广东省深圳实验学校高中部2022-2023学年高一上学期第一阶段考数学试题（含答案解析）.docx

深圳实验学校高中部2022-2023学年度第一学期第一阶段考试高一数学时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据补集、交集的定义计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以.故选：B2. 设命题：，则以下描述正确的是（ ）A. 为假命题，是“，”B. 为假命题，“，”C. 为真命题，是“，”D. 为真命题，是“，”【答案】B【解析】【分析】通过取特殊值，使得是有理数，所以为假命题【详解】当时，与，矛盾，所以，所以为假命题而是，故选：B3. 已知，则函数的解析式是（ ）A. B. （且）C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据换元法求解析式即可.【详解】解：由题知且，令，则（且），（且），（且）故选：B4. 若实数满足，则的最小值为A. B. 2C. D. 4【答案】C【解析】【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.考点：基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解5. 函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用配方法可得,则,根据二次函数的对称性即可判断的范围【详解】由题,因为,且对称轴为,所以,因为在区间上的最大值是5,最小值是1,所以故选：B【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题6. 若关于的方程在内有解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分离参数为，转化为求函数的值域【详解】由题意在内有解，时，时，所以故选：A7. 若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得，即求，利用基本不等式，可解得，进而得到，进而可求解.【详解】至少存在一组使得成立，即，又由两个正实数满足，可得， 当且仅当，即时，等号成立，故有，解得，故，所以实数的取值范围是故选：C.8. 关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解.【详解】由得 ，若，则不等式无解若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为，则综上，满足条件的的取值范围是故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 若a，b，则下列命题正确的是（ ）A. 若且，则B. 若，则C. 若且，则D. 【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；对于B，等价于，又，故成立，故B正确；对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；对于D，等价于，成立，故D正确.故选：BCD.10. 下面命题正确的是（ ）A. “”是“”的必要不充分条件B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件D. “”是“”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项.【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确；对于B，若，则，所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确；对于C，若“”，则不一定有“且”，而若“且”，则一定有“”，所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确；对于D，若，则或，则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：ABD.11. 下面结论正确的是（ ）A. 若，则的最大值是B. 函数的最小值是2C. 函数（）的值域是D. ，且，则的最小值是3【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C【详解】时，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，从而的最大值是，A正确；，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；时，因为，所以时，时，时，所以值域是，C正确；，且，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是413，D正确故选：ACD12. 已知，且，则（ ）A. 的取值范围是B. 的取值范围是C. 的最小值是3D. 的最小值是【答案】BD【解析】【分析】根据基本不等式可求得，判断A;将变形为结合基本不等式，判断B；由整理得到结合基本不等式可判断C,D.【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时取等号，即，解得，即，A错误；对于B, 由，,，当且仅当时取等号，得，所以,又，所以，B正确；对于C, 由，得，则 ，当且仅当，即时等号成立,但，所以（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：，,，当且仅当，即时等号成立，D正确，故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知集合A，B，且9(AB)，则a的值为_【答案】5或3【解析】【分析】根据元素与集合关系列方程，再代入验证，即得结果.【详解】因为9(AB)，所以9A，即2a19或a29，解得a5或a±3.当a5时，A，B，AB，9(AB)，符合题意；当a3时，A，a51a2，B中有元素重复，不符合题意，舍去；当a3时，A，B，AB，9(AB)，符合题意，综上所述，a5或a3.故答案为：5或3【点睛】本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 若函数的定义域为，则的值为_【答案】【解析】【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值【详解】由题意的解是，所以，解得，所以故答案为：15. 若关于x的二次方程的两个根分别为，且满足，则m的值为_【答案】【解析】【分析】先求出方程有两根时的范围，再由根与系数关系将用表示，建立关于的方程，求解即可.【详解】关于x的二次方程有两个根，则，又，即，解得或（舍去），的值为.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.16. 已知函数，若且，则取值范围是 _【答案】【解析】【分析】确定函数的单调性，由已知得出的范围，及的关系，把表示为的函数，然后由二次函数性质得结论【详解】时，是增函数，且，时，是增函数，且，如图，且，则，由得（负值舍去），因此，所以时，取得最大值，时，取得最小值，所以的取值范围是故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设集合，集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）由根式、分式性质求定义域得集合A，根据已知及集合并运算求即可；（2）求，根据交集结果，讨论、求参数m的范围.【小问1详解】对于集合A：，得，故；当时，所以.【小问2详解】由或，而，当时，即满足题设；当时，可得；综上，.18. 已知命题 “，”，命题 “，”（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据命题是真命题，参变分离，构造函数求最值，得实数的取值范围；（2）根据命题和中有且仅有一个是假命题，分别求解命题和是真命题和假命题时实数的取值范围，按要求即可得实数的取值范围【小问1详解】解：当命题是真命题，则不等式对满足的一切恒成立由，得设，则在上单调递增，在上单调递减，因此，实数的取值范围是【小问2详解】解：当命题是真命题时，实数的取值范围是，（1）当命题是假命题时，实数的取值范围是（2）当命题假命题时，则命题“，”是真命题由，得，且当时取等号，的最小值是当命题是假命题时，实数的取值范围是（3）当命题是真命题时，实数的取值范围是（4）当命题是真命题且是假命题时，由（1）、（3），得实数的取值范围是；当命题是假命题且是真命题时，由（2）、（4），得实数的取值范围是；综上，实数的取值范围是或19. （1）已知、是实数，求证：（2）已知，且，求证：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】对不等式进行化简，利用完全平方公式、基本不等式证明即可；【详解】证明：（1），当且仅当时，取等号，对任意实数，成立 （2）20. 设函数（1）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（2）若，解关于不等式【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）把不等式整理为关于的不等式，然后利用其在时恒成立可得关于的不等关系从而得结论；（2）不等式化简为，然后分类讨论求解【小问1详解】不等式对于实数时恒成立，即，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；【小问2详解】不等式，即，当时，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，当，即时，或，当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.21. 某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足与成反比例，当年促销费用万元时，年销量是1万件已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完（1）求x关于t的函数；（2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】（1） （2） （3）当促销费投入7万元时，企业年利润最大【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可.（2）利用销售收入减去成本即得利润.（3）利用基本不等式处理该最值问题.【小问1详解】由题意：与成反比例，所以设， 将t0，x1代入，得k2， 所以.【小问2详解】当年生产x(万件)时，年生产成本为：， 当销售x(万件)时，年销售收入为：， 由题意，生产x万件产品正好销完，且年利润年销售收入年生产成本促销费，所以即：.【小问3详解】由（2）有： 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，即.所以当促销费投入7万元时，企业年利润最大22. 对任意实数a，b，定义函数，已知函数，记（1）若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；（2）若，且，求使得等式成立的x的取值范围；（3）在（2）的条件下，求在区间上的最小值【答案】（1）， （2） （3）【解析】【分析】（1）根据条件可得对任意的恒成立，利用根的判别式即可求出取值范围；（2）整理为，表示出，分类讨论即可；（3）由（2）得到，分类讨论求出取值范围进而得最小值.【小问1详解】解：由题意可得，（2）恒成立，即对任意的恒成立，所以，解得，；【小问2详解】解：因为，所以，因为，所以，时，；当时，所以，又因为，所以；当时，所以，因为，所以，所以上式不成立；综上可知，的取值范围是；【小问3详解】由（2）知，且，即，所以当时，所以（1），当时，当时，又，即时，；当时，即时，（6）；综上，由，解得时，；由，解得时，；当，即时，（6）；综上【点睛】本题考查利用二次函数根的判别式求参数取值范围，考查新定义函数的最值，分类思想，属于难题第17页/共17页