点二、指数函数的图象及性质：y=a图象定义域 R，值域（0，+）a=1,即 x=0 时，y=1，图象都经过(0，1)点a=a，即 x=1 时，y 等于底数 a在定义域上是单调减函数x1xx0 时，0a 1 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“a 1”和“0 a 1”两种情形讨论。-可修编-xx0 x0a1 时图象性质在定义域上是单调增函数x0 时，0a 0 时，a 1x.-（2）当0 a 1时，x ,y 0；当a 1时x ,y 0。当a 1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。当0 a 1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。1（3）指数函数y a与y 的图象关于y轴对称。axx要点三、指数函数底数变化与图像分布规律要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）y ay by cxy dxxx则：0ba1dc又即：x(0,+)时，bx ax dx cx（底大幂大）x(,0)时，bx ax dx cx（2）特殊函数y 2x,y 3x,1y ()x,21y ()x的图像：3要点四、指数式大小比较方法要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若AB 0 A B；AB 0 A B；AB 0 A B；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【典型例题】【典型例题】类型一、指数函数的概念类型一、指数函数的概念例 1函数y (a 3a3)a是指数函数，求a的值【答案】2【解析】由y (a 3a3)a是指数函数，2x2xAA1，或1即可BBa23a31,a 1或a 2,可得解得，所以a 2a 0且a 1,a 0,且a 1,【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；-可修编-.-（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为 1，底数是大于 0 且不等于 1 的常数，指数必须是自变量x举一反三：举一反三：【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数？x（1）y 4；（2）y x；（3）y 4；（4）y (4)；x4x（5）y (2a1)(a x1且a 1)；（6）y 4x2x【答案】（1）（5）（6）1【解析】（1）（5）（6）为指数函数其中（6）y 4=，符合指数函数的定义，而（2）中底4x数x不是常数，而 4 不是变数；（3）是-1 与指数函数4的乘积；（4）中底数4 0，所以不是指数函数x类型二、函数的定义域、值域类型二、函数的定义域、值域例 2求下列函数的定义域、值域.13x2x1xx3(1)y；(2)y=4-2+1；(3)；(4)y ax913【答案】（1）R，(0，1)；（2）R 2x1x1(a 为大于 1 的常数)31（3）,0,；（4）(-，-1)1，+),)；241，a)(a，+)x【解析】(1)函数的定义域为 R(对一切 xR，3-1).(13x)11xx1y，又3 0，1+3 1，xx131311，11 0，13x13x10 11，值域为(0，1).13x12313xx2xxx(2)定义域为 R，y (2)2 1(2)，20，2 即 x=-1 时，y 取最小值，242433同时 y 可以取一切大于的实数，值域为,).4412x1 0，即32x132，又函数y 3x是增函数，所以(3)要使函数有意义可得到不等式390 112x1 2，即x ，即,，值域是0,.22(4)2xx 110 定义域为(-，-1)1，+)，x 1x 1-可修编-.-x 1x 1 0且1，y a又x 1x 12x1x11且y a2x1x1 a，值域为1，a)(a，+).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉 y0 的条件，第(4)小题中x 1211不能遗漏.x 1x 1举一反三：举一反三：【变式 1】求下列函数的定义域：(1)y 2x(3)y 2-1(2)y 33-x2x-1(4)y 1-ax(a 0,a 1)【答案】（1）R；（2）-，（3）0,+；（4）a1 时，-，3；0；0a1 时，-，0；0a1 时，外层函数 y=a 在(，)上为增函数，函数 u=x2-2x 在区间(，1)上为减函数，在区间1，+上为增函数，故函数f(x)au2x2-2xx2-2x+上为增函数；在区间(-，1)上为减函数，在区间1，2当 0a1 时，外层函数y=a 在(，)上为减函数，函数u=x-2x 在区间(，1)上为减函数，在区间1)上为增函数，在区间1,+上为减函数.+上为增函数，故函数f(x)ax-2x在区间(，1，ax1(a 1)在定义域上为增函数.例 4证明函数f(x)xa 1【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。【解析】定义域为 xR，任取 x11，x1x2，a1 a2，a1axxxx2 0，f(x1)1 且 x2-x10，a211，1a21 0.【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例 5判断下列各数的大小关系：x xx x1-24(1)1.8 与 1.8；(2)()3,3,()3312.52.50(3)2，(2.5)，()(4)a2与a3(a 0,a 1)2aa+12【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。121-2412.502.5【答案】（1）1.8 1.8（2）()3()3（3）()(2.5)1 时，a a，当 0a1，所以函数 y=1.8 为单调增函数，aa+1又因为 aa+1，所以 1.8 1.8.x121-24121-211143(2)因为3，又y 是减函数，所以()()，即()3()333333334x-412.5102.5(3)因为22.51，1，所以()(2.5)1 时，a a，当 0a1 时，a a【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).