理学第节高阶微分方程.pptx
1一阶微分方程解解例例2 2第1页/共40页2第2页/共40页3解解例例3 3第3页/共40页4解解例例3 3第4页/共40页5解解例例4 4这是原方程的一个解这是原方程的一个解(非通解非通解).).第5页/共40页6解解例例4 4第6页/共40页7四、二阶四、二阶常系数常系数线性微分方程线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的标准形式的标准形式其中其中a,b是常数是常数.(1)(2)称为称为二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性微分方程线性微分方程.第7页/共40页8二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质回顾回顾一阶齐次线性一阶齐次线性方程方程A.A.方程方程(1)(1)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(1)(1)的解；的解；B.B.方程方程(1)(1)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解的解.第8页/共40页9二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质A.A.方程方程(2)的任意两个解的任意两个解的的和仍是和仍是(2)的解；的解；B.B.方程方程(2)的任意一个解的常数倍仍是的任意一个解的常数倍仍是(2)的解的解.也是也是(2)的解的解.(称称线性无关线性无关),),则上式为则上式为(2)的的通解通解.定理定理3 3(2)第9页/共40页101.二阶常系数二阶常系数齐次齐次线性方程的线性方程的解法解法 代数方程代数方程(3)称为微分方程称为微分方程(2)的的特征方程特征方程,它的根称为它的根称为特征根特征根(或或特征值特征值).).(3)(2)第10页/共40页11(3)情形情形1 1 则特征方程则特征方程(3)有两个相异的实根有两个相异的实根 第11页/共40页12情形情形2 2 需要求另一个特解需要求另一个特解则特征方程则特征方程(3)有两个相等的实根有两个相等的实根 于是于是(2)的通解为的通解为 第12页/共40页13情形情形3 3 则特征方程则特征方程(3)有一对共轭复根有一对共轭复根 第13页/共40页14小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 实根实根实根实根复根复根第14页/共40页15解解特征方程为故所求通解为故所求通解为例例5 5例例6 6解解特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为特征根为特征根为第15页/共40页16解解特征方程为故通解为故通解为例例7 7特征根为特征根为第16页/共40页17对应齐次方程对应齐次方程2.二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(2)A.A.方程方程(1)的任意一个解加上方程的任意一个解加上方程(2)的任意一个的任意一个解解 是是(1)的解；的解；B.B.方程方程(1)的任意两个解之差是的任意两个解之差是(2)的解的解 .定理定理4 4那么方程那么方程(1)的通解为的通解为第17页/共40页18对应齐次方程对应齐次方程2.二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(2)定理定理4 4那么方程那么方程(1)的通解为的通解为问题归结为求方程问题归结为求方程(1)的一个特解的一个特解.只讨论只讨论 f(x)的两种类型的两种类型.用用待定系数法待定系数法求解求解.第18页/共40页19则则第19页/共40页20情形情形1 1 若若 r 不是特征根不是特征根,即即情形情形2 2 若若 r 是特征方程的单根是特征方程的单根,即即第20页/共40页21情形情形3 3 若若 r 是特征方程的是特征方程的二重二重根根,即即第21页/共40页22综上讨论综上讨论设特解为设特解为其中其中第22页/共40页23解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例8 8代入原方程代入原方程,得得 第23页/共40页24解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程，代入方程，原方程通解为原方程通解为例例9 9得得第24页/共40页25解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例1010代入方程代入方程,得得第25页/共40页26注意：注意：现即现即即得即得这样比代入原方程要简便得多这样比代入原方程要简便得多.解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例1010第26页/共40页27解解例例1111对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根第27页/共40页28此时原方程的通解为此时原方程的通解为 第28页/共40页29可以证明可以证明,方程方程(1)具有如下形式的特解具有如下形式的特解:第29页/共40页30解解例例1212所求所求通解为通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得 第30页/共40页31解解例例1313所求所求通解为通解为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得 第31页/共40页32定理定理5(5(非齐次线性方程的叠加原理非齐次线性方程的叠加原理)和和的特解的特解,的一个特解的一个特解.第32页/共40页33例例1 14 4解解代入得代入得第33页/共40页34代入得代入得原方程通解为原方程通解为例例1 14 4解解第34页/共40页35解解是对应齐次方程的通解是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解但没有原方程的特解,故故(B)B)也不对；也不对；例例1 15 5 二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程 第35页/共40页36证证第36页/共40页37解解例例1 16 6求导，求导，原方程改写为原方程改写为再求导，再求导，第37页/共40页38对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入得代入得 第38页/共40页39初始条件初始条件：第39页/共40页40感谢您的观看！第40页/共40页
