第02讲 新定义压轴题（二）(教师版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲 新定义压轴题（二）知识图谱错题回顾顾题回顾新定义压轴题（二）知识精讲一圆与新定义近几年中考最后的新定义压轴题经常与圆有关，并且与动点结合起来考察一次函数与圆的综合，要求学生在理解题意的情况下，定性分析出符合题意的临界位置，并能够结合题目中给的条件进行定量计算，综合性较强难度较大三点剖析一考点：1圆与新定义二重难点：圆与新定义三易错点：动点运动过程中符合题意的临界位置分析错误圆与新定义压轴综合题模精讲题模一：圆与新定义问题例1.1.1在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r（r1），P是圆内与圆心C不重合的点，C的“完美点”的定义如下：若直线CP与C交于点A，B，满足|PAPB|=2，则称点P为C的“完美点”，如图为C及其“完美点”P的示意图（1）当O的半径为2时，在点M（，0），N（0，1），T（，）中，O的“完美点”是_；若O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标；（2）C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围【答案】（1）N，T（，）或（，）（2）12t1+2【解析】（1）点M（，0），设O与x轴的交点为A，B，O的半径为2，取A（2，0），B（2，0），|MAMB|=|（+2）（2）|=42，点M不是O的“完美点”，同理：点N，T是O的“完美点”故答案为N，T；如图1，根据题意，|PAPB|=2，|OP+2（2OP）|=2，OP=1若点P在第一象限内，作PQx轴于点Q，点P在直线上，OP=1，OQ=，PQ=P（，）若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为（，）综上所述，PO的长为1，点P的坐标为（，）或（，）（2）对于C的任意一个“完美点”P都有|PAPB|=2，|CP+2（2CP）|=2CP=1对于任意的点P，满足CP=1，都有|CP+2（2CP）|=2，|PAPB|=2，故此时点P为C的“完美点”因此，C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆设直线与y轴交于点D，如图2，当C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小设切点为E，连接CE，C的圆心在直线y=x+1上，此直线和x轴，y轴的交点C（0，1），F（，0），OF=，OD=1，CEOF，DOFDEC，DE=2t的最小值为12当C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大同理可得t的最大值为1+2综上所述，t的取值范围为12t1+2例1.1.2定义：如图1所示，给定线段及其垂直平分线上一点，若以点为圆心， 为半径的优弧（或半圆弧）上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点为线段的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点为线段的“强三足点”。问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点的坐标为，点在射线 上。在点和中，可以成为线段的“三足点”的是_；若第一象限内存在一点既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点的坐标。在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，假设该圆与轴交点中右侧一个为，圆上一动点从出发，绕点顺时针旋转后停止，设点出发后转过的角度为()，若线段与不存在公共的 “ 三足点 ” ，请直接写出的取值范围【答案】(1) (2) （3） 或  【解析】(1) （2）由题可知：点既为线段的“三足点”的,又是线段 的“强三足点”，则点须满足在和  的垂直平分线上，且如图所示   与轴的夹角为  . 设点的坐标为，点在的垂直平分线上，故， 所以(3)  或 例1.1.3对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A，B，使得，则称P为C的关联点已知点，（1）当O的半径为1时，在点D，E，F中，O的关联点是_；过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使，若直线l上的点是O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围【答案】（1）D；E（2）【解析】该题考察的是圆综合（1）在D，E，F中，O的关联点是D，E 2分当时，过点P向O作两条切线PA，PB（A，B为切点），则 点P为O的关联点，事实上，当时，点P是O的关联点；当时，点P不是O的关联点，且，如图，以O为圆心，OG为半径作圆，设该圆与l的另一个交点为M当点P在线段GM上时，点P是O的关联点；当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时，点P不是O的关联点连结OM，可知GOM为等边三角形3分过点M作轴与点N，可得， 5分（2）设该圆的圆心为C根据可得，若点P是C的关联点，则由题意，点E，F都是C的关联点，6分又（当点C在线段EF上时，等号成立），7分 ， 事实上，当点C是EF中点时，对所有的C，线段EF上的所有点都是C的关联点综上所述，8分例1.1.4在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点，满足，则称为点P关于C的反称点，下图为点P及其关于C的反称点的示意图特别地，当点与圆心C重合时，规定（1）当O的半径为1时：分別判断点，关于O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；点P在直线上，若点P关于O的反称点存在，且点不在x袖上，求点P的横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x袖上，半径为1，直线与x轴、y轴分別交于点A，B.