工程制图03空间点、直线和平面的投影分析.ppt

1.1第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.1第第3 3章章 空间点、直线和平面的空间点、直线和平面的投影分析投影分析 返回总目录返回总目录返回总目录返回总目录 1.2第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.2 教学提示：空间点、直线和平面是组成一个三维立体的最基本的三个几教学提示：空间点、直线和平面是组成一个三维立体的最基本的三个几何要素。本章将重点介绍点、直线和平面在三投影面体系中的投影及其投影何要素。本章将重点介绍点、直线和平面在三投影面体系中的投影及其投影特性，两两几何要素之间的相对位置关系及其投影特性；本章还将阐述常用特性，两两几何要素之间的相对位置关系及其投影特性；本章还将阐述常用的几种空间几何问题的图解方法及其应用，如用直角三角形法求一般位置直的几种空间几何问题的图解方法及其应用，如用直角三角形法求一般位置直线的实长和对投影面的倾角、一边平行于投影面的直角的投影原理，等等。线的实长和对投影面的倾角、一边平行于投影面的直角的投影原理，等等。主要是学习如何将点、直线和平面等空间几何要素用投影表达，并反过来又主要是学习如何将点、直线和平面等空间几何要素用投影表达，并反过来又如何用其投影来分析和解决空间几何问题。如何用其投影来分析和解决空间几何问题。教学要求：本章是工程制图最为基础的部分，学生必须熟练掌握各种位教学要求：本章是工程制图最为基础的部分，学生必须熟练掌握各种位置点、直线和平面的投影及特性，进一步建立投影法的基本概念和思维方法。置点、直线和平面的投影及特性，进一步建立投影法的基本概念和思维方法。在此基础上，学会应用点、直线和平面的相对位置关系的投影特性，与直角在此基础上，学会应用点、直线和平面的相对位置关系的投影特性，与直角三角形法、直角投影定理配合解决简单的空间几何问题，为立体的投影分析三角形法、直角投影定理配合解决简单的空间几何问题，为立体的投影分析和表达打下基础。和表达打下基础。1.3第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.3 3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 3.3 空间平面的投影分析空间平面的投影分析本章内容本章内容1.4第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.43.1 空间点的投影分析空间点的投影分析 由初等几何可知，空间两点可确定一条直线，空间不在一条直线由初等几何可知，空间两点可确定一条直线，空间不在一条直线上的三个点可确定一个平面。因此，要研究空间基本几何要素及其上的三个点可确定一个平面。因此，要研究空间基本几何要素及其投影关系，首先要建立空间点的投影概念。投影关系，首先要建立空间点的投影概念。1.5第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.53.1.1 点的三面投影及其投影特征点的三面投影及其投影特征点点的的投投影影仍仍为为一一个个点点，且且空空间间点点在在一一个个投投影影面面上上只只有有唯唯一一的的投投影影。但但当当已已知知点点在在一一个个投投影影面面上上的的一一个个投投影影时时，都都不不能确定点在空间的唯一位置。能确定点在空间的唯一位置。将将点点A放放在在三三投投影影面面体体系系中中分分别别向向三三个个投投影影面面V面面、H面面、W面面作作正正投投影影，得得到到点点A的的水水平平投投影影a、正正面面投投影影 、侧侧面面投投影影 。(关关于于空空间间点点及及其其投投影影的的标标记记规规定定为为：空空间间点点用用大大写写字字母母A、B、C表表示示，水水平平投投影影相相应应用用小小写写字字母母a、b、c表表示示，正正面面投投影影相相应应用用小小写写字字母母 、表表示示，侧侧面投影相应用小写字母面投影相应用小写字母 、表示。表示。)将将投投影影面面体体系系展展开开，去去掉掉投投影影面面的的边边框框，保保留留投投影影轴轴，便便得到点得到点A的三面投影图，如图的三面投影图，如图3.1所示。所示。3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.6第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.6由此可以得出点在三投影面体系的投影特性是：由此可以得出点在三投影面体系的投影特性是：(1)点点A的的V面投影和面投影和H面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于OX轴，即轴，即aaOX(长对正长对正)。(2)点点A的的V面投影和面投影和W面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于OZ轴，即轴，即aaOZ(高平齐高平齐)。