第02讲_相似三角形(教师版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第02讲_相似三角形知识图谱错题回顾顾题回顾相似图形知识精讲一相似图形 形状相同的图形是相似图形，相似图形仅是形状相同，大小不一定相同二相似的性质1.相似多边形的对应角相等，对应边的比也相等；反过来，两个多边形对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似；2.相似多边形对边的比成为相似比；3.相似多边形面积比为相似比的平方三点剖析一考点：相似图形的认识二重难点：相似的性质三易错点：1.相似不一定全等，可以包含全等，换言之，全等图形是相似图形相似比为1的特殊情况；2.相似图形也存在对应点、对应边、对应角，在确定对应角时可以通过对应边夹角确定；3.相似图形面积比为相似比的平方题模精讲题模一：相似图形例1.1.1在下面的图形中，相似的一组是（ ）ABCDAA图BB图CC图DD图【答案】C【解析】该题考查的是相似图形的性质图形相似即为形状相同，由观察可得C选项中图形形状一致，故答案为C例1.1.2下列图形一定是相似图形的是（ ）A任意两个菱形B任意两个等边三角形C任意两个等腰三角形D任意两个矩形【答案】B【解析】对应边成比例，对应角相等的图形为相似图形选项A两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；选项B两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；选项C两两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；选项D两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意故选B例1.1.3如图，菱形、矩形与正方形的形状各有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等设菱形相邻两个内角度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是，越小，菱形越接近于正方形若菱形的一个内角为，则菱形的“接近度”等于_；当菱形的“接近度”等于_时，菱形是正方形【答案】；【解析】解：菱形的一个内角为，该菱形另一个内角为，“接近度”等于若此图形为正方形，则所有内角均为，则“接近度”为，即“接近度”为题模二：相似的性质例1.2.1如图，六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是_AE=2KBBC=2HIC六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长DS六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL【答案】B【解析】A、六边形ABCDEF六边形GHIJKL，E=K，故本选项错误；B、六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，BC=2HI，故本选项正确；C、六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；D、六边形ABCDEF六边形GHIJKL，相似比为2：1，S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误故选B例1.2.2若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为_A1：4B1：2C2：1D4：1【答案】B【解析】两个相似多边形面积比为1：4，周长之比为=1：2故选：B例1.2.3已知两个相似多边形的的一组对应边分别是和，它们的周长差，则其中较大多边形的周长是_【答案】【解析】解：一组对应边分别是和，相似比，设两多边形的周长分别是，根据题意，得，解得，较大多边形的周长是例1.2.4如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推若各种开本的矩形都相似，那么等于（）A0.618BCD2【答案】B【解析】本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方矩形ABCD矩形BFEA，AB：BF=AD：AB，ADBF=ABAB，又BF=AD，AD2=AB2，=故选B随堂练习随练1.1下列四组图形中，一定相似的是（）A正方形与矩形B正方形与菱形C菱形与菱形D正五边形与正五边形【答案】D【解析】本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形A正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；C菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意；D正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意故选：D随练1.2利用复印机的缩放功能，将原图中边长为的一个等边三角形放大成边长为的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：两个相似图形面积比为相似比的平方，由题意可知，放缩前后两个等边三角形的相似比为，则面积比应为随练1.3已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）ABCD2【答案】B【解析】沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，四边形ABEF是正方形，AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，四边形EFDC与矩形ABCD相似，=，=，解得x1=，x2=（负值舍去），经检验x1=是原方程的解故选B随练1.4有一张矩形风景画，长为，宽为，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比为原风景画的长宽之比相同，且面积比原风景画的面积大若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为，左、右边衬的宽都为，那么_【答案】【解析】解：根据题意得，解得，整理得，整理得，解得，（舍去），随练1.5如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取ABC和DEF各边中点，连接成正六角星形，如图(2)中阴影部分；取1和各边中点，连接成正六角星形，如图(3)中阴影部分；如此下去，则正六角星形的面积为_图2【答案】【解析】该题考查的是几何找规律问题分别是和各边中点正六角星形正六角星形且相似比为正六角星形的面积为1正六角星形的面积为：同理可得，第二个六角形的面积为：第二个六角形的面积为：第n个六角形的面积为：相似三角形的判定知识精讲知识精讲一相似三角形的判定1.