等比数列知识点总结与典型例题(精华word版).pdf

-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：*12,nnaq qnnNa0且，q称为公比 2、通项公式：11110,0nnnnaaa qqA Ba qA Bq，首项：1a；公比：q 推广：n mn mnnn mnmmmaaaa qqqaa 3、等比中项：（1）如果,a A b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：2Aab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（2）数列 na是等比数列211nnnaaa 4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q 时，1nSna（2）当1q 时，11111nnnaqaa qSqq 1111nnnaaqAA BA BAqq（,A B A B为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0)nnnnnnaaqaq qaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0)nnnnnnaaaaaa为等比数列（3）通项公式：0 nnnaA BA Ba为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaq qnnNa0且或1nnnaqaa为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m nN，在等比数列na中，有n mnmaa q。（3）若*(,)mnst m n s tN，则nmstaaaa。特别的，当2mnk时，得2nmkaaa 注：12132nnna aaaa a-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-等差和等比数列比较：经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例 1等比数列 na中，1964a a,3720aa,求11a.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a和q的二元方程组，解出1a和q，可得11a；或注意到下标1937，可以利用性质可求出3a、7a，再求11a.解析：法一：设此数列公比为q，则8191126371164(1)20(2)a aa a qaaa qa q 由(2)得：241(1)20a qq.(3)10a.由(1)得：421()64a q,418a q .(4)(3)(4)得：42120582qq，等差数列 等比数列 定义 daann1)0(1qqaann 递推公式 daann1；mdaanmn qaann1；mnmnqaa 通项公式 dnaan)1(1 11nnqaa（0,1qa）中项 2knknaaA（0,*knNkn）)0(knknknknaaaaG（0,*knNkn）前n项和)(21nnaanS dnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn 重要 性质 ),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm),(*qpnmNqpnmaaaaqpnm-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-422520qq,解得22q 或212q 当22q 时，12a，1011164aa q；当212q 时，132a，101111aa q.法二：193764a aaa,又3720aa,3a、7a为方程220640 xx的两实数根，41673aa 或 16473aa 23117aaa,271131aaa或1164a.总结升华：列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式 1】an为等比数列，a1=3，a9=768，求 a6。【答案】96 法一：设公比为 q，则 768=a1q8，q8=256，q=2，a6=96；法二：a52=a1a9a5=48q=2，a6=96。【变式 2】an为等比数列，an0，且 a1a89=16，求 a44a45a46的值。【答案】64；21894516a aa，又 an0，a45=4 34445464564a a aa。【变式 3】已知等比数列 na，若1237aaa，1238a a a，求na。【答案】12nna或32nna；法一：2132a aa，312328a a aa，22a 从而13135,4aaa a解之得11a，34a 或14a，31a 当11a 时，2q；当14a 时，12q。-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-故12nna或32nna。法二：由等比数列的定义知21aa q，231aa q 代入已知得2111211178aa qa qa a q a q 21331(1)7,8aqqa q211(1)7,(1)2(2)aqqa q 将12aq代入（1）得22520qq，解得2q 或12q 由（2）得112aq或1412aq ，以下同方法一。类型二：等比数列的前 n 项和公式 例 2设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q.解析：若 q=1，则有 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因 a10，得 S3+S62S9，显然 q=1 与题设矛盾，故 q1.由3692SSS得，369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq，整理得 q3(2q6-q3-1)=0，由 q0，得 2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，因 q31，故312q ，所以342q 。举一反三：【变式 1】求等比数列1 11,3 9的前 6 项和。【答案】364243；11a，13q，6n 666111331364112324313S。-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-【变式 2】已知：an为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求 S5.【答案】1211219或；322273aa，31(1)113313aqqqq或，则 a1=1 或 a1=9 55551911 31213121S11 3913S或.【变式 3】在等比数列 na中，166naa，21128naa，126nS，求n和q。【答案】12q 或 2，6n；211nnaaa a，1128na a 解方程组1112866nna aaa，得1642naa 或1264naa 将1642naa代入11nnaa qSq，得12q，由11nnaa q，解得6n；将1264naa代入11nnaa qSq，得2q，由11nnaa q，解得6n。