长沙市2016年中考数学试卷含答案解析Word版.pdf

湖南省长沙市 2016 年中考数学试卷（word 版含解析）一、（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）1下列四个数中，最大的数是（）A2 B C0 D6【分析】有理数大小比拟的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，肯定值大的其值反而小，据此推断即可 【解答】解：依据有理数比拟大小的方法，可得 6 02，故四个数中，最大的数是 6 故选：D 【点评】此题主要考察了有理数大小比拟的方法，要娴熟驾驭，解答此题的关键是要明确：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，肯定值大的其值反而小 2大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于 2016 年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需 24分钟，从长沙到湘潭只需 25 分钟，这条铁路全长 99500 米，则数据 99500 用科学记数法表示为（）A0.995105 B9.95105 C9.95104 D9.5104【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的肯定值与小数点挪动的位数一样当原数肯定值1 时，n 是正数；当原数的肯定值1 时，n 是负数 【解答】解：将 99500 用科学记数法表示为：9.95104 故选：C 【点评】此题主要考察了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3下列计算正确的是（）A=Bx8x2=x4 C（2a）3=6a3 D3a52a3=6a6【分析】干脆利用二次根式乘法运算法则以及结合同底数幂的乘除运算法则分别化简求出答案 【解答】解：A、=，正确；B、x8x2=x6，故此选项错误；C、（2a）3=8a3，故此选项错误；D、3a52a3=6a8，故此选项错误；故选：A 【点评】此题主要考察了二次根式乘法运算以及结合同底数幂的乘除运算、积的乘方运算等学问，正确驾驭相关性质是解题关键 4六边形的内角和是（）A540 B720 C900 D360【分析】利用多边形的内角和定理计算即可得到结果 【解答】解：依据题意得：（62）180=720，故选 B 【点评】此题考察了多边形内角与外角，娴熟驾驭多边形内角和定理是解本题的关键 5不等式组的解集在数轴上表示为（）A B C D【分析】分别求出每一个不等式的解集，依据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案 【解答】解：，解不等式 2x15，得：x3，解不等式 84x0，得：x2，故不等式组的解集为：x3，故选：C 【点评】本题考察的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是根底，熟识在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键 6如图是由六个一样的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A B C D【分析】依据从正面看得到的图形是主视图，可得答案 【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，故选：B 【点评】本题考察了简洁组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图 7若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（）A6 B3 C2 D11【分析】依据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可推断 【解答】解：设第三边为 x，则 4x10，所以符合条件的整数为 6，故选 A 【点评】本题考察三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于根底题，中考常考题型 8若将点 A（1，3）向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位得到点 B，则点 B 的坐标为（）A C【分析】依据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可 【解答】解：点 A（1，3）向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位得到点 B，点 B 的横坐标为 12=1，纵坐标为 34=1，B 的坐标为（1，1）故选 C 【点评】本题考察了坐标与图形改变平移，平移中点的改变规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减 9下列各图中，1 与 2 互为余角的是（）A B C D【分析】假如两个角的和等于 90（直角），就说这两个角互为余角依此定义结合图形即可求解 【解答】解：三角形的内角和为 180，选项 B 中，1+2=90，即 1 与 2 互为余角，故选 B 【点评】本题考察了余角的定义，驾驭定义并且精确识图是解题的关键 10已知一组数据 75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）A75，80 B80，85 C80，90 D80，80【分析】依据众数和中位数的概念分别进展求解即可 【解答】解：把这组数据依据从小到大的依次排列为：75，80，80，85，90，最中间的数是 80，则中位数是 80；在这组数据中出现次数最多的是 80，则众数是 80；故选 D 【点评】本题考察了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据依据从小到大（或从大到小）的依次排列，假如数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；假如这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 11如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60，热气球 A 处与楼的程度间隔 为 120m，则这栋楼的高度为（）A160m B120m C300m D160m【分析】首先过点 A 作 ADBC 于点 