若线段AB存在点P，使得点P关于C的反称点在C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围【答案】（1）不存在；存在，反称点；存在，反称点；点P的横坐标；（2）圆心C的横坐标的取值范围【解析】（1）解：不存在；存在，反称点；存在，反称点，当时，不符合题意当时，不符合题意，（2）解：由题意得：，设C在OA上时，作CHAB于H，则，C点横坐标（当时，C点坐标，H点的反称点在圆的内部）当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，C点横坐标综上所述：圆心C的横坐标的取值范围例1.1.5在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到O的距离SP的定义如下：若点P与圆心O重合，则SP为O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交O于点A，则SP为线段AP的长度图1为点P在O外的情形示意图（1）若点B（1，0），C（1，1），则SB= ；SC= ；SD= ；（2）若直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，求b的取值范围；（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上任意一点若线段PQ上存在一点T，满足T在O内且STSR，直接写出满足条件的线段PQ长度的最大值【答案】（1）0；1；（2）3b3（3）4【解析】（1）点B（1，0），SB=0，C（1，1），SC=1，SD=，故答案为：0；1；（2）设直线y=x+b与分别与x轴、y轴交于F、E，作OGEF于G，FEO=45°，OG=GE，当OG=3时，GE=3，由勾股定理得，OE=3，此时直线的解析式为：y=x+3，直线y=x+b上存在点M，使得SM=2，b的取值范围是3b3；（3）T在O内，ST1，STSR，SR1，线段PQ长度的最大值为1+2+1=4随堂练习随练1.1定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是 ；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为 ；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MHx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）2；（2）d=（3）16+4，存在；1、3或【解析】（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BNx轴于点N，则AN=1，BN=2，在RtABN中，由勾股定理得：AB=（2）如答图2所示，当点B落在A上时，m的取值范围为2m6：当4m6，显然线段BC与线段OA的距离等于A半径，即d=2；当2m4时，作BNx轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OAON=4m，在RtABN中，由勾股定理得：d=（3）依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2××2=16+4，点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4结论：存在m0，n0，点M位于第一象限A（4，0），D（0，2），OA=2OD如答图4所示，相似三角形有三种情形：（I）AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OAOH1=2m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2m），m=1；（II）AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2OA=m2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m2），m=3；（III）AM3H3，此时点B落在A上如图，OH3=m+2，AH3=OH3OA=m2，过点B作BNx轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m4，由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m2=2n （1）在RtABN中，由勾股定理得：22=（m4）2+n2 （2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，m=综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相似，m的取值为：1、3或随练1.2在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P（x+y，xy）（1）如图1，如果O的半径为2，请你判断M（2，0），N（2，1）两个点的变换点与O的位置关系；若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P在O的内，求点P横坐标的取值范围（2）如图2，如果O的半径为1，且P的变换点P在直线y=2x+6上，求点P与O上任意一点距离的最小值【答案】（1）变换点在O上；变换点在O外；P横坐标的取值范围为2x0；2x0（2）1【解析】（1）M（2，0）的变换点M的坐标为（2，2），则OM=2，所以点M（2，0）的变换点在O上；N（2，1）的变换点N的坐标为（3，1），则ON=2，所以点N（2，1）的变换点在O外；设P点坐标为（x，x+2），则P点的变换点为P的坐标为（2x+2，2），则OP=，点P在O的内，2，（2x+2）24，即（x+1）21，1x+11，解得2x0，即点P横坐标的取值范围为2x0；（2）设点P的坐标为（x，2x+6），P（m，n），根据题意得m+n=x，mn=2x+6，3m+n=6，即n=3m+6，P点坐标为（m，3m+6），点P在直线y=3x+6上，设直线y=3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OHAB于H，交O于C，如图2，则A（2，0），B（0，6），AB=2，OHAB=OAOB，OH=，CH=1，即点P与O上任意一点距离的最小值为1随练1.3对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使PMN为正三角形，则称图形G为点P的型线，点P为图形G的型点，PMN为图形G关于点P的型三角形（1）如图1，已知点，以原点O为圆心的O的半径为1在A，B两点中，O的型点是_，画出并回答O关于该型点的型三角形；（画出一个即可）（2）如图2，已知点，点（其中m0）若线段EF为原点O的型线，且线段EF关于原点O的型三角形的面积为，求m的值；（3）若是抛物线的型点，直接写出n的取值范围【答案】（1）A，图形见解析（2）（3）【解析】（1）点A1分画图见图（画出一个即可） 2分AMN（或AJK）. 