(3)点点A的的H面投影到面投影到OX轴的距离等于点轴的距离等于点A的的W面投影到面投影到OZ轴的距离，即轴的距离，即aax=aaz(宽相等宽相等)，作图时可以用圆弧或，作图时可以用圆弧或45线来反映该关系。线来反映该关系。在三面体系中引入笛卡儿坐标体系，以在三面体系中引入笛卡儿坐标体系，以H、V、W三个投影面为坐标面，以三个投影面为坐标面，以三根投影轴三根投影轴OX、OY、OZ为坐标轴，点为坐标轴，点O为坐标原点。于是空间点为坐标原点。于是空间点A便可便可用三个坐标值，即点分别到用三个坐标值，即点分别到W、V、H三个投影面的距离三个投影面的距离x、y、z来确定，来确定，由此：由此：点到点到W面的距离面的距离 Aa=aaz=aay=oax=x；点到点到V面的距离面的距离 Aa=aax=aaz=oay=y；点到点到H面的距离面的距离 Aa=aax=aay=oaz=z。3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.7第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.7水水平平投投影影由由X与与Y坐坐标标确确定定(Z=0)；正正面面投投影影由由X与与Z坐坐标标确确定定(Y=0)；侧侧面面投投影影由由Y与与Z坐坐标标确确定定(X=0)。点点的的任任何何两两个个投投影影可可反反映映点点的的三三个个坐坐标标，即即确确定定该该点点的的空空间间位位置置。空空间间点点在在三三面面投投影影体系中有唯一确定的一组投影。体系中有唯一确定的一组投影。(a)(b)(c)图图3.1 点的投影及其投影规律点的投影及其投影规律 3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.8第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.8设设空空间间点点A、B、D分分别别位位于于V、H面面和和OX轴轴上上，如如图图3.2(a)所所示示，则则它它们们的的三三面面投投影影如如图图3.2(b)所所示示。由由此此可可知知，投投影影面面和和投投影影轴轴上上的的点点的坐标和投影有如下特性：的坐标和投影有如下特性：(1)投投影影面面上上的的点点有有一一个个坐坐标标值值为为0；在在该该投投影影面面上上投投影影与与该该点点重重合合，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。(2)投投影影轴轴上上的的点点有有两两个个坐坐标标值值为为0；在在包包含含这这条条轴轴的的两两个个投投影影面面上上的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与原点的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与原点O重合。重合。3.1.2 投影面上的点与投影轴上的点投影面上的点与投影轴上的点3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.9第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.9(a)(b)图图3.2 投影面上的点与投影轴上的点投影面上的点与投影轴上的点3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.10第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.103.1.3 两点的相对位置及重影点的投影分析两点的相对位置及重影点的投影分析 1.空间两点相对位置的投影分析空间两点相对位置的投影分析在在投投影影图图上上判判断断空空间间两两个个点点的的相相对对位位置置，就就是是分分析析两两点点之之间间上上、下下、左左、右、前、后的关系，如图右、前、后的关系，如图3.3(a)所示。所示。由正面投影或侧面投影可判断两点间的上、下关系由正面投影或侧面投影可判断两点间的上、下关系(Z坐标差坐标差)；由正面投影或水平投影可判断两点间的左、右关系由正面投影或水平投影可判断两点间的左、右关系(X坐标差坐标差)；由由水水平平投投影影或或侧侧面面投投影影可可判判断断两两点点间间的的前前、后后关关系系(Y坐坐标标差差)，如如图图3.3(b)所示。所示。3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.11第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.11(a)(b)图图3.3 两点的相对位置两点的相对位置3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.12第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.12 2.