举一反三：举一反三：【变式 1】比较大小：2.12.333-0.3-0.1(1)2 与 2(2)3.5 与 3.2(3)0.9与 1.1(4)0.9 与 0.7(5)1.50.30.42.50.224,()3,()3.3311【解析】2.12.3(1)2 2333(2)3.5 3.2.观察两函数值，底数不同，而指数不变不是指数函数，而是y=x，它为增函数.-0.3-0.3(3)由 0.9，00.91，-0.31，-0.1-0.3-0.11.11，-0.1001.11.1；0.30.4(4)由指数函数图象相对位置关系数形结合，0.9 0.7.22()0.2，又函数y ()x为减函数，33120.223x 0 0 y 1，1()()0，33114320.2234x1y ()为增函数，x 0时，y1，()()().3333311142另解：另解：幂函数y x3为增函数，则有()31()3，(下略).33(5)1.50.2【高清课堂：指数函数【高清课堂：指数函数 369066369066 例例 1 1】【变式 2】利用函数的性质比较2，3，6【答案】3 2 6【解析】2=2 (2)81236136161213161312163 3 (3)9作出y 8,y 9,y 6的图象知xxx132612616y 9x y 8x y 6x-可修编-.-所以3 2 61312162【变式 3】比较 1.5，1.3，()3的大小.3-0.20.7120.21.30.7【答案】()31.53【解析】先比较1.50.2132222()0.2()5与()3的大小.由于底数(0，1)，y ()x在 R 上是减233331111222011xx函数，0，0 ()3()5()1，再考虑指数函数y=1.3，由于 1.31，所以 y=1.33333520.21.30.7.在 R 上为增函数 1.3 1.3=1，()31.530.701【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如 0，1 等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.例 6.(分类讨论指数函数的单调性)化简：a-2aa【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对a进行分类讨论，去掉绝对值。12a3-a3,a 1【解析】a-2aaa-a a-a12a3-a3,0 a 143232313223134323举一反三：举一反三：【变式 1】如果a2x1 ax5（a 0，且a 1），求x的取值围【答案】当0 a 1时，x 6；当a 1时，x 6【解析】（1）当0 a 1时，由于a2x1 ax5，2x1 x5，解得x 6（2）当a 1时，由于a2x1 ax5，2x1 x5，解得x 6综上所述，x的取值围是：当0 a 1时，x 6；当a 1时，x 6类型四、判断函数的奇偶性类型四、判断函数的奇偶性例 7判断下列函数的奇偶性：f(x)(【答案】偶函数【解析】f(x)定义域关于原点对称(x)定义域关于原点对称，且 f(x)的定义域是(x)定义域除掉 0-可修编-11)(x)(x)为奇函数)x2 12.-112x1 2x111这个元素)，令g(x)x，则g(x)xxx222211 22 12 12(2x1)111111 1()g(x)22x12x122x12 g(x)为奇函数，又(x)为奇函数，f(x)为偶函数.【总结升华】求f(x)g(x)(x)的奇偶性，可以先判断g(x)与(x)的奇偶性，然后在根据奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，得出f(x)的奇偶性举一反三：举一反三：【变式 1】判断函数的奇偶性：f(x)【答案】偶函数【解析】定义域x|xR 且 x0，xx.x2 12112x12x1)x()x()又f(x)x(xxx22121 22 122x1111111 x(x)x(1x)x(x)f(x)，22 12 122 12 f(-x)=f(x)，则 f(x)偶函数.类型五、指数函数的图象问题类型五、指数函数的图象问题例 8 如图的曲线 C1、C2、C3、C4是指数函数y a的图象，而a,x12,3,，22则图象 C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是_、_、_、_【答案】21223【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数C1的底数C4的底数C3的底数【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在 y轴的右边“底大图高”，在 y 轴的左边“底大图低”举一反三：举一反三：【变式 1】设f(x)|31|，cba 且f(c)f(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是（）xA33B3 3C3 3 2D3 3 2cbcbcaca【答案】D【变式 2】为了得到函数y 935的图象，可以把函数y 3的图象()xxA向左平移 9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度-可修编-.-B向右平移 9 个单位长度，再向下平移5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度D向右平移 2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度【答案】C【解析】注意先将函数y 935转化为y 3xx25，再利用图象的平移规律进行判断y 93 5 3xxx2x5，把函数y 3的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可得到函数y 935的图象，故选 C【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等-可修编-