梯的定义学习.pptx
2.1 2.1 二次型与正定矩阵二次型与正定矩阵二次型与实对称矩阵二次型与实对称矩阵 二次型理论问题起源于二次型理论问题起源于化二次曲面的方程化二次曲面的方程为标准形式的问题为标准形式的问题第1页/共50页1 1、二次型、二次型二次型的定义为第2页/共50页2 2、正定与负定、正定与负定如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量 z z，总有，总有 f f(z)0(z)0，则称二次型，则称二次型 f f(z)(z)正定，等价正定，等价地，也称矩阵地，也称矩阵 H H 正定。正定。如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量 z z，总有，总有 f f(z)0(z)0 0，k k=1,=1,n n，则，则 H H 为正为正定矩阵。定矩阵。如果所有的顺序主子式的行列式的符号正负交替，即对如果所有的顺序主子式的行列式的符号正负交替，即对 k k=1,=1,n n，d dk k 与与 (-(-1)1)k k 的符号相同（或者说的符号相同（或者说 (-1)(-1)k k d dk k 0 0），则），则 H H 为负定矩阵。为负定矩阵。第6页/共50页（2 2）、代数余子式）、代数余子式设行列式中某一元素位于第设行列式中某一元素位于第 i i 行、第行、第 j j 列，若将对应于该元素的子行列式记列，若将对应于该元素的子行列式记为为 A Aij ij，则称，则称 (-1)(-1)i i+j j A Aij ij 为对应于该元素的代数余子式。为对应于该元素的代数余子式。第7页/共50页（3 3）、行列式的计算）、行列式的计算定理：定理：行列式等于它的任意一列（或一行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积行列式等于它的任意一列（或一行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和。之和。第8页/共50页2.2 2.2 方向导数与梯度方向导数与梯度一一 、问题的提出、问题的提出二、方向导数的定义二、方向导数的定义三、三、梯度梯度第9页/共50页例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是是(1,1)(1,1)，(5,1)(5,1)，(1,3)(1,3)，(5,3)(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在在(3,2)(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行烈的方向（即梯度方向）爬行一一 问题的提出问题的提出第10页/共50页0 xy方向导数图示方向导数图示 讨论函数讨论函数 在一点在一点P P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题第11页/共50页 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题第12页/共50页当 沿着 趋于 时，是否存在？第13页/共50页记为第14页/共50页中xOyz.P0Pl沿方向的方向导数.第15页/共50页二、方向导数的定义 设函数在内有定义。若点 沿射线 l 趋于时,极限存在，则称该极限值为函数在点处沿 l 方向的方向导数。记为第16页/共50页或第17页/共50页 利用直线方程可将方向导数的定义表示为:射线射线 l 的方程的方程为为则则故故第18页/共50页 怎么计算方向导数？怎么计算方向导数？第19页/共50页定理定理(方向导数计算公式)若函数在点处可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数存在，且其中,各导数均为在点处的值.第20页/共50页运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：其中，称为梯度第21页/共50页看看三维空间的情形第22页/共50页设,求函数在点沿方向的方向导数。解例例第23页/共50页由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于1：想一想，该例给你什么启示想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。例例第24页/共50页一个问题：在给定点沿什么方向增加得最快？该问题仅在不同时为零才有意义。可微函数三、梯度第25页/共50页由前面的推导，有现在正式给出现在正式给出的定义grad u由此可得出什么结论？由此可得出什么结论？方向导数等于梯度在此方向上的投影第26页/共50页定义定义设则称向量为函数在点处的梯度，记为或第27页/共50页几何意义几何意义等高线等高线梯度与等高线的关系梯度与等高线的关系第28页/共50页等高线的画法第29页/共50页二维情形等高线（等值线）第30页/共50页例 用图解法求解二维最优化问题第31页/共50页梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：第32页/共50页如：在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得所得曲线在xoy面上投影如图梯度为等高线上的法向量等高线第33页/共50页第34页/共50页方向导数计算公式表示为：其中，称为梯度梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系第35页/共50页当当e取为任意取为任意P方向时方向时P的方向是函数在点的方向是函数在点X0的的下降下降方向方向梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系P的方向是函数在点的方向是函数在点X0的的上升上升方向方向由方向导数的计算公式知：由方向导数的计算公式知：第36页/共50页梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系梯度方向是函数值的最速上升方向梯度方向是函数值的最速上升方向函数在与梯度正交的方向上变化率为零；函数在与梯度正交的方向上变化率为零；函数在与梯度成锐角的方向上是上升的；而函数在与梯度成锐角的方向上是上升的；而在与其梯度成钝角的方向上是下降的；在与其梯度成钝角的方向上是下降的；梯度为等高线上的法向量下降方向上升方向第37页/共50页 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系第38页/共50页第39页/共50页设求并求在点处方向导数的最大(小)值。解从而例例1第40页/共50页解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故第41页/共50页解解课堂练习课堂练习第42页/共50页第43页/共50页解解由方向导数的计算公式知故第44页/共50页作业：作业：45：1.2.3.4.5第45页/共50页练练 习习 题题第46页/共50页1 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）三、小结第47页/共50页第48页/共50页练习题答案练习题答案第49页/共50页感谢您的观看。第50页/共50页
