立体几何证明平行的方法及专题训练.pdf
FGGABCDECABDEF立体几何证明平行的方法及专题训练 罗虎胜 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用三角形中位线的性质。（3）利用平行四边形的性质。（4）利用对应线段成比例。（5）利用面面平行的性质，等等。(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质 1如图，四棱锥 PABCD 的底面是平行四边形，点 E、F 分 别为棱 AB、PD 的中点求证：AF平面 PCE；分析：取 PC 的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF 是平行四边形 2、如图，已知直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD13，过 A 作 AECD，垂足为 E，G、F 分别为 AD、CE 的中点，现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC.（）求证：BC面 CDE；（）求证：FG面 BCD；分析：取 DB 的中点 H，连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形 EFBACDP（第 1 题图）P E D C B A DEB1A1C1CABFM 3、已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，D,E,F 分别为 AA1,CC1,AB 的中点，M 为 BE 的中点,ACBE.求证：（）C1DBC；（）C1D平面 B1FM.分 析：连EA，易 证C1EAD是 平 行 四 边 形，于 是MF,ADCDADBA/EBPAD平面E FGM ADCDBDBCAMEFGAMEFG/ABCA B C90BAC2,ABAC/A B/B CMN/A ACC1C 求证：AB11C 明:BC11C证：APGH.分析：连结 AC 交 BD 于 O 点，连结 OM，易证 OMPA 从而PA平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得APGH.（.3）利用平行四边形的性质 10正方体ABCDA1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，求证：D1O21中点为PDE求证：AE平面 PBC；分析：取 PC 的中点 F，连 EF 则易证 ABFE 是平行四边形 12、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ACB=90，平面，EF，.=.A B C D E F G M NMB1C1D1A1DCBANB1C1D1A1（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小 （I）证法一：因为EF90ACB90,EGFABC.EFGBCFG21ABCDBCAM21FA GM SMAMNDBN AMDNSMBNABCP EPCMAB F PA2AFFP 求证：/CM平面BEF；分析:取 AF 的中点 N，连 CN、MN，(1)易证平面CMN111ABCABC3AC 4BC 5AB 14AA DAB1ACBC11CDB/平面AC11CCDB1C11CDB/平面AC1111ABCDABC D11,2ABBCAAMBCN1AA求证:/MN平面1ACD;(2)过,N C D三点的平面把长方体1111ABCDABC D截成 两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.（1）证法 1：设点P为AD的中点，连接,MP NP.点M是BC的中点,A FEBCDMNPNMB1C1D1A1DCBA/MPCD.CD 平面1ACD,MP 平面1ACD,/MP平面1ACD.2 分 点N是1AA的中点,1/NPA D.1A D 平面1ACD,NP 平面1ACD,/NP平面1ACD.4 分 MPNPP,MP 平面MNP,NP 平面MNP,平面/MNP平面1ACD.MN 平面MNP,/MN平面1ACD.6 分 证法 2:连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P,连接1A P,点M是BC的中点,BMMC.BMACMP,90MBAMCP,RtMBA RtMCP.2 分 AMMP.点N是1AA的中点,1MN/AP.4 分 QNMB1C1D1A1DCBA 1A P 平面1ACD,MN 平面1ACD,/MN平面1ACD.6 分 (2)解:取1BB的中点Q,连接NQ,CQ,点N是1AA的中点,/NQAB./ABCD,/NQCD.过,N C D三点的平面NQCD把长方体1111ABCDABC D截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBC NAD,另一部分几何体为直四棱柱1111B QCCA NDD.8 分 1111 1222QBCSQB BC ,直三棱柱QBC NAD的体积112QBCVSAB,10 分 长方体1111ABCDABC D的体积1 1 2V 2,直四棱柱1111B QCCA NDD体积2132VVV.12 分 12VV123213.所截成的两部分几何体的体积的比值为13.14 分
