人教A版(2019)高一数学第二学期期末复习测试题(含答案).pdf

人教 A 版（2019）高一数学第二学期期末复习测试题（含答案）一、单选题（每题 5 分）1复数3 2i i等于 A23i B23i C23i D23i 2奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（）A众数 B方差 C中位数 D平均数 3向量1,2,1,0ab，则b在a上的投影向量是（）A55 B55 C1255，D1 25 5，4中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cun）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥已知此正四棱锥的侧棱长为4 21，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近 30，若取30，则下列结论正确的是（）A正四棱锥的底面边长为 48m B正四棱锥的高为 4m C正四棱锥的体积为2768 3m D正四棱锥的侧面积为296 3m 5已知空间直角坐标系中的点1,1,1P，1,0,1A，0,1,0B，则点 P 到直线 AB的距离为（）A66 B36 C33 D63 6 在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，若2 sinaBb，则2222bcabc（）A32 B32 C12 D12 7新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力.2020 年 7 月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图 1 为国内三大产业比重，图 2 为第三产业中各行业比重.以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（）A第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平 B第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值 C若“住宿餐饮业”生产总值为 7500 亿元，则“金融业”生产总值为 32500 亿元 D若“金融业”生产总值为 41040 亿元，则第二产业生产总值为 166500 亿元 8ABC中，2AC，2AB，45A，P是ABC外接圆上一点，APABAC，则的最大值是（）A212 B212 C322 D322 二、多选题（每题 5 分）9设复数z满足5i1 iz，则（）Az为纯虚数 Bz的共轭复数为1 i C复数z在复平面内对应的点位于第一象限 D复数za aR的模的最小值为 1 10生活中台灯的灯罩、喝水的水杯常常设计成圆台的形状已知某圆台的上底半径为 1，下底半径为 3，球 O与圆台的两个底面和侧面都相切则下列命题中正确的是（）A圆台的母线长为 4 B圆台的高为 4 C圆台的表面积为26 D球 O 的表面积为12 11下列叙述错误的是（）A已知直线 l 和平面，若点Al，点Bl且,AB，则l B若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C若直线1l和2l不平行，且12,lll，则 l 至少与12,l l中的一条相交 D若直线 l 不平行于平面，且l，则内的所有直线与 l 都不相交 12如图，已知菱形ABCD的边长为 6，E为BC中点，2CFFD，下列选项正确的有（）A1223EFADAB B若60BAD，则2 13AF C若60BAD，则9AC EF D219AE EF 三、填空题（每题 5 分）13如图，矩形OABC 是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中4O A，1OC，则原图形周长是_ 14设某组数据均落在区间10,60内，共分为10,20，20,30，30,40，40,50，50,60五组，对应频率分别为 p1，p2，p3，p4，p5已知依据该组数据所绘制的频率分布直方图为轴对称图形，且12345242ppppp，则该组数据的平均数为_ 15若复数z满足i2i3zz（i为虚数单位），则i3z 的最大值是_.16勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD的棱长为 2，则下列说法正确的是 _ 勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是8(3)勒洛四面体ABCD内切球的半径是46 勒洛四面体的截面面积的最大值为22 3 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为622 四、解答题 17（10 分）已知复数izab，其中,R,ia b为虚数单位.(1)当|5z，且2223(2)iaaaa 是纯虚数，求,a b的值；(2)当|5z 时，求|1|z 的取值范围.18（12 分）（1）已知向量2,4a，3,bk.若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围；（2）已知1e、2e是两个不共线的非零向量，如果12ABee，1228BCee，123CDee，证明：A、B、D三点共线.19（12 分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50 名就餐的教师和学生根据这 50 名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为40,50，50,60，90,100 (1)求频率分布直方图中 a 的值和样本的众数(2)若采用分层抽样的方式从评分在40,60，60,80，80,100的师生中抽取 10 人，则评分在60,80内的师生应抽取多少人？