重影点的投影分析重影点的投影分析当当空空间间两两点点位位于于对对某某一一投投影影面面的的同同一一条条投投射射线线上上时时，则则此此两两点点在在该该投投影影面面上上的的投投影影重重合合为为一一点点，此此两两点点称称为为对对该该投投影影面面的的重重影影点点。为为区区分分重重影影点点的的可可见见性性，规规定定观观察察方方向向与与投投影影面面的的投投射射方方向向一一致致，即即对对V面面由由前前向向后后，对对H面面由由上上向向下下，对对W面面由由左左向向右右。因因此此，距距观观察察者者近近之之点点的的投投影影为为可可见见，反反之为不可见。之为不可见。从从空空间间几几何何关关系系分分析析，重重影影点点在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中有有两两对对坐坐标标值值分分别别相相等等，其其可可见见性性则则由由它它们们的的另另一一对对不不等等的的坐坐标标值值来来确确定定，坐坐标标值值大大者者为为可可见见，值值小小者者为为不不可可见见。画画投投影影图图时时应应在在不不可可见见点点的的投投影影标标记记两两侧侧注注写写括括号号，如如图图3.4所示。所示。3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.13第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.13 (a)(b)图3.4 重影点投影分析 3.1 空间点的投影分析空间点的投影分析1.14第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.143.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 由几何学知识可知，空间两点可确定一直线。因此要用投影来表达空间由几何学知识可知，空间两点可确定一直线。因此要用投影来表达空间直线，只需作出直线上任意两点的投影，再连接该两点在同一投影面上直线，只需作出直线上任意两点的投影，再连接该两点在同一投影面上的投影即可。的投影即可。1.15第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.153.2.1 3.2.1 直线的表示法直线的表示法如已知两点如已知两点A(xA，yA，zA)和和B(xB，yB，zB)的空间位置，可首先绘出该两的空间位置，可首先绘出该两点的三面投影，如图点的三面投影，如图3.5(a)所示，然后将两点的同面投影相连，即可得直所示，然后将两点的同面投影相连，即可得直线的三面投影，如图线的三面投影，如图3.5(b)所示。由此也可得出结论：在一般情况下，直所示。由此也可得出结论：在一般情况下，直线的投影仍是直线线的投影仍是直线(不变性不变性)。而当直线上两点为某一投影面上的重影点。而当直线上两点为某一投影面上的重影点时，直线即垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点时，直线即垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点(积聚性积聚性)。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.16第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.16(a)(b)图图3.5 直线的投影直线的投影 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.17第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.17直直线线与与投投影影面面的的相相对对位位置置有有3种种：投投影影面面平平行行线线、投投影影面面垂垂直直线线和和一般位置直线。前两种直线又统称为特殊位置直线。一般位置直线。前两种直线又统称为特殊位置直线。直直线线和和它它在在投投影影平平面面上上的的正正投投影影之之间间所所成成的的锐锐角角称称为为此此直直线线对对该该平平面面的的倾倾角角。本本书书约约定定：直直线线与与H、V、W三三投投影影面面所所成成的的角角分分别别用用，表表示示，如如图图3.6(a)所所示示。当当直直线线平平行行于于投投影影面面时时，倾倾角角为为0；垂垂直直于投影面时为于投影面时为90；倾斜于投影面时，则倾角在；倾斜于投影面时，则倾角在0和和90之间。之间。1.一般位置直线一般位置直线一一般般位位置置直直线线对对投投影影面面V、H、W均均为为倾倾斜斜，两两端端点点的的坐坐标标差差都都不不等等于于零零。如如图图3.6(a)所所示示的的直直线线AB，由由此此可可得得一一般般位位置置直直线线的的投投影影特特性。性。