《概率论与数理统计》习题及答案 第六章.doc

概率论与数理统计习题及答案第六章 1某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为的泊松分布，从产品中抽一个容量为的样本，求样本的分布. 解 样本的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为 ， 2加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取件零件构成一个容量为的样本，求样本分布。 解 零件的加工时间为总体，则，其概率密度为 于是样本的密度为 3一批产品中有成品个，次品个，总计个。今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当时样本分布为（6.1）式中的情况。 解 总体，即于是样本的分布如下 ， ， 若时，则，所以 以上恰好是（6.1）式中的情况. 4设总体的容量为100的样本观察值如下：15201520252530153025153025353035203530252030202535302520302535251525352525303525352030301530403040152540202520152025254025254035253020352015352525302530253043254322202320251525202530433545304530454535作总体的直方图 解 样本值的最小值为15，最大值为45取，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间分成8个相等的区间。用唱票法数出落在每个区间上的样本值的个数，列表如下：分组区间频数频率14.518.518.522.522.526.526.530.530.534.534.538.538.542.542.546.510162920492100.100.160.290.200.040.090.020.101001.00以组距4为底，以为高作矩形即得的直方图14.522.530.538.546.5 5某射手独立重复地进行20次打靶试验，击中靶子的环数如下：环数10987654频数2309402用表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求的经验分布函数，并画出其图像。 解 设的经验分布函数为则0.10.30.50.75109867451 6设是来自总体的简单随机样本，已知证明当充分大时，随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数. 证 因独立同分布，所以所以独立同分布，由独立同分布下的中心极限定理（列维一林德贝格定理），当充分大时 近似服从标准正态分布，所以当充分大时，近似地有 7设是来自总体的一个样本，服从参数为的指数分布，证明. 证 独立同分布，今先证. 设的分布函数为则 所以的密度为注意到，则的概率密度为可见. 由分布的可加性立即得到 8由附表查下列各值： 解 ， ， . 9证明若，则 证 因，所以可表示为，其中相互独立，且均服从，于是 10已知，求证 证 ，则可表示为，其中且相互独立，于是 . 11设是来自正态总体的简单随机样本，求常数，使得. 解 所以当时 12设是分布的容量为的样本，试求下列统计量的概率分布： （1）； （2） 解 ， ，所以 （1） （2） 13设是来自总体的样本，试求统计量的分布。 解 ，于是 . 14设样本和分别来自相互独立的总体和，已知和是两个实数，求随机变量 的分布 解 ，又所以 而 所以 . 15从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量至少应多大？ 解 即 ，查正态分表得即.故样本容量至少应为35。 16设总体，从总体中抽取一个容量为100的样本，问样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率是多少？ 解 设样本均值为，则 . 17求总体的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 解 设和为两个独立样本的均值，则，于是即 . 18设在总体中抽取一个容量为16的样本，这里均为未知， （1）求； （2）求 解 （1）因为 ，查分布表知 . （2），.·89·