概率论和数理统计课后题7.doc
7习题七1.设总体X服从二项分布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】因此np=所以p的矩估计量 2.设总体X的密度函数f（x,）=X1，X2，Xn为其样本，试求参数的矩法估计.【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估计量为 3.设总体X的密度函数为f（x，），X1，X2，Xn为其样本，求的极大似然估计.（1） f（x，）=（2） f（x，）=【解】（1） 似然函数由知所以的极大似然估计量为.(2) 似然函数,i=1,2,n.由知所以的极大似然估计量为 4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：序号12345678910收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】 由知,即有于是 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5.随机变量X服从0，上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估计和极大似然估计，它们是否为的无偏估计.【解】(1) ,令，则且,所以的矩估计值为且是一个无偏估计.(2) 似然函数,i=1,2,8.显然L=L()(>0)，那么时，L=L()最大,所以的极大似然估计值=0.9.因为E()=E(),所以=不是的无偏计.6.设X1，X2，Xn是取自总体X的样本，E（X）=，D（X）=2， =k,问k为何值时为2的无偏估计.【解】令 i=1,2,n-1,则 于是 那么当,即时,有 7.设X1，X2是从正态总体N（，2）中抽取的样本试证都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.【证明】（1）,所以均是的无偏估计量.(2) 8.某车间生产的螺钉，其直径XN（，2），由过去的经验知道2=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2试求的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6,2=0.06,=1-0.95=0.05,的置信度为0.95的置信区间为.9.总体XN(,2)，2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使的置信概率为1-，且置信区间的长度不大于L？【解】由2已知可知的置信度为1-的置信区间为,于是置信区间长度为,那么由L,得n10.设某种砖头的抗压强度XN（，2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg·cm-2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求的置信概率为0.95的置信区间.（2） 求2的置信概率为0.95的置信区间.【解】 (1) 的置信度为0.95的置信区间(2)的置信度为0.95的置信区间11.设总体Xf(x)=X1,X2,Xn是X的一个样本，求的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)又故所以的矩估计量 (2) 似然函数.取对数所以的极大似然估计量为12.设总体Xf(x)= X1,X2,Xn为总体X的一个样本（1） 求的矩估计量；（2） 求.【解】(1) 令 所以的矩估计量 (2)，又于是,所以13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为f(x,)= 其中(>0)为未知参数，又设x1,x2,xn是总体X的一组样本观察值，求的极大似然估计值.【解】似然函数由那么当所以的极大似然估计量14. 设总体X的概率分布为X0 1 2 3P2 2(1-) 2 1-2其中(0<<)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和极大似然估计值.【解】所以的矩估计值（2） 似然函数解得 .由于 所以的极大似然估计值为 .15.设总体X的分布函数为F（x,）=其中未知参数>1,>0，设X1,X2,Xn为来自总体X的样本（1） 当=1时，求的矩估计量；（2） 当=1时，求的极大似然估计量；（3） 当=2时，求的极大似然估计量. 【解】当=1时，当=2时, (1) 令,于是所以的矩估计量(2) 似然函数所以的极大似然估计量(3) 似然函数显然那么当时, ,所以的极大似然估计量.16.从正态总体XN（3.4，62）中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n至少应取多大？z1.281.6451.962.33j(z)0.90.950.9750.99【解】,则于是则, n35.17. 设总体X的概率密度为f(x，)=其中是未知参数（0<<1）,X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,xn中小于1的个数.求：（1） 的矩估计；（2） 的最大似然估计. 解 (1) 由于 .令，解得，所以参数的矩估计为.(2) 似然函数为，取对数，得两边对求导，得令 得 ，所以的最大似然估计为.10
