材料力学08弯曲变形.pptx
17-1工程实例吊车大梁桥式起重机小车爬坡困难第1页/共44页 2顶针尾架第2页/共44页 3过量摩损轴目录电动机轴（定子）（转子）SHAFT第3页/共44页 4离心泵齿轮泵叶轮叶片泵壳GEAR WHEEL第4页/共44页 51 挠曲近似微分方程一.挠度和转角挠度转角关系：截面形心 x 方向位移极微小,忽略不计(小变形)（连续光滑)弯曲前后，横截面始终垂直于轴线 （导数之几何意义）1转角2 截面绕中性轴转过的 角度.截面形心的竖向位移,挠度挠曲线截面间夹角轴线间夹角顺时为正向下为正.（Approximately differential Equation for Deflection Carve）DeIlection and slope第5页/共44页 6 曲率-曲线 微分关系：略去高阶小量二.挠曲线近似微分方程(考虑全梁各个截面)xo 中性层 曲率半径M(x)0号与坐标取向、有关弯矩符号规定二阶挠曲近似微分方程第6页/共44页 72 积分法求梁位移挠曲线近似微分方程：再积分一次 挠度方程：二阶线性非齐次 逐次积分，降阶积分一次 转角方程：（Determine Displacements by Method of lntegration)第7页/共44页 822 积分法积分法 积分常数由梁支承条件和连续条件确定：（-弹簧变形）裂断支承条件1 连续条件2AAAAA分界点A第8页/共44页 9ABqC 例1 求转角和挠度方程，并求最大转角和 挠度（）dxdwEI=（梁EI已知）1）列挠曲微分方程解3）定积分常数支承条件连续 条件2）积分代入第9页/共44页ABqC4）转角方程和挠度方程5）最大转角和最大挠度 1）各段M(x)按同一侧算；若遵循：各积分 常数 将两两 相等2）积分时均不打开括号 （x a）第10页/共44页 11b*例2 求梁转角方程和挠度方程，并求最大转角和挠度 （EI已知，已知，l=a+b，a b ）解1）求反力（整体平衡）,分段：2）弯矩、微分方程并积分3）定积分常数(1)连续条件支承条件02=)(lwlFb（2）(1)（2）(1)（2）第11页/共44页 124）转角方程和挠度方程代入解出1）各段M(x)按同一侧算；若遵循二规律：可得各积分常数两两 相等2）积分时均不打开括号（x a）B第12页/共44页 135）最大转角和挠度分析 wmax 位置：结论：对简支梁，荷载作用点对 w max 位置影响不大.b=0,b=l/2,其余当在二者之间；且wmax与跨中 w 相比误差不超过3 bx=0.5l.x=0.577l;(令 )不论荷载作用在何处（只要同向），均可认为w max 发生在跨中(用跨中 w 代替)第13页/共44页 14（2I）（I）F（I）L/4L/4L/4L/41）反力2）弯矩、微分方程、积分（分段）对称(荷载、几何尺寸、支承)，（2）3）定积分常数连续条件支承条件求求2 2 积分法积分法 例3 解F/2(1)（2）(1)（2）(1)xx本问题仅算一半即可第14页/共44页 15可解出22积分法求梁变形积分法求梁变形讨 论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？弯曲位移第15页/共44页 163 叠加法求梁位移 若干个载荷共同作用产生的位移（挠度或转角），（变形叠加原理）（变形叠加原理）载荷较多时，积分法计算繁杂叠加法较简便若干个载荷（包括外力偶、分布力）作用时，小变形，材料线弹性 M 与F 成正比（w、）是荷载（F、m、q）的一次（线性）函数线性函数的叠加原理各载荷单独作用产生的位移彼此独立，互不影响（各简单荷载下梁的 w、P 208 表）等于各载荷分别单独作用位移的代数和待定积分常数较多（n段2n个常数）（Determine Displacements by Method of Superposition）第16页/共44页 17梁受力如图，q、l、EI 均已知,求C 截面挠度wC；B截面转角B1）载荷分解2）查表得三种情形下wC、B解qlql/2ABCl/2ql2qqll/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC2l/2ABCl/2wC3wx例1ql2第17页/共44页 183）叠加，将各载荷作用结果求和 qlql/2ABCl/2ql2qqlql2l/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC2l/2ABCl/2wC3wx第18页/共44页F1)B2)ABqC解F=qa悬臂梁受力如图示,q、l、EI均已知.求B B截面转角、挠度 ,梁上载荷分成 1）2）AC变形不受BC影响（自由且无外力）查表1）例例2 BC本身无变形2）分两段分析：但有刚体位移（随C刚体转动）3）叠加 qaaABC（无M/零曲率）,第19页/共44页 例例3 F=qaaDaaBAq解叠加法求 ,先将载荷分成情形 1、2 DBAF1)qDBA2)挑臂对内跨变形无影响1）2）3）叠加 BD位移由两部分组成：+自身变形（形似悬臂）挑臂随内跨作刚体转动第20页/共44页 21DBAq2）讨 论:叠加法求变形有什么优缺点？qaaaa第21页/共44页 22*例例4 qL/2L/2ABCbdb求wc 分布力可看作无数微力的组合.