D，依据题意得 BAD=30，CAD=60，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案 【解答】解：过点 A 作 ADBC 于点 D，则 BAD=30，CAD=60，AD=120m，在 Rt ABD 中，BD=ADtan30=120=40（m），在 Rt ACD 中，CD=ADtan60=120=120（m），BC=BD+CD=160（m）故选 A 【点评】此题考察了仰角俯角问题留意精确构造直角三角形是解此题的关键 12已知抛物线 y=ax2+bx+c（ba0）与 x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：该抛物线的对称轴在 y 轴左侧；关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 无实数根；ab+c0；的最小值为 3 其中，正确结论的个数为（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】从抛物线与 x 轴最多一个交点及 ba0，可以推断抛物线最小值最小为 0，对称轴在 y 轴左侧，并得到 b24ac0，从而得到为正确；由 x=1 及 x=2 时 y 都大于或等于零可以得到正确 【解答】解：ba0 0，所以正确；抛物线与 x 轴最多有一个交点，b24ac0，关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 中，=b24a（c+2）=b24ac8a0，所以正确；a0 及抛物线与 x 轴最多有一个交点，x 取任何值时，y0 当 x=1 时，ab+c0；所以正确；当 x=2 时，4a2b+c0 a+b+c3b3a a+b+c3（ba）3 所以正确 故选：D 【点评】本题考察了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确 a 的符号确定了抛物线开口方向；a、b 的符号确定对称轴的位置；抛物线与 x 轴的交点个数，确定了b24ac 的符号 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）13分解因式：x2y4y=y（x+2）（x2）【分析】先提取公因式 y，然后再利用平方差公式进展二次分解 【解答】解：x2y4y，=y（x24），=y（x+2）（x2）故答案为：y（x+2）（x2）【点评】本题考察了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进展二次分解因式是解本题的难点，也是关键 14若关于 x 的一元二次方程 x24xm=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 m4 【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b24ac0，代入数据可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论 【解答】解：由已知得：=b24ac=（4）241（m）=16+4m0，解得：m4 故答案为：m4 【点评】本题考察了根的判别式，解题的关键是得出关于 m 的一元一次不等式本题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，依据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键 15如图，扇形 OAB 的圆心角为 120，半径为 3，则该扇形的弧长为 2（结果保存）【分析】干脆利用弧长公式列式计算即可 【解答】解：扇形 OAB 的圆心角为 120，半径为 3，该扇形的弧长为：=2 故答案为：2 【点评】此题主要考察了弧长公式的应用，娴熟记忆弧长公式是解题关键 16如图，在O 中，弦 AB=6，圆心 O 到 AB 的间隔 OC=2，则O 的半径长为 【分析】依据垂径定理求出 AC，依据勾股定理求出 OA 即可 【解答】解：弦 AB=6，圆心 O 到 AB 的间隔 OC 为 2，AC=BC=3，ACO=90，由勾股定理得：OA=，故答案为：【点评】本题考察了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出 AC 和 OA 的长，题目比拟好，难度适中 17如图，ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交边 AC 于点E，则 BCE 的周长为 13 【分析】依据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EB，依据三角形的周长公式计算即可 【解答】解：DE 是 AB 的垂直平分线，EA=EB，则 BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13 【点评】本题考察的是线段的垂直平分线的性质，驾驭线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的间隔 相等是解题的关键 18若同时抛掷两枚质地匀称的骰子，则事务“两枚骰子朝上的点数互不一样”的概率是 【分析】画出树状图，然后依据概率公式列式计算即可得解 【解答】解：由题意作出树状图如下：一共有 36 种状况，“两枚骰子朝上的点数互不一样”有 30 种，所以，P=故答案为：【点评】本题考察了列表法与树状图法，用到的学问点：概率=所求状况数与总状况数之比 三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19计算：4sin60|2|+（1）2016 【分析】本题涉及特别角的三角函数值、肯定值、二次根式化简、乘方 4 个考点在计算时，须要针对每个考点分别进展计算，然后依据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：4sin60|2|+（1）2016 =422+1 =222+1 =1 【点评】本题主要考察了实数的综合运算实力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是娴熟驾驭特别角的三角函数值、肯定值、二次根式化简、乘方等考点的运算 20先化简，再求值：（）+，其中 a=2，b=【分析】先对所求式子进展化简，然后依据 a=2，b=可以求得化简后式子的值，本题得以解决 【解答】解：（）+=，当 a=2，b=时，原式=【点评】本题考察分式的化简求值，解题的关键是会对所求的式子化简并求值 21为主动响应市委政府“加快建立天蓝水碧地绿的漂亮长沙”的号召，我市某街道确定从备选的五种树中选购一种进展栽种为了更好地理解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了局部居民，进展“我最喜爱的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完好的统计图：请依据所给信息解答以下问题：（1）这次参加调查的居民人数为：1000；（2）请将条形统计图补充完好；（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；（4）已知该街道辖区内现有居民 8 万人，请你估计这 8 万人中最喜爱玉兰树的有多少人？