3.2.2 直线相对于投影面的位置及其投影特性直线相对于投影面的位置及其投影特性3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.18第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.18 1)一般位置直线的三个投影与其实际长度的关系为：一般位置直线的三个投影与其实际长度的关系为：ab=ABcos；ab=ABcos；ab=ABcos由由于于，均均不不为为0，故故一一般般位位置置直直线的线的3个投影之长均小于其实际长度。个投影之长均小于其实际长度。(2)三三面面投投影影均均倾倾斜斜于于投投影影轴轴，且且它它们们与与投投影影轴轴的的夹夹角角不不反反映映该该直直线线与与投投影面的倾角。影面的倾角。(a)(b)图图3.6 一般位置直线一般位置直线 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.19第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.19 2.投影面平行线投影面平行线在在三三面面体体系系中中，平平行行于于一一个个投投影影面面且且与与其其他他两两投投影影面面倾倾斜斜的的直直线线称称为为投影面平行线。根据该直线平行于哪一个投影面又分为投影面平行线。根据该直线平行于哪一个投影面又分为3种：种：正平线：直线平行于正平线：直线平行于V面面(=0)，对，对H、W面倾斜。面倾斜。水平线：直线平行于水平线：直线平行于H面面(=0)，对，对V、W面倾斜。面倾斜。侧平线：直线平行于侧平线：直线平行于W面面(=0)，对，对H、V面倾斜。面倾斜。投投影影面面平平行行线线的的三三线线投投影影及及投投影影特特性性如如表表3-1所所示示。且且由由表表3-1可可得得出出投投影影平平行行线线的的投投影影特特性性为为：投投影影面面平平行行线线在在所所平平行行的的平平面面上上为为一一条条倾倾斜斜于于轴轴线线的的直直线线并并反反映映实实长长，与与相相应应投投影影轴轴的的夹夹角角反反映映直直线线对对另另外外两两个个投投影影面面的的倾倾角角的的真真实实大大小小；直直线线的的另另外外两两个个投投影影面面的的投投影影平平行行线线平平行于该投影面，并倾斜于相应的投影轴。行于该投影面，并倾斜于相应的投影轴。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.20第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.20表表3-1 投影面平行线的投影及其投影特性投影面平行线的投影及其投影特性 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.21第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.21 3.投影面垂直线投影面垂直线在在三三面面体体系系中中，垂垂直直于于一一个个投投影影面面且且必必平平行行于于另另两两个个投投影影面面的的直直线线称称为为投投影面垂直线。根据该直线垂直于不同的投影面又分为影面垂直线。根据该直线垂直于不同的投影面又分为3种：种：正垂线：直线垂直于正垂线：直线垂直于V面，面，=90，=0。铅垂线：直线垂直于铅垂线：直线垂直于H面，面，=90，=0。侧垂线：直线垂直于侧垂线：直线垂直于W面，面，=90，=0。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.22第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.22投影面平行面的三面投影及投影特性见表投影面平行面的三面投影及投影特性见表3-2。且由表。且由表3-2可得出投影垂直可得出投影垂直线的投影特性为：投影面垂直线在所垂直的平面上积聚为一点，直线的另线的投影特性为：投影面垂直线在所垂直的平面上积聚为一点，直线的另外两个投影分别为垂直于相应的投影轴并反映实长；直线对投影面的倾角外两个投影分别为垂直于相应的投影轴并反映实长；直线对投影面的倾角均为已知，即为均为已知，即为0或或90 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.23第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.233.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 表表3-2 投影面垂直线的投影及其投影特性投影面垂直线的投影及其投影特性 1.24第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.24 由由此此，我我们们可可得得出出这这样样的的结结论论：从从特特殊殊位位置置直直线线的的三三个个投投影影，可可直直接接获获得得直直线线的的实实长长和和对对投投影影面面的的倾倾角角的的真真实实大大小小，而而对对于于一一般位置直线，则要通过一定的图解方法来求解其实长和倾角。