解1）分解2）叠加Cbqdbx（note：x为位移点的坐标）qdb引起的C截面位移为：qdb该微段qdb看作集中力:距B端为b处取微分长度 db,第22页/共44页 234 弯曲超静定一.概念和基本方法：超静定梁：梁支反力数目有效平衡方程数目多余约束：超静定次数：从维持平衡而言不必要的约束反力数平衡方程数LLqABDL多余约束/反力数 说明：多余约束/力数目是定值,多余约束则可有多种选择BFaaAXAYAMA(Simple Statically Indeterminate Beam)第23页/共44页 24加顶针、中心架、尾架，跟刀架中心架刀座尾架顶尖车床超静定梁实例第24页/共44页 25奉浦大桥 超静定梁实例大跨度预应力 连续梁 桥 第25页/共44页 262）列出位移条件（变形协调条件）求梁内力图，梁抗弯刚度为EIEI。RBF1）选多余约束解除，用相应反力代替判定超静定次数BFaaA3）力位移关系FRB（相当系统）(几何方程)(P 208表2)第26页/共44页 27由整体平衡求其他约束反力 代入几何方程解出未知反力一当RB求出后，以后即为静定问题求解方法回顾(Fa)(无支座B时M 图)选多余约束去除，代以相应反力（相当系统）比较变形，列位移条件（变形协调条件）由力-位移关系解位移方程求解多余未知力123（其它反力可由平衡条件求出）BFaaA第27页/共44页 28（选A端转动约束作多余约束）此时相应静定结构为简支梁,超静定梁超静定梁相应多余未知力为约束力偶（多余未知力）MA本例也可选其它约束为多余约束BFaaA位移条件（变形协调条件）：变形条件应与去除的约束相对应BFaaA第28页/共44页 29LLqABLqABD例1 梁AB 和吊杆 在D处铰接，梁抗弯刚度EI，杆抗拉刚度EA，1）可看杆作多余约束2 2）位移条件：解FFFD(P 209表7、9)wD二.算例：求吊杆受力从D D 处拆开，梁杆分离第29页/共44页 30 例例2 写出下列梁的变形条件两梁彼此互为约束，每一梁除固端外有圆柱约束超静定去除圆柱约束超静定结构成为两悬臂梁。注意：WD1 是否仅为F F 引起？变形条件：DRDFD（主梁）（辅梁）L/2L/2F1.ABDC（二梁始终以圆柱相接，位移相等）第30页/共44页 31变形条件：FF去除连杆约束使原结构变成两个悬臂梁FPDBLL/2L/2P2.DABC两梁都受连杆约束，每一梁除固端外还有连杆约束超静定44超静定梁超静定梁第31页/共44页 32一.刚度条件建筑钢梁的许可挠度：机械传动轴的许可转角：精密机床的许可转角：5 梁刚度条件 提高刚度措施Stiffness Condition of BeamRational Design of Beam for Stiffness第32页/共44页 331）由挠度表中查B 处转角：解2）由刚度条件定轴径：alCBAdF例 已知钢制圆轴左端受力 F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处许可转角 =0.5 根据刚度要求确定轴直d根据要求轴须有足够刚度，保证轴承B 处转角不超过许用数值 第33页/共44页 34二.提高梁刚度的措施1）截面形状合理，提高抗弯刚度截面积一定前提下惯性矩I尽可能大风电 塔筒第34页/共44页 352）受力合理，减小跨度改改变变支支座座形形式式55刚度条件及提高措施刚度条件及提高措施0.6L0.2L0.2Lq1/40LqL/3P/2P/2P=qLL/2L/21/41/61/8第35页/共44页 36大型载重列车大跨度预应力 连续梁 桥 增加支承超静定第36页/共44页 37丝杠进给轴尾架顶尖主轴刀座55刚度条件及提高措施刚度条件及提高措施车床中心架刀座顶尖第37页/共44页 38小结1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3 3、学会用变形比较法解简单超静定问题、学会用变形比较法解简单超静定问题第38页/共44页Thanks!到此处才行一步；望诸君莫废半途。遵道而行，但到半途须努力；会心不远，欲登绝顶莫辞劳。第39页/共44页 40 曲率-曲线 微分关系：略去高阶小量二.挠曲线近似微分方程(考虑全梁各个截面考虑全梁各个截面)弯曲正应力推导得:xo 中性层 曲率半径第40页/共44页 41wx二阶挠曲近似微分方程 上式进行积分，就可求出转角和挠度号与坐标取向、有关 图示坐标系下，弯矩符号与 挠曲线二阶导数符号相反，M(x)011 挠曲近似微分方程挠曲近似微分方程弯矩符号规定第41页/共44页 423 叠加法求梁变形 当梁上载荷较多时，积分法求梁位移分多待定积分常数较多（n段有2n个数）计算繁杂较简便的一种方法叠加法 考虑若干个载荷F1，F2，（广义力含外力偶、分布力）作用共同作用时：分别单独作用时：小变形，材料线弹性时（M与F成正比）弯矩 可叠加：(2)式(2)代入EIwM=式(1)各项相加：MMwwEI+=+LL2121)(1)LL)(xMEIw22=第42页/共44页 43故结论结论：在若干个载荷共同作用时梁的挠度或转角，等于各载荷单独作用时挠度或转角的代数和计算弯曲变形的叠加原理 叠加法求梁变形叠加法求梁变形微分之和和之微分边界条件和挠曲线形状不变第43页/共44页 44感谢您的观看！第44页/共44页
