平面向量与三角形三心.pdf
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0OCOBOAO是ABC的重心.证法 1：设),(),(),(),(332211yxCyxByxAyxO 0OCOBOA0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxx O是ABC的重心.证法 2：如图 OCOBOA 02ODOA ODAO2 DOA、三点共线，且O分AD 为 2：1 O是ABC的重心 OABCDE（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.证明：如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC，AD 垂直 BC，D、E 是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOA ACOB 同理BCOA，ABOC O为ABC的垂心 （3）设a,b,c是三角形的三条边长，O 是ABC 的内心 OOCcOBbOAa0为ABC的内心.证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,(AObACcAB)，令cbabc cbabcAO（bACcAB)化简得0)(ACcABbOAcba 0OCcOBbOAa （4）OCOBOAO为ABC的外心。典型例题分析 例题已知点G是ABC内任意一点,点 M是ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过ABC的_心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).提出问题 OABCDE(1)若存在常数,满足()(0)ABACMGMAABAC,则点G可能通过ABC的_.(2)若点D是ABC的底边BC上的中点,满足GD GBGD GC,则点G可能通过ABC的_.(3)若存在常数,满足()(0)sinsinABACMGMAABBACC,则点G可能通过ABC的_.(4)若存在常数,满足()(0)coscosABACMGMAABBACC,则点G可能通过ABC的_.思路分析以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.解答过程(1)记12,ABACeeABAC,则12()AGee.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.(3)sinsin,ABBACC记sinsinABBACCh,则()()AGABACh.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由()(0)coscosABACMGMAABBACC,得()(0)coscosABACAGABBACC,(关键点)()(0)coscosABACAG BCBCABBACC 于是()(0)coscos)()0AB BCAC BCAG BCABBACCBCBBCBBCBC（cos(-cos）=.从而AGBC,点G是高线上的点,故应填垂心.点评以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.总结：（1）0OCOBOAO是ABC的重心.（2）OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O 是ABC 的内心 OOCcOBbOAa0为ABC的内心.（4）OCOBOAO为ABC的外心。或者 若P点为ABC内任意一点，若P点满足:1(),0()0ABACAPABACPABCBABCBPttBABC为的内心，;2.DE、两点分别是ABC的边BCCA、上的中点,且 DP PBDP PCPABCEP PCEP PA为的外心;3.1(),31()3APABACPABCBPBABC为的重心，;4.00AP BCPABCBP AC为的垂心.结合运用：例 1：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 分析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的中点.ADACAB2 ADOAOP2 APOAOP ADAP2 APADPABCC 例 2：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（B ）A外心 B内心 C重心 D垂心 分析：ACACABAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，ACACABAB平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例 3：O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的（）ABCDEA外心 B内心 C重心 D垂心 分析：如图所示 AD 垂直 BC，BE 垂直 AC，D、E 是垂足.)coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0 点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：1已知ABC三个顶点CBA、及平面内一点P，满足0PCPBPA，若实数满足：APACAB，则的值为（）A2 B23 C3 D6 2 若ABC的外接圆的圆心为 O，半径为 1，0OCOBOA，则OBOA()A21 B0 C1 D21 3点O在ABC内部且满足022OCOBOA，则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是（）A0 B23 C45 D34 4ABC的外接圆的圆心为 O，若OCOBOAOH，则H是ABC的（）A外心 B内心 C重心 D垂心 5O是平面上一定点，CBA、是平面上不共线的三个点，若222OBBCOA 222ABOCCA，则O是ABC的（）ABCDEA外心 B内心 C重心 D垂心 6ABC的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，)(OCOBOAmOH，则实数 m=7已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC 为()A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 8已知ABC三个顶点CBA、，若CABCCBABACABAB2，则ABC为（）A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C