3分（2）如图，作OLEF于点L. 线段EF为点O的型线， OL即为线段EF关于点O的型三角形的高.线段EF关于点O的型三角形的面积为，. 4分 ， . . .6分（3）.8分随练1.4对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：在线段AB外有一点P，如果在线段AB上存在两点C、D，使得，那么就把点P叫做线段AB的悬垂点（1）已知点，若，在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是_；如果点P（m，n）在直线上，且是线段AO的悬垂点，求的取值范围；（2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围【答案】（1）C，D；且（2）线段的长【解析】（1）线段AO的悬垂点是C，D；以点D为圆心，以1为半径做圆，设与D交于点B，C，与x轴，y轴的交点坐标为， 在RtDBE中，由勾股定理得：且（2）设这条线段的长为a当时，如图1，凡是D外的点不满足条件；当时，如图2，所有的点均满足条件；当时，如图3，所有的点均满足条件；综上所述：图1图2图3随练1.5在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点定义图形W的测度面积：若的最大值为m，的最大值为n，则为图形W的测度面积例如，若图形W是半径为1的O当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，取得最大值，且最大值；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，取得最大值，且最大值则图形W的测度面积（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积_；如图4，当ABx轴时，它的测度面积_；（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为_；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围【答案】（1）1；1（2）2（3）【解析】（1） 1；1分 12分（2） 2 4分（3）不妨设矩形ABCD的边，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时5分当顶点A，C都不在x轴上时，如图7过A作直线AEx轴于点E，过C作直线CFx轴于点F，过D作直线GHx轴，与直线AE，CF分别交于点H和点G，则可得四边形EFGH是矩形当点P，Q分别与点A，C重合时，取得最大值m，且最大值；当点P，Q分别与点B，D重合时，取得最大值n，且最大值图形W的测度面积，又，ABEBCF6分设，则，在RtABE中，由勾股定理得，即，易证ABECDG ，当，即时，测度面积S取得最大值7分，当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为综上所述，测度面积S的取值范围是8分自我总结 课后作业作业1在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P为射线CP上一点，满足CPCP=r2，则称点P为点P关于C的反演点右图为点P及其关于C的反演点P的示意图（1）如图1，当O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于O的反演点M，N，T的坐标；（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点若点O，E关于G的反演点分别为O，E，求EOG的大小；若点P在G上，且BAP=OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于G的反演点为Q，请直接写出线段GQ的长度【答案】（1）N坐标（0，），M坐标（1，0），T坐标（1，1）（2）90°；【解析】（1）ONON=1，ON=2，ON=，反演点N坐标（0，），OMOM=1，OM=1，OM=1反演点M坐标（1，0），T在第一象限的角平分线上，反演点T坐标（1，1）（2）由题意：AB=2，r=，E（0，2），G（2，2），EG=2，EGEG=5，OGOG=5，OG=2，OG=，E（，2），O（），OE=，EG2=EO2+OG2，EOG=90°如图：BAP1=OBC，CAP1+CBP1=CAB+BAP1+CBP1=180°，OBC+CBP1+P1BQ1=180°，CAB=45°，P1BQ1=45°，AP1B=BP1Q1=90°，PBQ1是等腰直角三角形，由AP1BBOC得到：，BQ1=2，Q1（5，0），Q1GGQ1=5，Q1G=，P2AB=BAP1，P1，P2关于直线AB对称，P1（4，1），易知：P2（），直线AP2：Y=7X+11，Q2（），由：Q2GQ2G=5得到：Q2G=作业2 定义：由圆的切线和过切点的弦所组成的角叫做弦切角如图1，已知AB切O于D点，CD是O的弦，则图中BCD与ADC都是弦切角（1）如图2，作出BCD所夹弧CD所对的圆周角M，求证：BCD=M；（2）请用文字语言总结（1）中的结论_；（3）如图3，PB切O于B点，PAB交O于A、B两点，利用（2）中结论，求证：PC2=PAPB【答案】（1）见解析，作图见解析（2）圆的一个弦切角等于它所夹弧所对的圆周角（3）见解析【解析】（1）证明：过D点作直径DE，连接CE，DE是直径，BA切O于D，BCD+CDE=CDE+E=90°，BCD=E，又M=E，BCD=M；（2）结论：圆的一个弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，（3）证明：连接AC、BC，由（2）知PCA=B，又APC=CPB，PACPCB，PA：PC=PC：PB，即PC2=PAPB作业3探究问题：（1）阅读理解：如图（A），在已知ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离；如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有ABCD+BCDA=ACBD此为托勒密定理；（2）