(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分的均值不得低于 75 分，否则将进行内部整顿用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿 20（12 分）已知函数 sin 2(0),04f xx是该函数图象的对称中心(1)求函数 f x的解析式；(2)在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若 1,23f CC，1c，求2ab的取值范围.21（12 分）如图，四棱锥SABCD的底面ABCD是直角梯形，且/ABCD，ADDC，24CDAB，ADa，正三角形SAD所在平面与平面ABCD相互垂直，E、O分别为SD、AD的中点.(1)求证：SOBC；(2)若二面角EACD的余弦值为2 35，求a的值.22（12 分）正三棱柱111ABCABC中，E为棱BC的中点.(1)求证：1AB平面1AEC；(2)若二面角1CAEC的大小为 60，求直线AC和平面1AEC所成角的正弦值；(3)若1AAAC（为常数），直线AC和平面1AEC所成角为，二面角1EACC的大小为.试用常数表示sinsin的值 参考答案 1B2B3C4C5D6B7D8A9BCD10ACD11BD12ABD 1314 1435 153 2 16 17(1)225,23(2)izaaaa是纯虚数，故有222225,230,20abaaaa，经计算有，3,4ab;(2)225,11zzab,所以有2225ab，如下图，根据几何意义，可知 416z.18（1）3,66,2 ；（2）证明见解析.解：（1）因为a与b的夹角是钝角，则460a bk，可得32k，且a与b不共线，则212k ，解得6k ，综上所述，实数k的取值范围是3,66,2 ；证明：（2）由已知12555BDeeAB，因为AB、BD共点B，所以，A、B、D三点共线.19(1)解：由0.0040.0220.0280.0220.018101a，解得0.006a 众数为7080752(2)解：由频率分布直方图可知，评分在40,60，60,80，80,100内的师生人数之比为 0.0040.006:0.0220.028:0.0220.0181:5:4，所以评分在60,80内的师生应抽取5105154（人）(3)解：由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为 45 0.004 1055 0.006 1065 0.022 1075 0.028 1085 0.022 1095 0.018 1076.2x 因为76.275，所以食堂不需要内部整顿 20(1)由题知2,Z4kk，因为0，所以2，所以函数 sin 22fxx，即为 cos2f xx.(2)由题知 12f C ，即1cos22C ，因为3C，所以2223C，所以423C，即21,33CAB.所以由正弦定理得2sinsinsin3abcABC，所以22sin,sin33aA bB,242sinsin33abAB2sin2sin3AB2sin2sin33BB2sincoscossin2sin333BBB233cossin223BB2sin6B 因为10,3B所以662B，所以1sin126B，所以12sin26B，所以2ab取值范围为1,2.21(1)在四棱锥SABCD中，SAD是正三角形，O是AD的中点，则SOAD，又平面SAD 平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SO 平面SAD，则有SO 平面ABCD，而BC 平面ABCD，所以SOBC.(2)取BC的中点M，连接OM，在直角梯形ABCD中，/ABCD，O、M分别为AD、BC的中点，则/OMDC，又ADDC，即有OMAD，由（1）知SO 平面ABCD，又AD、OM 平面ABCD，则SOAD，SOOM.以O为原点，OA，OM，OS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则3(0,0,),(0 0),(0,0,0),(,0(,4,0,0),2222aOaaSaCDA,，3(3(,0,),)44,4,0aAEaACa ，设平面EAC的一个法向量(,)nx y z，则3304440aAE nxazAC naxy ，令4x，得(4,4 3)na，由（1）知，SO 平面ABCD，则3(0,0,)2OSa是平面ACD的一个法向量，2264 3364cos,|642|n OaaSn OSnOSaa，因二面角EACD的余弦值为2 35，则24 32 3564a，又0a，解得6a，a的值是 6.22(1)连接1AC，11ACACO，1ABC中，1AOOC，BEEC1/OE A B，1AB 平面1AEC，OE 平面1AEC1/A B平面1AEC.(2)由正三棱柱111ABCABC可得1BB 平面ABC，而AE 平面ABC，1AEBB，E为BC的中点，故AEBC，而1BCBBB，故AE平面11BCC B，而1,C E EC平面11BCC B，故1,AEC E AEEC，二面角1CAEC的平面角是160CEC，在平面11BCC B内作1CHC E，连接AH，由平面1AEC 平面11BCC B，平面1AEC平面111BCC BC E，故CH 平面1AEC 直线AC和平面1AEC所成的角为CAH sin 603sin4CHCECAHACAC 直线AC和平面1AEC所成的角的正弦值为34.(3)由（2）知CAH，sinCHAC在平面11ACC A内作1CMC A，连接MH 二面角1EACC的平面角是CMH sinCHCM，即sinsinCMAC.1111122ACCSAC CCAC CM，又因为1AAAC，211 ACAC，1211CCAC，所以2sinsin1CMAC.