【分析】（1）依据“银杏树”的人数及其百分比可得总人数；（2）将总人数减去选择其它 4 种树的人数可得“樟树”的人数，补全条形图即可；（3）用样本中“枫树”占总人数的比例乘以 360可得；（4）用样本中最喜爱“玉兰树”的比例乘以总人数可得 【解答】解：（1）这次参加调查的居民人数有=1000（人）；（2）选择“樟树”的有 1000250375125100=150（人），补全条形图如图：（3）360=36，答：扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为 36；（4）8=2（万人），答：估计这 8 万人中最喜爱玉兰树的约有 2 万人 故答案为：（1）1000 【点评】本题主要考察了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，解题的关键是把条形统计图和扇形统计图的数据相结合求解 22如图，AC 是ABCD 的对角线，BAC=DAC （1）求证：AB=BC；（2）若 AB=2，AC=2，求ABCD 的面积 【分析】（1）由平行四边形的性质得出 DAC=BCA，再由已知条件得出 BAC=BCA，即可得出 AB=BC；（2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出ACBD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD，由勾股定理求出 OB，得出 BD，ABCD 的面积=ACBD，即可得出结果 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，DAC=BCA，BAC=DAC，BAC=BCA，AB=BC；（2）解：连接 BD 交 AC 于 O，如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=BC，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，OA=OC=AC=，OB=OD=BD，OB=1，BD=2OB=2，ABCD 的面积=ACBD=22=2 【点评】本题考察了平行四边形的性质、等腰三角形的断定、勾股定理、菱形面积的计算；娴熟驾驭平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键 232016 年 5 月 6 日，中国第一条具有自主学问产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路途连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建立尚在进展中，届时将给乘客带来美的享受星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方 31 吨，5 辆大型渣土运输车与 6 辆小型渣土运输车一次共运输土方 70 吨 （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司确定派出大、小两种型号的渣土运输车共 20 辆参加运输土方，若每次运输土方总量不少于 148 吨，且小型渣土运输车至少派出 2 辆，则有哪几种派车方案？【分析】（1）依据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；（2）依据题意可以列出相应的关系式，从而可以求得有几种方案 【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输 x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输 y吨，解得 即一辆大型渣土运输车一次运输 8 吨，一辆小型渣土运输车一次运输 5 吨；（2）由题意可得，设该渣土运输公司确定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为 x 辆、y 辆，解得或或，故有三种派车方案，第一种方案：大型运输车 18 辆，小型运输车 2 辆；第二种方案：大型运输车 17 辆，小型运输车 3 辆；第三种方案：大型运输车 16 辆，小型运输车 4 辆 【点评】本题考察一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题须要的条件 24如图，四边形 ABCD 内接于O，对角线 AC 为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF （1）求 CDE 的度数；（2）求证：DF 是O 的切线；（3）若 AC=2DE，求 tan ABD 的值 【分析】（1）干脆利用圆周角定理得出 CDE 的度数；（2）干脆利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出 ODF=ODC+FDC=OCD+DCF=90，进而得出答案；（3）利用相像三角形的性质结合勾股定理表示出 AD，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan ABD 的值 【解答】（1）解：对角线 AC 为O 的直径，ADC=90，EDC=90；（2）证明：连接 DO，EDC=90，F 是 EC 的中点，DF=FC，FDC=FCD，OD=OC，OCD=ODC，OCF=90，ODF=ODC+FDC=OCD+DCF=90，DF 是O 的切线；（3）解：如图所示：可得 ABD=ACD，E+DCE=90，DCA+DCE=90，DCA=E，又 ADC=CDE=90，CDE ADC，=，DC2=ADDE AC=2DE，设 DE=x，则 AC=2x，则 AC2AD2=ADDE，期（2x）2AD2=ADx，整理得：AD2+ADx20 x2=0，解得：AD=4x 或4.5x（负数舍去），则 DC=2x，故 tan