概率论与数理统计 第二章3.ppt
理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计 在许多实际问题中，我们通过实验或测量获得了随机变量在许多实际问题中，我们通过实验或测量获得了随机变量X的的分布，但有时我们对分布，但有时我们对X的函数的函数g(X)更感兴趣。比如，某厂生产球更感兴趣。比如，某厂生产球形钢珠，它的直径形钢珠，它的直径d是随机变量。因为是随机变量。因为V和和S是随机变量是随机变量d的函数，的函数，因此，体积因此，体积V和表面积和表面积S也是随机变量。也是随机变量。我们想通过我们想通过d的分布得到体积的分布得到体积 或表面积或表面积 的分布。在概率论与数理统计中，经常需要根据随机变量的分布的分布。在概率论与数理统计中，经常需要根据随机变量的分布计算它的函数计算它的函数g(X)的分布。的分布。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计对于离散型随机变量对于离散型随机变量X，设其分布律为，设其分布律为Xx1x2xiPp1p2pi那么，那么，X的函数的函数Y=g(X)也是一个离散型随机变量，由于也是一个离散型随机变量，由于 PY=yi=PY=g(xi)=PX=xi，k=1,2,i,，则有，则有Yy1=g(x1)y2=g(x2)yi=g(xi)Pp1p2pi在这里，当函数在这里，当函数Y=g(X)不是一一对应时，有些不是一一对应时，有些yi=g(xi)可能相等，可能相等，只要把那些相等的合并到一起，同时将其对应的概率相加，即只要把那些相等的合并到一起，同时将其对应的概率相加，即可得可得Y的分布。的分布。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 已知已知X的分布律为的分布律为X 2 1012P求求 Y=X2的分布律。的分布律。解解 由由Y=X2，易得，易得X，Y及其概率的对应表为及其概率的对应表为 X 2 1012Y41014P理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计于是于是Y的分布律的分布律Y014P理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计 例例 设设X的分布律为的分布律为，求，求Y=sinX的分布律。的分布律。解解 因为因为 所以随机变量所以随机变量Y=sinX只有三个取值：只有三个取值：Y=1，0，1。而对应的概率分别是而对应的概率分别是 于是于是Y=sinX的分布律为的分布律为 Y10 1P理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计对于连续型随机变量对于连续型随机变量X，一般可先求其分布函数，再由分布函，一般可先求其分布函数，再由分布函数与密度函数的关系获得密度函数：数与密度函数的关系获得密度函数：首先通过例题来讨论函数首先通过例题来讨论函数Y=g(X)其概率密度的计算方法。其概率密度的计算方法。例例 设设X的概率密度函数为的概率密度函数为 求随机变量求随机变量Y=3X+1的概率密度。的概率密度。解解 分别用分别用FX(x)，FY(y)表示表示X，Y的分布函数，的分布函数，则则将将FY(y)求关于求关于y的导数，可得随机变量的导数，可得随机变量Y=3X+1的概率密度：的概率密度：理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 设设X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)，求随机变量，求随机变量Y=X2的概率密度。的概率密度。解解 分别用分别用FX(x)，FY(y)表示表示X，Y的分布函数，由于的分布函数，由于Y=X2 0，故故y0时，时，将将FY(y)求关于求关于y的导数，可得随机变量的导数，可得随机变量Y的概率密度：的概率密度：理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计定理定理 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度fX(x)，x 0(或恒有或恒有g(x)0(或恒有或恒有g(x)0)，而，而取取=ming(a)，g(b)，=maxg(a)，g(b)即可。即可。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 设设，=tan，试求，试求 的概率密度。的概率密度。解解 因为因为 的概率密度为：的概率密度为：=g(x)tan，则，则=h()=arctan，=，=+，因此，因此 的概率密度的概率密度 为为理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计例例 设随机变量设随机变量X N(,2)，证明，证明X的线性函数的线性函数Y=aX+b(a 0)也服从正态分布。也服从正态分布。证明证明 因为因为X的概率密度为的概率密度为，x(，)函数函数 y=g(x)ax+b，则，则 于是于是X的线性函数的线性函数Y=aX+b(a 0)的概率密度为的概率密度为，y(，)于是于是 Y N(a+b,(a)2)，即服从参数为，即服从参数为a+b，(a)2 的正态分的正态分布。布。理学院University of Shanghai for Science and TechnologyCollege of Science 上海理工大学上海理工大学概率论与数理统计作 业P651，2，4，5，7