知识迁移：请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PC=PA；根据（2）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A、B、C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P，连接PA、PB、PC、PD易知PA+PB+PC=PA+（PB+PC）=PA+_；第三步：请你根据（1）中定义，在图（D）中找出ABC的费马点P，并请指出线段_的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的ABC（其中A、B、C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值【答案】见解析【解析】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等知识难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神（2）知识迁移问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证 问，借用问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解（3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解（2）证明：由托勒密定理可知PBAC+PCAB=PABCABC是等边三角形AB=AC=BC，PB+PC=PA，PD、AD，（3）解：如图，以BC为边长在ABC的外部作等边BCD，连接AD，则知线段AD的长即为ABC的费马距离BCD为等边三角形，BC=4，CBD=60°，BD=BC=4，ABC=30°，ABD=90°，在RtABD中，AB=3，BD=4，AD=5（km），从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度的最小值为5km作业4阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在RtABC中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是O的直径，C是O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在O内存在点E，使AE=AD，CB=CE求证：ACE是奇异三角形；当ACE是直角三角形时，求AOC的度数【答案】（1）真命题（2）a：b：c=1：（3）60°或120°【解析】（1）设等边三角形的一边为a，则a2+a2=2a2，符合奇异三角形”的定义是真命题；（2）C=90°，则a2+b2=c2，RtABC是奇异三角形，且ba，a2+c2=2b2，由得：b=a，c=a，a：b：c=1：；（3）AB是O的直径，ACB=ADB=90°，在RtACB中，AC2+BC2=AB2，在RtADB中，AD2+BD2=AB2，点D是半圆的中点，=，AD=BD，AB2=AD2+BD2=2AD2，AC2+CB2=2AD2，又CB=CE，AE=AD，AC2+CE2=2AE2，ACE是奇异三角形；由可得ACE是奇异三角形，AC2+CE2=2AE2，当ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE=1：或AC：AE：CE=：1，当AC：AE：CE=1：时，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，ACB=90°，ABC=30°，AOC=2ABC=60°；当AC：AE：CE=：1时，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，ACB=90°，ABC=60°，AOC=2ABC=120°AOC的度数为60°或120°作业5对于半径为r的P及一个正方形给出如下定义：若P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称P是该正方形的“等距圆”如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为，顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧（1）当时，在，中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是；若点P在直线上，且P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为，顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方若P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求P在y轴上截得的弦长；将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是yxABCODyxABCODHGFE图1图2【答案】（1）P2，P3P或P（2）或【解析】该题考查的是圆综合（1），； 2分或 4分（2）如下图：P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I点P在线段EI的中垂线上，正方形ABCD的边CD在x轴上；，正方形EFGH的边HE在y轴上， 设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，LIE为等腰直角三角形，轴， LOM为等腰直角三角形，P在直线上，设 过P作于Q，连结PE，P与BC所在直线相切，解得：， 5分P过点E，且E点在y轴上，P在y轴上截得的弦长为或6分如图2，连接DH，作DTHF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点，交HD于，当时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心HF所在的直线为：，DT所在的直线为：，当时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心当时，线段HF上没有一个点能成为它的：“等距圆”的圆心，当时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心8分