12q 或 2，6n。类型三：等比数列的性质 例 3.等比数列 na中，若569aa,求3132310loglog.logaaa.解析：na是等比数列，110293847569a aaaaaaaaa 1032313logloglogaaa553123103563log()log()log 910a aaaaa 举一反三：【变式1】正项等比数列 na中，若a1a100=100;则lga1+lga2+lga100=_.【答案】100；-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-lga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)而 a1a100=a2a99=a3a98=a50a51 原式=lg(a1a100)50=50lg(a1a100)=50lg100=100。【变式 2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_。【答案】216；法一：设这个等比数列为 na，其公比为q，183a，445127823aa qq，48116q，294q 23362341111aaaa q a qa qaq33389621634。法二：设这个等比数列为 na，公比为q，则183a，5272a，加入的三项分别为2a，3a，4a，由题意1a，3a，5a也成等比数列，238273632a，故36a，23234333216aaaaaa。类型四：等比数列前 n 项和公式的性质 例 4在等比数列 na中，已知48nS，260nS，求3nS。思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前 k 项和，第 2 个 k 项和，第 3 个 k 项和，第 n 个 k 项和仍然成等比数列。解析：法一：令 b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n 观察 b1=a1+a2+an,b2=an+1+an+2+a2n=qn(a1+a2+an)，b3=a2n+1+a2n+2+a3n=q2n(a1+a2+an)易知 b1,b2,b3成等比数列，2223112348bbb，S3n=b3+S2n=3+60=63.法二：22nnSS，1q，-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-由已知得121(1)481(1)601nnaqqaqq 得514nq，即14nq 代入得1641aq，3133(1)164(1)6314nnaqSq。法三：na为等比数列，nS，2nnSS，32nnSS也成等比数列，2232()()nnnnnSSS SS，22232()(6048)606348nnnnnSSSSS。举一反三：【变式 1】等比数列 na中，公比 q=2,S4=1,则 S8=_.【答案】17；S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1(1+24)=17【变式 2】已知等比数列 na的前 n 项和为 Sn,且 S10=10,S20=40,求：S30=？【答案】130；法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，(S20-S10)2=S10(S30-S20)即 302=10(S30-40),S30=130.法二：2S10S20，1q,101)1(10110qqaS,20120(1)401aqSq,102011,14qq103q,511 qa 130)31)(5(1)1(330130qqaS.【变式3】等比数列 na的项都是正数，若 Sn=80,S2n=6560，前 n 项中最大的一项为 54，求 n.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-【答案】6560802nnSS，1q(否则212nnSS)1(1)1nnaqSq=80 .(1)212(1)1nnaqSq=6560.(2)，(2)(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)该数列各项为正数，由(3)知 q1 an为递增数列，an为最大项 54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)1542813aqq代入(1)得2(1 81)80(1)3qq，q=3,n=4.【变式 4】等比数列 na中，若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6=_.【答案】4；令 b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),易知：b1,b2,b3成等比数列，b3=122bb=324362=4,即 a5+a6=4.【变式 5】等比数列 na中，若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求 a7+a8+a9的值。【答案】448；an是等比数列，(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,q3=8,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=568=448.类型五：等差等比数列的综合应用 例 5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去 4，则又成等比数列.求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.解析：法一：设成等差数列的三数为 a-d,a,a+d.则 a-d,a,a+d+32 成等比数列，a-d,a-4,a+d 成等比数列.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-)2.().)()4()1.().32)(22dadaadadaa 由(2)得 a=8162d.(3)由(1)得 32a=d2+32d.(4)(3)代(4)消 a，解得83d 或 d=8.当83d 时,269a；当 d=8 时,a=10 原来三个数为92,926,9338或 2,10,50.法二：设原来三个数为 a,aq,aq2，则 a,aq,aq2-32 成等差数列，a,aq-4,aq2-32 成等比数列)2).(32()4()1.(322222aqaaqaqaaq 由(2)得24aq，代入(1)解得q=5 或 q=13 当 q=5 时 a=2；当 q=13 时29a.原来三个数为 2，10，50 或92，926,9338.