平行定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2.“”：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的边对应成比例，那么这两个三角形相似3.“”：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4.“”：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似5.“”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似二相似三角形的判定与全等三角形的判定比较相似三角形和全等三角形判定条件中相同的是都有“”，“”，“”，不同的是相似还可以通过“”和平行定理判定，而全等是还可以通过“”和“”判定。可见，全等三角形的判定条件中必不可少的是“边”，而相似没有特殊要求只要保证形状相同就可以，这都是因为三角形在有全等那几个判定条件的时候一定可解或者说形状固定。三点剖析一考点：相似三角形的判定二重难点：1.相似三角形的判定条件；2.构造平行证明相似三角形三易错点：1.相似三角形判定条件和全等三角形判定容易混淆；2.对应边和对应角的对应关系题模精讲题模一：由平行得到相似例2.1.1如图，中，则图中相似三角形的对数是（ ）A1对B2对C3对D4对【答案】C【解析】解：，图中相似三角形的对数为3对例2.1.2如图，直线与的四边所在直线分别交于ABCD，则图中相似三角形有（）A4对B5对C6对D7对【答案】C【解析】图中相似的三角形一共有，这六对例2.1.3如图，已知，若， ，求证：【答案】见解析【解析】证明：，即例2.1.4如图，已知中，与相交于，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】解：过点E作交AC于G，则有，题模二：SSS例2.2.1如图，在的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点、点、点也都在格点上，则下列与相似的三角形是（ ）ABCD【答案】C【解析】解：由网格可知：，则，故与相似的三角形是例2.2.2如图，已知与相似，它们的相似比为，则下列图形中，满足上述条件的是（）AA选项BB选项CC选项DD选项【答案】D【解析】通过观察图形中各边边长可知ABCD四个选项中的与的相似比分别为，故选D例2.2.3如图，在正方形网格上有五个三角形，其中与相似（不包括本身）有_个【答案】2【解析】解：的边长为：，上边的三角形边长为：，左边的三角形边长为：，下边的三角形边长为：，右边的三角形边长为：，和对应边成比例的是下边的和右边的三角形，所以两个例2.2.4如图，已知是内一点，分别是 的中点求证： 【答案】见解析【解析】证明：、分别为、的中点，、分别为、的中位线，即，题模三：SAS例2.3.1如图，和相似需具备的条件是（ ）ABCD【答案】C【解析】解：在和中，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：，故选C例2.3.2已知MNP如图所示，则下列四个三角形中与MNP相似的是（）ABCDAA选项BB选项CC选项DD选项【答案】C【解析】MNP是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件第三个图与MNP三角对应相等，所以两个三角形相似故选C例2.3.3如图，已知矩形的边长，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动若以、为顶点的三角形与相似，则运动的时间为_秒【答案】2.4或1.5秒【解析】解：当时，则，即，秒当，则，即，秒题模四：AA例2.4.1如图，在ABC中ACB=90°，CDAB于点D，则图中相似三角形共有（）A1对B2对C3对D4对【答案】C【解析】本题主要考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边对应成比例的两个三角形相似根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形ACB=90°，CDAB，ABCACD，ACDCBD，ABCCBD，所以有三对相似三角形故选C例2.4.2如图，ABC中，点D在AB上，请填上一个你认为适合的条件_，使得ACDABC【答案】2=ACB（答案不唯一）【解析】这是一道考查相似三角形的判定的开放性题，答案不唯一要使ACDABC，已知有一对公共角，则可添加2=ACB或1=B，从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定2=ACB（答案不唯一）例2.4.3如图，已知ABC和ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A1B2C3D4【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质此题利用了“两角法”证得两个三角形相似利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2如图，ABC和ADE均为等边三角形，B=BAC=60°，E=EAD=60°，B=E，BAD=EAF，ABDAEF，AB：BD=AE：EF同理：CDFEAF，CD：CF=AE：EF，AB：BD=CD：CF，即9：3=（9-3）：CF，CF=2故选：B例2.4.4如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合的点为A，则ABG的面积与该矩形面积的比为（）ABCD【答案】C【解析】此题考查了图形的折叠变换，同时考查了相似三角形的判定和性质，综合性较强根据已知条件，易求BD=5根据折叠的性质DA=AD=3，得AB=2根据ABDABG可得面积之间的比值，再进一步求与矩形面积的比矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，BD=5，DA=AD，AB=2BAG=A=90°，ABG=ABD，ABGABD，S