公共基础(数理化)精讲班第一章高等数学(二十五)-.pdf
环球网校学员专用资料第1页/共7页 第五节 矩阵的特征值与特征向量 1定义 设A是n阶方阵，如果存在数和n维非零向量x，使得 Axx 成立，则称为A的特征值，x是A对应特征值的特征向量。称行列式AE 为A的 特征多项式,称0 AE为A的特征方程，特征方程的根就是的A的特征值；称矩阵 AE 为A的特征矩阵，以它为系数矩阵的方程组0)(xAE一定有非零解，它的解 就是A对应特征值的特征向量。【例题 11-1】已知 3 维列向量,满足3T，设 3 阶矩阵TA，则：(A)是A的属于特征值0的特征向量(B)是A的属于特征值0的特征向量(C)是A的属于特征值3的特征向量(D)是A的属于特征值3的特征向量 解：因3TA，由特征值、特征向量的定义，是A的属于特征值3的特征向量，故应选(C)。【例题 11-2】设A是 3 阶实对称矩阵，P是 3 阶可逆矩阵，1BP AP,已知是A的属于特征值的特征向量，则B的属于特征值的特征向量是：(A)P(B)1P(C)TP(D)1()TP 解：由是A的属于特征值的特征向量，有=A，而 1BP11P APP1111P APPP AP 所以向量1P是矩阵B的属于特征值的特征向量，应选(B).2重要结论（1)设为A的特征值，x是属于特征值的特征向量，则矩阵kAaAbE、2mAA、环球网校学员专用资料第2页/共7页 1*AA、的特征值分别为kab、21mA、，且特征向量都是x。（2）如果12,t 是矩阵A的互不相同的特征值，则其对应的特征向量12,tx xx一定是线性无关的。特别地，当A是对称阵时，特征向量12,tx xx是正交的。【例题 11-3】已知n阶可逆矩阵A的特征值为0，则矩阵1(2)A的特征值是:(A)02(B)02(C)012(D)02 解：由矩阵特征值的性质，2A的特征值为02，1(2)A的特征值为012，应选(C).【例题 11-4】设3,6321为三阶实对称阵A的特征值，属于332的特征向量为,)1,2,1(,)1,0,1(32TT则属于61的特征向量是：(A)T)1,1,1(（B）T)1,1,1(（C）T)2,2,0(（D）T)0,2,2(解：因A为实对称阵，故A属于不同特征值的特征向量是正交的，设Txxx),(3211，则 02121),(,0101),(321321313132121xxxxxxxxxxx 环球网校学员专用资料第3页/共7页 解方程组02032131xxxxx，得，故应选 A。该题也可用下面方法求解，记T)1,1,1(1则 0121)1,1,1(,0101)1,1,1(3121 而其他选项都不满足这个条件，故选 A。第六节 相似矩阵及矩阵的对角化 1相似矩阵的概念与性质（1)定义:设A、B为两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P使得 1P APB 成立，则称矩阵A与B相似，记为BA。并称可逆矩阵P为将A变为B的相似变换阵。（2)性质:如果BA,则有 kBABABAkkTT(,11为正整数)BEAE,即相似矩阵有相同的特征值。BA,即相似矩阵行列式的值相等，从而相似矩阵同时可逆或不可逆。相似矩阵有相同的秩。【例题 11-4】已知矩阵111242335A与00020002B相似，则等于：(A)6(B)5(C)4(D)14 解：矩阵A和B相似，则有相同的特征值，由 2111242(2)(812)0335AE 环球网校学员专用资料第4页/共7页 解得矩阵A的特征值为1232,6，故有6，应选(A).2矩阵的相似对角化（1）定义：设A是n阶方阵，若A与对角阵12=相似，则称A可以相似对角化。这时对角阵中对角线上的元素就是A的特征值，而相似变换阵12(,)nP 的列向量就是A的属于对应特征值的特征向量，即有 111A，222A，nnnA （2）重要结论 1）n阶矩阵A可相似对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。2）若A有n个互不相同的特征值，则A可相似对角化。【例题 11-5】设三阶方阵A的特征值为1,2,2,它们所对应的特征向量分别为321,令),(321P,则APP1()(A)122;(B)212;(C)122;(D)212 解：方阵A有三个互不相同的特征值，故能与对角阵相似。),(321P为相似变换阵，与A相似的对角阵的对角线元素就是A的特征值1,2,2，其排列顺序与特征向量在),(321P中的顺序相同，故选 A。环球网校学员专用资料第5页/共7页 第七节 二次型 1基本概念（1)定义：含有n个变量12,nx xx的二次齐次函数（即每项都是二次的多项式）221211 112121213112222323(,)2222nnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x x 2222nnnnna x xa x 称为二次型。（2)二次型的矩阵表示:如果取jiijaa，则2ijijijijjijia x xa x xa x x，于是二次型可表为,1nijiji jfa x x。如果记nnijaA)(，12(,)Tnxx xx，则有Tfx Ax，称该式为二次型的矩阵表示。这里有TAA，即A为对称矩阵，称A为二次型f的矩阵，称矩阵A的秩()r A为二次型f的秩，记为()r f。例如：二次型22342fxzxyyz的矩阵120201013A。（3)合同矩阵:设A,B为两个n阶实对称阵阵,如果存在一个可逆矩阵C使得 BACCT 成立,则称矩阵A与B合同，记为BA。【例题 11-6】设1112A，与A合同的矩阵是：(A)1112(B)1112(C)1112 环球网校学员专用资料第6页/共7页 (D)1112 解：取1001C，则TCC，而TC AC 1112，故选(A)。2二次型的标准形和规范形（1）定义：如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项()ijx x ij的系数全是零，即 2221 122Tnnfx Axd xd xd x 这样的二次型称为标准形。特别地形如22222121Tpprfx Axxxxxx标准型，称为二次型的规范形。其中r为A的秩，p为正惯性指数,pr 为负惯性指数。（2）结论：任一实二次型f都可经合同变换化为规范形,且规范性是惟一的。3二次型的正定性及正定矩阵（1)定义：如果实二次型Tfx Ax对任意一组不全为零的实数1(,)Tnxxx，都有0Tfx Ax，则称该二次型为正定二次型，正定二次型的矩阵A称为正定矩阵。（2）重要结论：1）合同变换不改变二次型的正定性。2)二次型Tfx Ax是正定二次型的充分必要条件是：正惯性指数为n或A的特征值都大于零或A的各阶顺序主子式大于零。【例题 11-7】要使得二次型222123112213233(,)2222f x xxxtx xxx xx xx为正定的，则t的取值条件是：(A)11t (B)10t (C)0t (D)1t 解：二次型的矩阵为11111 12tAt，若二次型为正定，则A各阶顺序主子式必须大于零，由 环球网校学员专用资料第7页/共7页 111101 12tt，得10t ；再由101tt，有210t，即11t 。综上所述，10t ，应选 B。
