《线性代数、概率统计》期末试卷答案 一.doc
线性代数、概率统计期末试卷答案一、选择题（每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上，每小题3分，共36分）：1在n阶行列式G中，Aij是元素aij的代数余子式，则a1jA1k+ a2jA2k+anjAnk-A-;(A) =G (j=k=1,2,n时) ； (B) =G（j, k =1,2,n ; j¹k，时) ； (C) =0 (j=k=1,2,n时) ； (D) ¹G（j, k=1,2,n ;j¹k时) 。 2若A是n´ n可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵, 则-A-；(A) A*=|A|A-1 ； (B) A-1=|A|A* ； (C) A*=AA-1 ； (D) A-1=AA* 。3若A,B分别是m个含有n个未知数的线性方程的方程组的系数矩阵与增广矩阵，则线性方程组有无穷多组解的充分必要条件是-D-；(A) R(A)=R(B) ； (B) R(A)=R(B)=n ；(C) R(A)=R(B)=m< n ； (D) R(A)=R(B)< n ；4若U是正交矩阵，则在下列中错误的是-C-；(A) U¢是正交矩阵； (B) U-1是正交矩阵； (C) U-1不是正交矩阵； (D) U是可逆矩阵 。5n级方阵A可对角化，则-A-(A) A有n个线性无关的特征向量； (B) A有n个互异特征值；(C) A有n个互异的特征向量； (D) A非退化。6下列二次型中，属于正定二次型的是-C-；(A) ¦1(x,y,z)=x2+y2+2yz+z2 ； (B) ¦2(x,y,z)=x2+y2+2yz-z2 ；(C) ¦3(x,y,z)=x2+y2+2yz+2z2 ； (D) ¦4(x,y,z)=x2+y2+2yz-2z2 ；7. 设A,B为随机事件, 若P(AB)=P(A)+P(B), 且P(A)>P(B)>0, 则-D- ;(A) A,B互不相容; (B) A,B非互不相容; (C) A,B相互独立; (D) A,B相互不独立;8. 已知100件产品中有2件次品, 作5次无放回的抽样检查, 每次从中任意取出1件, 则恰好取到1件次品的概率是-B- ; (A) ; (B) ; (C) ; (D) 9. 设随机变量X的分布列为： 则 -D- ;(A); (B) ; (C) ; (D) ;10. 函数¦(x)=-C-可看作某一随机变量X的概率分布密度函数; (A) 1+x2 ; (B) ; (C) ; (D) ;11. 己知随机变量X服从正态分布N(0,1), (x)为其分布函数，则p(X2<4)=-A- ;(A) 2(2)-1 ; (B) 1-2(2); (C) 2(4)-1; (D)1- 2(4);12. 己知随机变量X服从二项分布B(n, p), 则-D- ;(A) E(2X-1)=2np ; (B) E(2X+1)=4np +1; (C) D(2X-1)=4np(1-p)-1 ; (D) D(2X+1)=4np(1-p) ;二、解答题(每小题8分，共48分)1计算行列试： 解： (4分) (8分) 另解：=(2分) =-60+51-100= -109 (8分)2. 解非齐次线性方程组 . 解： (4分)原方程组可化为 (6分)令x1=c1, x2=c2得（其中c1,c2为任意常数）(8分)3. 求矩阵的特征值和特征向量:解：½lE-A½=(l-1)(l-2)=0, (3分)得A的特征值 l1=1, l2=2 (4分) 对l1=1，解齐次线性方程组 (E-A)X=0, 得对应的特征向量 X=k, (k¹0) (6分)对l1=2，解齐次线性方程组 (2E-A)X=0, 得对应的特征向量 X=k, (k¹0) (8分)4. 在四次独立试验中，事件A至少出现一次的概率为0.5904, 求在四次独立试验中，A出现一次的概率。解：设A k表示“四次独立试验中，事件A出现k次”事件, (k=0,1,2,3,4), P(A)=p, 则0.5904= (4分) p=0.2. (5分)在三次独立试验中，A出现一次的概率： (8分)5. 设随机变量X的概率密度函数:求: (1) 随机变量X的分布函数F(x); (2) ， 解：(1) 随机变量的分布函数: (4分) (2) =2×1.2-0.5×1.22-1-0.5×0.22=0.66. (8分)或 (8分)6. 设随机变量X具有概率分布：P(X=k)=0.2, k=1,2,3,4,5, 试求:：E(X), 及D(X). 解：E(X)=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3 ; (4分)D(X)= E(X-3)2=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.2=2. (8分)或E(X2)= 12×0.2+22×0.2+32×0.2+42×0.2+52×0.2=11 (6分) D(X)=E(X2)-E(X)2=11-32=2 (8分) 三、证明题(每小题8分，共16分)1设为数域P上的n级矩阵，, 证明：是数域P上的n元二次型。其矩阵为。证：设, , 则 是数域P上的n元二次型。(3分) (4分) (6分)又 =，即是对称阵, 二次型的矩阵为。 (8分)2设事件A、B相互独立，证明：也相互独立，证：事件A、B相互独立，则 (2分) (7分)也相互独立， (8分)5