般位置直线，则要通过一定的图解方法来求解其实长和倾角。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.25第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.25特特殊殊位位置置直直线线在在三三面面投投影影图图中中可可直直接接显显示示实实长长及及对对投投影影面面的的倾倾角角，有有着着良良好好的的投投影影特特性性。而而一一般般位位置置直直线线的的3个个投投影影均均不不能能直直接接反反映映直直线的实长和对投影面的倾角，必须通过一定的图解方法来求解。线的实长和对投影面的倾角，必须通过一定的图解方法来求解。首先，分析如图首先，分析如图3.7所示的空间直线所示的空间直线AB与其投影之间的几何关系：与其投影之间的几何关系：在在投投射射线线组组成成的的平平面面ABba内内，过过点点A作作AK/ab，交交Bb于于点点K，得得RtABK。其其 中中：直直 角角 边边 AK=ab(水水 平平 投投 影影 的的 长长 度度)，BK=BbKb=ZBZA=Z(A、B两两点点间间的的Z坐坐标标差差)，斜斜边边AB即即为为实实长长，而而AB与与AK的的夹夹角角(即即斜斜边边与与水水平平投投影影的的夹夹角角)为为该该直直线线对对H面面的的倾角倾角。显然，在这个直角三角形的三条边和一个夹角中。显然，在这个直角三角形的三条边和一个夹角中3.2.3 直角三角形法求解一般位置直线的实长和对投影面的倾角直角三角形法求解一般位置直线的实长和对投影面的倾角 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.26第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.26只只要要知知道道其其中中两两个个要要素素，就就可可画画出出该该直直角角三三角角形形，其其他他两两个个要要素素也也就就随随即即获获得得。如如图图3.7(b)所所示示，线线段段AB的的水水平平投投影影ab和和两两端端点点的的Z坐坐标标差差均均为为已已知知，故可画出此直角三角形，问题便获解决。这种方法称为直角三角形法。故可画出此直角三角形，问题便获解决。这种方法称为直角三角形法。直直角角三三角角形形法法中中所所用用的的直直角角三三角角形形是是从从上上述述空空间间几几何何分分析析中中推推理理而而抽抽象象出出来来的的，图图解解时时可可直直接接作作在在投投影影图图中中，也也可可作作在在投投影影图图形形之之外外，如如图图3.7(c)所所示示。在在如如图图3.7(b)所所示示的的作作图图过过程程中中，就就分分别别用用了了两两个个位位置置来来画画直直角角三三角角形形：一一是是画画在在水水平平投投影影中中，直直接接利利用用水水平平投投影影ab为为一一直直角角边边，而而另另一一直直角角边边Ab为为坐坐标标差差Z；二二是是画画在在正正面面投投影影中中，利利用用反反映映Z坐坐标标差差的的正正面面投投影影ba1为为一一直直角角边边，而而另另一一直直角角边边a1B就就等等于于其其水水平平投投影影ab。注注意意两两种种作作法法都都有有同同一一结结果，即斜边为实长，斜边与水平投影的夹角为直线对水平投影面的倾角。果，即斜边为实长，斜边与水平投影的夹角为直线对水平投影面的倾角。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.27第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.27图图3.7 求线段的实长及对投影面的倾角求线段的实长及对投影面的倾角(a)(b)(c)3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.28第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.28同同理理，利利用用线线段段的的正正面面投投影影ab或或侧侧面面投投影影ab，可可与与线线段段AB的的实实长长及及和和角角分分别别组组成成另另外外两两个个直直角角三三角角形形，如如图图3.8所所示示。这这3个个直直角角三三角角形的组成情况如下：形的组成情况如下：(1)两两直直角角边边分分别别为为直直线线的的水水平平投投影影和和Z坐坐标标差差，斜斜边边为为实实长长，水水平平投影和实长的夹角为，如图投影和实长的夹角为，如图3.8(a)所示。所示。(2)两两直直角角边边分分别别为为直直线线的的正正面面投投影影和和Y坐坐标标差差，斜斜边边为为实实长长，正正面面投影和实长的夹角为，如图投影和实长的夹角为，如图3.8(b)所示。所示。(3)两两直直角角边边分分别别为为直直线线的的侧侧面面投投影影和和X坐坐标标差差，斜斜边边为为实实长长，侧侧面面投影和实长夹角为，如图投影和实长夹角为，如图3.8(c)所示。所示。