(浙江专用)2022版高考数学大二轮复习专题四大题考法课二圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题课时跟踪.pdf

浙江专用浙江专用 20222022 版高考数学大版高考数学大二轮复习专题四大题考法课二二轮复习专题四大题考法课二圆锥曲线中的定点、定值、存在圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题课时跟踪检测性问题课时跟踪检测圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 课时跟踪检测课时跟踪检测 1 1(2022温州九校联考(2022温州九校联考)离心率离心率2 2x xy y为为的椭圆的椭圆C C：2 22 21(1(a ab b0)0)，2 2a ab b过椭圆过椭圆C C上点上点P P(2,1)(2,1)作两条互相垂直的直线，分作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于别交椭圆于A A，B B两点两点(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程；(2)(2)求证：直线求证：直线ABAB过定点，并求出此定点的过定点，并求出此定点的坐标坐标2 22 2 4 42 21 12 21 1，a ab b解解：(1)(1)依依题题意意有有 c c2 2，a a2 2 a a2 26 6，2 2 b b3 3，解解得得所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 1.1.6 63 3(2)(2)证明：易知直线证明：易知直线ABAB的斜率存在，的斜率存在，-2-2-x x2 2y y2 2故设直线故设直线ABAB的方程为的方程为y ykxkxm m，y ykxkxm m，2 22 2由由 x xy y 1 1 6 63 32 2m m2 26 60.0.得得(2(2k k1)1)x x4 4mkxmkx2 22 2设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，4 4mkmk2 2m m2 26 6那么那么x x1 1x x2 22 2，x x1 1x x2 22 2，2 2k k1 12 2k k1 1由由P PA AP PB B0 0，得，得(x x1 12)(2)(x x2 22)2)(y y1 11)(1)(y y2 21)1)0 0，即即(x x1 12)(2)(x x2 22)2)(kxkx1 1m m1)(1)(kxkx2 2m m1)1)0 0，得得(k k1)1)x x1 1x x2 2(kmkmk k2)(2)(x x1 1x x2 2)m m2 2m m5 50 0，那么那么 3 3m m8 8mkmk4 4k k2 2m m1 10 0，即即(3(3m m2 2k k1)(1)(m m2 2k k1)1)0 0，由直线由直线ABAB不过点不过点P P，知，知m m2 2k k10，10，故故 3 3m m2 2k k1 10.0.-3-3-2 22 22 22 2 2 21 1 所以直线所以直线ABAB过定点过定点，.3 3 3 32 2抛物线抛物线C C1 1：x x4 4y y的焦点为的焦点为F F，过抛物线，过抛物线1 12 2C C2 2：y yx x3 3 上一点上一点M M作抛物线作抛物线C C2 2的切线的切线l l，8 8与抛物线与抛物线C C1 1交于交于A A，B B两点两点(1)(1)记直线记直线AFAF，BFBF的斜率分别为的斜率分别为k k1 1，k k2 2，假，假3 3设设k k1 1k k2 2，求直线，求直线l l的方程；的方程；5 5(2)(2)是否存在正实数是否存在正实数m m，使得对任意点，使得对任意点M M，都，都有有|ABAB|m m(|(|AFAF|BFBF|)|)成立？假设存在，求出成立？假设存在，求出m m的值；假设不存在，请说明理由的值；假设不存在，请说明理由解：解：(1)(1)设设M M(x x0 0，y y0 0)，由，由y y 3 3，得，得y y8 8，4 4那么切线那么切线l l的斜率为的斜率为k k.4 4切线切线l l的方程为的方程为y y(x xx x0 0)y y0 0 x x4 44 4-4-4-2 2x x2 2x xx x0 0 x x0 0 x x0 0 y y0 0 x x2 2y y0 06 6y y0 0，即，即y yx xy y0 04 44 44 46.6.与与x x2 24 4y y联立，消去联立，消去y y得得x x2 2x x0 0 x x4 4y y0 024240.0.设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，那么有那么有x x1 1x x2 2x x0 0，x x1 1x x2 24 4y y0 02424，那么那么y y1 1y y2 2(x x1 1x x2 2)2 2y y0 01212 2 2y y0 04 44 412124 4y y0 01818，y y1 1y y2 2那那 么么 由由2 2x x2 2x x1 12 2x x2 20 0 x x0 0 x x0 0 x x0 0 x x2 20 01616(y y0 06)6)，2 2y y1 11 1y y2 21 1k k1 1k k2 2x x1 1x x2 22 2y y1 1y y2 2 y y1 1y y2 2 1 1 y y0 06 6 4 4y y0 01818 1 1x x1 1x x2 24 4y y0 024243 3，5 52323得得 5 5y y2828y y0 023230 0，解得，解得y y0 01 1 或或y y0 0.5 52 20 0 x x8(8(y y0 03)0，3)0，y y0 03，故3，故y y0 01 1，-5-5-2 20 0 x x0 04.4.