ABD=tan ACD=2 【点评】此题主要考察了圆的综合以及切线的断定、相像三角形的断定与性质、勾股定理等学问，依据题意表示出 AD，DC 的长是解题关键 25若抛物线 L：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，abc0）与直线 l 都经过 y 轴上的一点 P，且抛物线 L的顶点 Q 在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线 L具有“一带一路”关系此时，直线 l 叫做抛物线 L 的“带线”，抛物线 L 叫做直线 l 的“路途”（1）若直线 y=mx+1 与抛物线 y=x22x+n 具有“一带一路”关系，求 m，n 的值；（2）若某“路途”L 的顶点在反比例函数 y=的图象上，它的“带线”l 的解析式为 y=2x4，求此“路途”L 的解析式；（3）当常数 k 满意 k2 时，求抛物线 L：y=ax2+（3k22k+1）x+k 的“带线”l 与 x 轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围 【分析】（1）找出直线 y=mx+1 与 y 轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出 n的值；再依据抛物线的解析式找出顶点坐标，将其代入直线解析式中即可得出结论；（2）找出直线与反比例函数图象的交点坐标，由此设出抛物线的解析式，再由直线的解析式找出直线与 x 轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出结论；（3）由抛物线解析式找出抛物线与 y 轴的交点坐标，再依据抛物线的解析式找出其顶点坐标，由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线”l 的解析式，找出该直线与 x、y 轴的交点坐标，结合三角形的面积找出面积 S 关于 k 的关系上，由二次函数的性质即可得出结论 【解答】解：（1）令直线 y=mx+1 中 x=0，则 y=1，即直线与 y 轴的交点为（0，1）；将（0，1）代入抛物线 y=x22x+n 中，得 n=1 抛物线的解析式为 y=x22x+1=（x1）2，抛物线的顶点坐标为（1，0）将点（1，0）代入到直线 y=mx+1 中，得：0=m+1，解得：m=1 答：m 的值为1，n 的值为 1 （2）将 y=2x4 代入到 y=中有，2x4=，即 2x24x6=0，解得：x1=1，x2=3 该“路途”L 的顶点坐标为（1，6）或（3，2）令“带线”l：y=2x4 中 x=0，则 y=4，“路途”L 的图象过点（0，4）设该“路途”L 的解析式为 y=m（x+1）26 或 y=n（x3）2+2，由题意得：4=m（0+1）26 或4=n（03）2+2，解得：m=2，n=此“路途”L 的解析式为 y=2（x+1）26 或 y=（x3）2+2 （3）令抛物线 L：y=ax2+（3k22k+1）x+k 中 x=0，则 y=k，即该抛物线与 y 轴的交点为（0，k）抛物线 L：y=ax2+（3k22k+1）x+k 的顶点坐标为（，），设“带线”l 的解析式为 y=px+k，点（，）在 y=px+k 上，=p+k，解得：p=“带线”l 的解析式为 y=x+k 令“带线”l：y=x+k 中 y=0，则 0=x+k，解得：x=即“带线”l 与 x 轴的交点为（，0），与 y 轴的交点为（0，k）“带线”l 与 x 轴，y 轴所围成的三角形面积 S=|k|，k2，2，S=，当=1 时，S 有最大值，最大值为；当=2 时，S 有最小值，最小值为 故抛物线 L：y=ax2+（3k22k+1）x+k 的“带线”l 与 x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围为 S 【点评】本题考察了反比例函数与一次函数的交点问题已经二次函数的应用，解题的关键是：（1）依据“一带一路”关系找出两函数的交点坐标；（2）依据直线与反比例函数的交点设出抛物线的解析式；（3）找出“带线”l 与 x 轴、y 轴的交点坐标本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）数据稍显繁琐，解决该问时，借用三角形的面积公式找出面积 S 与 k之间的关系式，再利用二次函数的性质找出 S 的取值范围 26如图，直线 l：y=x+1 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点 P，Q 是直线 l 上的两个动点，且点 P 在第二象限，点 Q 在第四象限，POQ=135 （1）求 AOB 的周长；（2）设 AQ=t0，试用含 t 的代数式表示点 P 的坐标；（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得 AOQ与 BPO的周长相等时，记tan AOQ=m，若过点 A 的二次函数 y=ax2+bx+c 同时满意以下两个条件：6a+3b+2c=0；当 mxm+2 时，函数 y 的最大值等于，求二次项系数 a 的值 【分析】（1）先求出 A、B 坐标，再求出 OB、OA、AB 即可解决问题 （2）由 PBO OAQ，得=，求出 PB，再依据等腰直角三角形性质可以求得点 P坐标 （3）先求出 m 的值，分a0，a0，两种情形，利用二次函数性质分别求解即可 【解答】解：（1）在函数 y=x+1 中，令 x=0，得 y=1，B（0，1），令 y=0，得 x=1，A（1，0），则 OA=OB=1，AB=，AOB 周长为 1+1+=2+（2）OA=OB，ABO=BAO=45，PBO=QAO=135，设 POB=x，则 OPB=AOQ=135x90=45x，PBO OAQ，=，PB=，过点 P 作 PHOB 于 H 点，则 PHB 为等腰直角三角形，PB=，PH=HB=，P（，1+）（3）由（2）可知 PBO OAQ，若它们的周长相等，则相像比为 1，即全等，PB=AQ，=t，t0，t=1，同理可得 Q（1+，），m=1，抛物线经过点 A，a+b+c=0，又 6a+3b+2c=0，b=4a，c=3a，对称轴 x=2，取值范围1x+1，若 a0，则开口向上，由题意 x=1 时获得最大值=2+2，即（1）2a+（1）b+c=2+2，解得 a=若 a0，则开口向下，由题意 x=2 时获得最大值 2+2，即 4a+2b+c=2+2，解得 a=22 综上所述所求 a 的值为或22 【点评】本题考察二次函数综合题、相像三角形的断定和性质、等腰直角三角形的性质、函数最值问题等学问，解题的关键是敏捷应用这些学问解决问题，学会分类探讨，考虑问题要全面，属于中考压轴题