用直角三角形法解题时要注意以下几点：用直角三角形法解题时要注意以下几点：3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.29第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.29 (1)对照图对照图3.8所示的所示的3个直角三角形可知，对于同一段直线，用其中任意个直角三角形可知，对于同一段直线，用其中任意一个直角三角形，都可求得该直线的实长。但对投影面的倾角的问题，则要一个直角三角形，都可求得该直线的实长。但对投影面的倾角的问题，则要用不同的直角三角形来求解。如一定是实长与水平投影的夹角，一定是实长用不同的直角三角形来求解。如一定是实长与水平投影的夹角，一定是实长与正面投影的夹角，而一定则是实长与侧面投影的夹角。与正面投影的夹角，而一定则是实长与侧面投影的夹角。(2)获获得得直直角角三三角角形形的的投投影影体体系系一一般般是是两两投投影影面面体体系系，不不同同的的投投影影体体系系所所对对应应的的直直角角三三角角形形也也不不同同。求求解解的的直直角角三三角角形形从从V/H体体系系中中获获得得，求求解解的的直直角角三角形从三角形从V/H或或V/W体系中获得，求解的直角三角形从体系中获得，求解的直角三角形从V/W体系中获得。体系中获得。(3)从从图图中中得得知知，每每个个直直角角三三角角形形含含有有4个个要要素素，若若知知其其中中任任意意两两个个，则则此此直直角角三三角角形形便便完完全全确确定定，由由此此可可求求出出另另2个个要要素素。凡凡遇遇到到此此4要要素素的的问问题题均均可可用此法来求解。用此法来求解。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.30第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.30(a)(b)(c)图图3.8 直角三角形法中的边和角与投影的关系直角三角形法中的边和角与投影的关系 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.31第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.31 【例【例3.1】已知线段已知线段AB的实长为的实长为60mm，求出，求出AB的水平投影的水平投影ab，如图如图3.9(a)所示。所示。分分析析：要要求求解解直直线线的的水水平平投投影影ab，则则应应利利用用含含有有水水平平投投影影的的那那个个直直角角三三角角形形来来作作图图。而而在在该该直直角角三三角角形形的的3条条边边和和一一个个角角中中，已已知知AB的的Z坐坐标标差差(从从正正面面投投影影而而知知)和和实实长长两两个个要要素素，因因此此AB的的水水平平投投影影ab由由此可求此可求(可得两解可得两解)。作图步骤：作图步骤：(1)过过b 作作aa的的垂垂线线bB0，以以a 为为圆圆心心60mm为为半半径径画画弧弧与与bB0交交于于B0，则得出水平投影，则得出水平投影ab的长度，如图的长度，如图3.9(b)所示。所示。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.32第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.32(a)(b)图图3.9 作作AB的水平投影的水平投影 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.33第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.33 (2)过过b 作投影连线作投影连线bb垂直于垂直于OX轴。轴。(3)以以a为圆心、为圆心、ab为半径画弧交为半径画弧交bb于于b。(4)连连 ab即为所求即为所求(两解两解)。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.34第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.34空空间间点点与与直直线线的的相相对对位位置置有有两两种种情情况况：点点在在直直线线上上、点点不不在在直直线上。线上。根根据据平平行行投投影影法法中中从从属属性性和和等等比比性性的的基基本本性性质质可可知知：点点在在直直线线上上，其其投投影影必必在在该该直直线线的的同同面面投投影影上上；且且点点分分线线段段之之比比，其其投投影后保持不变。影后保持不变。如如图图3.10所所示示，已已知知点点C在在AB上上，则则点点C的的3个个投投影影必必在在AB相相应应的的同同面面投投影影上上，且且有有：AC CB=ac cb=a c cb=ac cb。而而如如图图3.10(b)所所示示点点D的的水水平平投投影影虽虽然然在在直直线线AB的的水水平平投投影影上上，但但其其正正面面投投影影和和侧侧面面投投影影都都不不在在直直线线AB的的同同面投影上，故点面投影上，故点D不在直线不在直线AB上，如图上，如图3.10(a)所示。