那么直线那么直线l l的方程为的方程为y yx x5.5.(2)(2)由由(1)(1)知直线知直线l l的方程为的方程为y yx xy y0 04 46 6，且，且x x1 1x x2 2x x0 0，x x1 1x x2 24 4y y0 02424，那那 么么|ABAB|1 11 1x x0 0 x x2 20 016162 2|x x1 1x x2 2|x x2 20 01616 x x1 1x x2 2 4 4x x1 1x x2 21616x x2 20 02 2x x0 04 4 4 4y y0 02424，4 4即即|ABAB|16168 8y y0 024248 8y y0 024241616y y0 096962 23(53(54 4y y0 0)，而而|AFAF|BFBF|(y y1 11)1)(y y2 21)1)4 4y y0 020204(54(5y y0 0)，3 3那么那么|ABAB|(|(|AFAF|BFBF|)|)，2 2-6-6-3 3故存在正实数故存在正实数m m，使得对任意点，使得对任意点M M，都，都2 23 3有有|ABAB|(|(|AFAF|BFBF|)|)成立成立2 23 3(2022嵊州高三期末(2022嵊州高三期末)抛物抛物线线y y2 2x x，P P(1,0)(1,0)，M M(0(0，a a)，其中，其中2 2a a0 0，过点过点M M作抛物线的切线，作抛物线的切线，切点切点为为A A(不同于原点不同于原点O O)，过点，过点A A，P P作直线交抛物线作直线交抛物线于点于点B B，过点，过点M M，P P作直线交抛物线于点作直线交抛物线于点C C，D D.(1)(1)求证：直线求证：直线MAMA，MPMP的斜率之积为定值；的斜率之积为定值；2727(2)(2)假设假设BCDBCD的面积为的面积为，求实数，求实数a a的值的值1616解：解：(1)(1)证明：设证明：设A A(2(2m m2,2,2 2m m)()(m m0)，那么0)，那么k kAMAM2 2m ma a2 2m ma a2 2，所以直线，所以直线AMAM：y y2 2x xa a，即，即x x2 2m m2 2m m2 2m m4 4m m2 2(y ya a)，与抛物线方程联立得与抛物线方程联立得y yy y2 2m ma a2 2m ma a4 4m m a a0 0，2 2m ma a因为直线因为直线AMAM与抛物线相切，与抛物线相切，-7-7-2 22 22 21616m m1616m m a a所以所以0 0，解得，解得m ma a，2 2 2 2m ma a 2 2m ma a2 2a aa aa a0 0所以所以A A(2(2a a2 2a a)，所以，所以k kMAMAk kMPMP2 22 2a a0 00 01 12,2,4 42 21 1，为定值，为定值2 2(2)(2)易得易得k kCDCDk kMPMPa a，所以直线，所以直线CDCD：y yaxaxa a，即，即x xy y1 1，a a与抛物线方程联立得与抛物线方程联立得y yy y2 20 0，2 21 12 2a a设设C C(x x1 1，y y1 1)，D D(x x2 2，y y2 2)，|y y1 1y y2 2|CDCD|4 4a aa a2 28 82 2 2 2a a2 21 1a a，1 12 2|y y1 1y y2 2|，1 12 2 a a2 21 1 2 2a a2 21 1 a a2 22 2a a2 2a a又又k kABAB2 2，所以直线，所以直线ABAB：y y2 2(x x2 2a a1 12 2a a1 1-8-8-2 2a a1 11)1)，即，即x xy y1 1，与抛物线方程联立得，与抛物线方程联立得2 2a a2 2y y2 22 2a a1 12 2a ay y2 20 0，所以，所以y yA Ay yB B2 2，1 1 1 11 1 所以所以y yB B，所以，所以B B 2 2，a a a a 2 2a a1 1a a2 2a a所以点所以点B B到直线到直线CDCD的距离的距离d d2 2，a a1 1 1 1 2 2a a2 21 12727所以所以S SBCDBCD a a，2 2a a1616 2 2a a 整理得整理得所以所以去去)2 2a a1 1 2 23 3a a2 23 32727，8 82 2a a1 1a a3 3，解得，解得a a2 2 或或a a2(2(舍舍2 24.4.如图，如图，A A为椭圆为椭圆 y y2 21 1 的下的下2 2顶点，过点顶点，过点A A的直线的直线l l交抛物线交抛物线x x2 2x x2 22 2pypy(p p0)0)于于B B，C C两点，两点，C C是是ABAB的中点的中点-9-9-(1)(1)求证：点求证：点C C的纵坐标是定值；的纵坐标是定值；(2)(2)过点过点C C作与直线作与直线l l倾斜角互补的直线倾斜角互补的直线l l交椭圆于交椭圆于M M，N N两点，两点，p p为何值时，为何值时，BMNBMN的面积的面积最大？最大？