平面问题的有限元分析及三角形单元的应用.ppt

第十一讲 平面问题的有限元分析及三角形单元的应用 有限元法及程序设计有限元法及程序设计第一节第一节 概述概述第二节第二节 单元分析单元分析第三节第三节 等效结点荷载等效结点荷载第四节第四节 整体刚度矩阵整体刚度矩阵第五节第五节 平面问题分析举例平面问题分析举例第六节第六节 单元网格的划分和计算成果的整理单元网格的划分和计算成果的整理下面给出作用于单元边界上荷载的两种简单情况。如图8-6所示的边界ij上沿x方向作用一集中力 ，其作用点距i，j两点的距离分别为 和 。其等效结点和在列阵为 （8-41）如图8-7所示单元的边界ij上受到沿x方向作用的按三角形分布的荷载，在i点的荷载集度为q,则其等效结点荷载列阵为 （8-42）如上述两种荷载为任意方向，可分别按其在x方向和y方向的分量进行计算。如单元上同时作用有集中力，分布体力和分布面力，则结点荷载应为三部分荷载之和，即：（8-43）用集成刚度法将e单元的单元贡献矩阵表示如下,（8-45）下举例说明用单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵的方法。图8-8表示一弹性体划分为三个单元，并对结点进行局部编号，整体编号为1，2，3，4，55单元结点局部编号为I,j,m按逆时针方向排序。整体刚度矩阵为10阶方阵。首先将单元e的刚度矩阵 扩大为10阶方阵，成为单位贡献矩阵。单元局部编号应与其所在位置的整体编号相对应。以单元3为例，其结点局部编号I,j,m与整体编号2，4，5对应，形成单元3的贡献矩阵。整体号 1 2 3 4 5 i j m 局部号 然后将各个单元贡献矩阵叠加起来，形成整体刚度矩阵。在实际编程中，为节省容量，将各个单元刚度矩阵 中的子矩阵 逐个搬到整体刚度矩阵对应的位置上去，建立整体矩阵如下：整体号1 2 3 4 5 需要指出说明的是，离散弹性体的整体的结点荷载列阵R也是由各单元的结点荷载加以集成得出的。在形成整体刚度矩阵之后，利用式（8-44）还不能直接求解结点位移，尚需引入唯一边界条件，以保证结构具有确定的位移状态，求解未知的结点位移。第五节第五节 平面问题举例平面问题举例对 称对称