所示。3.2.4 点与直线的相对位置点与直线的相对位置3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.35第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.35(a)(b)图图3.10 点与直线的相对位置点与直线的相对位置 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.36第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.36根根据据上上述述性性质质即即可可判判别别点点是是否否在在直直线线上上以以及及解解决决在在直直线线上上取取点点的的作图问题。作图问题。要要从从投投影影上上判判断断点点是是否否在在直直线线上上，对对于于一一般般位位置置直直线线而而言言，只只需需从从其其中中两两组组投投影影就就可可加加以以判判断断。如如在在图图3.10中中，点点C的的两两个个投投影影在在AB的的同同面面投投影影上上，点点D只只有有一一个个投投影影在在直直线线AB的的同同面面投投影影上上。因此点因此点C在直线在直线AB上，点上，点D不在直线不在直线AB上。上。而而对对于于特特殊殊位位置置直直线线而而言言，则则必必须须从从其其三三组组投投影影或或利利用用点点分分线线段段之之等等比比性性来来进进行行判判断断。如如图图3.11(a)所所示示，因因为为所所给给直直线线AB及及点点D位位于于平平行行于于侧侧面面的的同同一一平平面面内内，不不管管点点D是是否否在在AB上上，都都有有dab，dab 的的关关系系。为为此此，必必须须根根据据第第3投投影影或或利利用用点点分分线线段段之之等等比比性性质质来来判判别别。图图3.11(b)、图图3.11(c)列列出出了了这这两两种种判判别别方方法。由作图可知，点法。由作图可知，点D不在不在AB上。上。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.37第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.37(a)(b)(c)图图3.11 点与直线相对位置的判别点与直线相对位置的判别 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.38第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.38空空间间两两直直线线的的相相对对位位置置有有3种种情情况况，即即平平行行、相相交交和和交交叉叉(即即异异面面直线直线)1.平行两直线平行两直线空空间间两两直直线线平平行行，则则其其3组组同同面面投投影影必必平平行行。反反之之，若若有有两两直直线线的的三三组组同同面面投投影影都都平平行行，则则该该两两直直线线在在空空间间相相互互平平行行。如如图图3.12所所示示，已已知知空空间间两两直直线线ABEF。过过AB、EF上上的的各各点点向向投投影影面面作作投投射射线线，所所形形成成的的两两个个平平行行平平面面与与投投影影面面的的交交线线也也相相互互平平行行。即即abef，abef，abef。其其投投影影图图如如图图3.12(b)所所示示。从从而而不不难难得得出出AB/EF=ab/ef=ab/ef=ab/ef。由由此此可可得得其其同同面面投投影影必平行，且两平行线段长度之比等于其投影长度之比。必平行，且两平行线段长度之比等于其投影长度之比。3.2.5 两直线的相对位置两直线的相对位置3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.39第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.39(a)(b)图图3.12 平行两直线平行两直线3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.40第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.40表表2-6(要判别两条一般位置直线是否平行，只需看它们要判别两条一般位置直线是否平行，只需看它们的任意两面投影即可。但对于特殊位置直线而言，则必的任意两面投影即可。但对于特殊位置直线而言，则必须同时检查它们的须同时检查它们的3组同面投影。组同面投影。如图如图3.13所示的两直线所示的两直线AB和和CD均为侧平线，虽然它们均为侧平线，虽然它们的的H、V面投影：面投影：abcd，abcd，但，但ab cdab cd，其侧面投影，其侧面投影ab不平行于不平行于cd，故直，故直线线AB不平行于不平行于CD。