解：解：(1)(1)证明：易知证明：易知A A(0(0，1)1)，不妨设，不妨设 t tt t2 2p p t t ，代入抛物线方程得，代入抛物线方程得B B t t，那么，那么C C，2 2p p 4 4p p 2 22 2 t t 2 2t t2 2p p4 4p p2 2p p1 12 2 2 2p p，得，得t t4 4p p，y yC C，4 4p p4 4p p2 2 2 2 2 22 2故点故点C C的纵坐标为定值的纵坐标为定值(2)(2)点点C C是是ABAB的中点，的中点，S SBMNBMNS SAMNAMN.设直线设直线l l的斜率为的斜率为k k，直线直线l l的斜率为的斜率为k k，1 1 1 1 2 23 33 3，k k，那么那么k kt t2 2t tt t1 13 3 t t 直线直线l l的方程为的方程为y y x x，即，即y y2 2t t 2 2 3 33 3x x2 2，不妨记不妨记m m，那么那么l l：y ymxmx2 2，t tt t-10-10-代入椭圆方程整理得代入椭圆方程整理得(2(2m m1)1)x x8 8mxmx6 60 0，设设M M(x x1 1，y y1 1)，N N(x x2 2，y y2 2)，8 8m m6 6那么那么x x1 1x x2 22 2，x x1 1x x2 22 2，2 2m m1 12 2m m1 1|MNMN|2 22 22 21 1m m2 22 2|x x1 1x x2 2|2 2m m3 32 2 2 2 1 1m m2 2，2 2m m1 13 3又又A A到直线到直线MNMN的距离的距离d d2 2，m m1 11 1所以所以S SAMNAMN|MNMN|d d2 22 2m m2 23 33 3 2 22 22 2m m1 13 3 2 22 2m m3 34 42 2m m3 32 22 24 42 2m m3 32 23 3 2 2.4 4当且仅当当且仅当2 2m m3 32 2时取等号，解得时取等号，解得2 27 79 91818t t9 92 22 2m m，所以，所以t t2 2，从而，从而p p，2 2m m7 74 41414-11-11-9 9故当故当p p时时BMNBMN的面积最大的面积最大14145 5椭圆椭圆C C的中心在原点，焦点在的中心在原点，焦点在x x轴上，离轴上，离2 22 2心率为心率为，它的一个焦点恰好与抛物线它的一个焦点恰好与抛物线y y4 4x x的的2 2焦点重合焦点重合(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程；的方程；(2)(2)设椭圆的上顶点为设椭圆的上顶点为A A，过点，过点A A作椭圆作椭圆C C的的1 1两条动弦两条动弦ABAB，ACAC，假设直线假设直线ABAB，ACAC斜率之积为斜率之积为，4 4直线直线BCBC是否恒过一定点？假设经过，是否恒过一定点？假设经过，求出该定点求出该定点坐标；假设不经过，请说明理由坐标；假设不经过，请说明理由解：解：(1)(1)由题意知椭圆的一个焦点为由题意知椭圆的一个焦点为F F(1,0)(1,0)，那么那么c c1.1.c c2 2由由e e 得得a a 2 2，所以，所以b b1 1，a a2 2所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 y y1.1.2 2(2)(2)由由(1)(1)知知A A(0,1)(0,1)，当直线，当直线BCBC的斜率不存的斜率不存-12-12-x x2 22 2在时，在时，设设BCBC：x xx x0 0，设，设B B(x x0 0，y y0 0)，那么，那么C C(x x0 0，y y0 0)，y y0 01 1y y0 01 11 1y y1 1k kABABk kACAC2 22 2x x0 0 x x0 0 x x0 0 x x0 02 21 1，4 4不合题意故直线不合题意故直线BCBC的斜率存在设直线的斜率存在设直线2 20 01 12 2x x0 02 2BCBC的方程为的方程为y ykxkxm m(m m1)，并代入椭圆方程，1)，并代入椭圆方程，得：得：(1(12 2k k)x x4 4kmxkmx2(2(m m1)1)0 0，由由(4(4kmkm)8(18(12 2k k)()(m m1)01)0，得得 2 2k k2 2m m2 210.10.设设B B(x x1 1，y y1 1)，C C(x x2 2，y y2 2)，那么，那么x x1 1，x x2 2是方程是方程的两根，的两根，由根与系数的关系得，由根与系数的关系得，4 4kmkm2 2 m m1 1 x x1 1x x2 22 2，x x1 1x x2 22 2，1 12 2k k1 12 2k k-13-13-2 22 22 22 22 22 22 2y y1 11 1y y2 21 11 1由由k kABABk kACAC 得：得：x x1 1x x2 24 44 4y y1 1y y2 24(4(y y1 1y y2 2)4 4x x1 1x x2 2，即即(4(4k k2 21)1)x x1 1x x2 24 4k k(m m1)(1)(x x1 1x x2 2)4(4(m m1)1)0 0，整理得整理得(m m1)(1)(m m3)3)0 0，又因为又因为m m1，所以1，所以m m3 3，此时直线此时直线BCBC的方程为的方程为y ykxkx3.3.所以直线所以直线BCBC恒过一定点恒过一定点(0,3)(0,3)2 2-14-14-