总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为 a-d,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为yx，x,xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项 a，公比 q 来解决问题反而简便。举一反三：【变式 1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.【答案】为 2，6，18 或210 50,999；设所求的等比数列为 a，aq，aq2；则 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-解得 a=2，q=3 或29a，q=-5；故所求的等比数列为 2，6，18 或210 50,999.【变式 2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27，它们的平方和为 91，求这三个数。【答案】1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1 设这三个数分别为,aa aqq，由已知得222222791aa aqqaaa qq 22231(1)91aaqq 得4298290qq，所以29q 或219q，即3q 或13q 故所求三个数为：1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1。【变式 3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求这四个数.【答案】0，4，8，16 或 15，9，3，1；设四个数分别是 x,y,12-y,16-x)2).(16()12()1.(1222xyyyxy 由(1)得 x=3y-12，代入(2)得 144-24y+y2=y(16-3y+12)144-24y+y2=-3y2+28y,4y2-52y+144=0,y2-13y+36=0,y=4 或 9，x=0 或 15，四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1.类型六：等比数列的判断与证明 例 6已知数列an的前 n 项和 Sn满足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出数列an的通项公式，并判断an是何种数列？思路点拨：由数列an的前 n 项和 Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型.解析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1(nN+),-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-a1=S1=51-1=4,当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1 而 n=1 时，45n-1=451-1=4=a1,nN+时，an=45n-1 由上述通项公式，可知an为首项为 4，公比为 5 的等比数列.举一反三：【变式 1】已知数列Cn，其中 Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数 p。【答案】p=2 或 p=3；Cn+1-pCn是等比数列，对任意 nN 且 n2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1 整理得：1(2)(3)2306nnpp,解得：p=2 或 p=3,显然 Cn+1-pCn0，故 p=2 或 p=3 为所求.【变式 2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列Cn不是等比数列.【证明】设数列an、bn的公比分别为 p,q，且 pq 为证Cn不是等比数列，只需证2132CCC.222222211111 1()2Ca pbqa pb qab pq,22222222131111111 1()()()CCaba pbqa pb qab pq 221321 1()CCCab pq,又 pq,a10,b10,21320CCC即2132CCC 数列Cn不是等比数列.【变式 3】判断正误：(1)an为等比数列a7=a3a4；(2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等比数列；(3)an，bn均为等比数列，则anbn为等比数列；-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-(4)an是公比为 q 的等比数列，则2na、1na仍为等比数列；(5)若 a，b，c 成等比，则 logma，logmb，logmc 成等差.【答案】(1)错；a7=a1q6，a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例：02=00，不能说 0，0，0 成等比；(3)对；anbn首项为 a1b1，公比为 q1q2；(4)对；2211211,1nnnnaaqaqa；(5)错；反例：-2，-4，-8 成等比，但 logm(-2)无意义.类型七：Sn与 an的关系 例 7已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足21056nnnSaa，且 a1，a3，a15成等比数列，求数列an的通项 an.解析：21056nnnSaa，21111056aaa，解之得 a1=2 或 a1=3.又21111056(2)nnnSaan，由-得221110()5()nnnnnaaaaa，即11()(5)0nnnnaaaa an+an-10，an-an-1=5(n2).当 a1=3 时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列 a13；当 a1=2 时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，a1=2，an=5n-3.总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是11(1)(2)nnnanaSSn，尤其注意首项与其他各项的关系.举一反三：【变式】命题 1：若数列an的前 n 项和 Sn=an+b(a1)，则数列an是等比数列；命题 2：若数列an的前 n 项和 Sn=na-n，则数列an既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-【答案】0；由命题 1 得，a1=a+b，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1.若an是等比数列，则21aaa，即(1)a aaab，所以只有当 b=-1 且 a0 时，此数列才是等比数列.由命题 2 得，a1=a-1，当 n2 时，an=Sn-Sn-1=a-1，显然an是一个常数列，即公差为 0 的等差数列，因此只有当 a-10，即 a1 时数列an才又是等比数列.