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.41第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.41图图3.13 两直线是否平行的判断两直线是否平行的判断3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.42第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.422.相交两直线相交两直线空空间间两两直直线线相相交交，其其各各组组同同面面投投影影必必相相交交，且且交交点点的的投投影影符符合合点点的的投投影影规规律律。反反之之亦亦然然。如如图图3.14(a)所所示示，空空间间两两直直线线AB与与CD相相交交于于点点K，则则交交点点K为为两两条条直直线线所所共共有有，根根据据从从属属性性不不变变的的性性质质，两两直直线线的的同同面面投投影影必必定定相相交交，且且交交点点符符合合点点的的投投影影规规律律，即即kkOX(kkOZ)，如如图图3.14(b)所所示示。因因此此，对对于于一一对对一一般般位位置置直直线线，要要判判别别它它们们是是否否相相交交，只只需需检检查查任任意意两两面面投投影影的的交交点点的的投投影影连连线线是是否否垂垂直直于于投投影影轴轴即即可可。否否则则，要要同同时时从从3组组同同面面投投影影、或或者者从从交交点点的的从从属属性性及及交交点点分分割割线线段段的的等等比性来判断。比性来判断。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.43第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.43(a)(b)图图3.14 相交两直线相交两直线 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.44第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.44如图如图3.15(a)所示的两直线所示的两直线AB和和EF，虽然其两面投影均相交，虽然其两面投影均相交，其实在空间并不相交。因为从图其实在空间并不相交。因为从图3.15(b)的判别可看出：的判别可看出：ek kfek kf，所以点，所以点K不在不在EF上，即两直线不相交。同样，还上，即两直线不相交。同样，还可通过作出其侧面投影来判断。可通过作出其侧面投影来判断。(a)(b)图图3.15 两直线是否相交的判断两直线是否相交的判断 3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.45第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.453.交叉两直线交叉两直线在在空空间间既既不不平平行行又又不不相相交交的的两两直直线线称称为为交交叉叉两两直直线线。如如图图3.13和和图图3.15所所示示的的两两直直线线均均为为交交叉叉两两直直线线。交交叉叉两两直直线线的的3组组同同面面投投影影不不一一定定都都相相交交，即即使使都都相相交交，其其交交点点也也不不符符合合点点的的投投影影规规律律。我我们们在在交交叉叉两两直直线线的的同同面面投投影影上上看看到到的的交交点点，实实际际上上是是分分别别在在两两直直线线上上的的两两点点在在该该投投影影面面上上的的重重影影点点。利利用用重重影点的投影特性，可判断两直线的相对位置。影点的投影特性，可判断两直线的相对位置。如如图图3.16所所示示，交交叉叉两两直直线线AB，CD上上分分别别有有两两个个点点、(点点AB，点点CD)，它它们们在在H面面的的重重影影点点为为(3)4，由由3.16(b)中中的的投投影影可可知知Z Z，故故点点在在点点的的正正上上方方，点点的的水水平平投投影影3为为不不可可见见，用用(3)表表示示。同同理理，在在V面上另一对重影点面上另一对重影点I、II中，点中，点II的正面投影的正面投影2 不可见，用不可见，用(2)表示。表示。3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.46第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.46(a)(b)图图3.16 交叉两直线的重影点交叉两直线的重影点3.2 3.2 空间直线的投影分析空间直线的投影分析 1.47第第3章章 空间点、直线和平面的投影分析空间点、直线和平面的投影分析 1.47【例例3.2】试试判判别别已已知知直直线线AB，CD，AE两两两两之之间间的的相相对对位置，如图位置，如图3.17(a)所示。所示。分分析析：从从图图中中直直接接观观察察可可得得出出：AB与与AE相相交交，因因为为它它们们有有公公共共点点A。对对于于AB与与CD两两直直线线，由由于于它它们们均均为为侧侧平平线线，虽虽然然其其正正面面投投影影和和水水平平投投影影均均分分别别平平行行，但但不不能能凭凭观观察察直直接接定定出出。判判别别方方法法有