ABG：S ABD=()2=，S ABD：S矩形ABCD=1：2，S ABG：S矩形ABCD=1：8故选C例2.4.5（1）如图1，在ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DEBC，AQ交DE于点P，求证：=；（2）如图，ABC中，BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证：MN2=DMEN【答案】见解析【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大（1）证明：在ABQ和ADP中，DPBQ，ADPABQ，=，同理在ACQ和APE中，=，=（2）作AQBC于点QBC边上的高AQ=，DE=DG=GF=EF=BG=CFDE：BC=1：3又DEBC，AD：AB=1：3，AD=，DE=，DE边上的高为，MN：GF=：，MN：=：，MN=故答案为：证明：B+C=90°CEF+C=90°，B=CEF，又BGD=EFC，BGDEFC，=，DGEF=CFBG，又DG=GF=EF，GF2=CFBG，由（1）得=，×=，（）2=，GF2=CFBG，MN2=DMEN题模五：HL例2.5.1和中，依据下列各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明理由（1），；（2），；（3），【答案】见解析【解析】（1）相似，证明：，两角对应相等的三角形相似；（2）相似，证明：，两对应边成比例且夹角相等三角形相似；（3）相似，证明：，又，斜边和直角边对应成比例的直角三角形相似例2.5.2如图，两个锐角三角形和，求证【答案】见解析【解析】证明：分别过点和点作于，于，则有，随堂练习随练2.1如图，点D、E分别为ABC的边AB、AC上的中点，则ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（ ）A1：2B1：3C1：4D1：1【答案】B【解析】D、E分别为ABC的边AB、AC上的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，DE=BC，ADEABC，ADE的面积：ABC的面积=（）2=1：4，ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；随练2.2将一副三角板按如图叠放，ABC是等腰直角三角形，BCD是有一个角为30°的直角三角形，则AOB与DCO的面积之比等于（）ABCD【答案】C【解析】设BC=a，则AB=BC=a，CD=aAB：CD=1：ABCDAOBCODAB：CD=1：AOB与DCO的面积之比为1：3故选C随练2.3如图，在中，的面积是，则的面积为_【答案】【解析】在中，随练2.4如图，ABC中，点D在线段BC上，且ABCDBA，则下列结论一定正确的是（）AAB2=BCBDBAB2=ACBDCABAD=BDBCDABAD=ADCD【答案】A【解析】此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键ABCDBA，=；AB2=BCBD，ABAD=BDAC；故选A随练2.5如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：S1+S2=S3+S4；S2+S4=S1+S3；若S3=2S1，则S4=2S2；若S1=S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_（把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】和 【解析】如右图，过点P分别作PFAD于点F，PEAB于点E，APD以AD为底边，PBC以BC为底边，此时两三角形的高的和为AB，即可得出S1+S3=矩形ABCD面积；同理可得出S2+S4=矩形ABCD面积；S2+S4=S1+S3（故正确）；当点P在矩形的两条对角线的交点时，S1+S2=S3+S4但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立（故不一定正确）；若S3=2S1，只能得出APD与PBC高度之比，S4不一定等于2S2；（故错误）；若S1=S2，×PF×AD=PE×AB，APD与PBA高度之比为：=，DAE=PEA=PFA=90°，四边形AEPF是矩形，此时矩形AEPF与矩形ABCD相似，=，P点在矩形的对角线上（故选项正确）故答案为：和随练2.6如图，已知ABC中，点D在AC上且ABD=C，求证：AB2=ADAC【答案】见解析【解析】此题考查相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似相似三角形的对应边成比例，对应角相等利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得ABDACB，进一步得出=，整理得出答案即可证明：ABD=C，A是公共角，ABDACB，=，AB2=ADAC随练2.7如图，在中，点、分别在和上，与相交于点，若，为的中点，的值为多少？【答案】【解析】解：过作交于，为的中点，在和中，设，则即为，解得，自我总结 课后作业作业1下列说法中正确的是（ ）在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；有一个角对应相等的平行四边形都相似；有一个角对应相等的菱形都相似ABCD【答案】D【解析】虽然对应边成比例，但是对应角不一定相等，所以不一定相似，比如：所有菱形的对应边成比例，但是它们不一定相似；两个矩形有一组邻边对应成比例，就可以得出四条边对应成比例，并且它们的角都是90°，所以这两个矩形相似；有一个角对应相等的平行四边形的对应边不一定成比例，所以不一定相似；有一个角对应相等就可以得出菱形的其他角对应相等，并且菱形的对应边成比例，所以相似作业2两个多边形相似的条件是（ ）A对应角相等B对应边成比例C对应角相等或对应边成比例D对应角相等且对应边成比例【答案】D【解析】解题的关键是牢记相似多边形的定义作业3如图的两个四边形相似，则的度数是（ ）ABCD【答案】A【解析】解：两个四边形相似，四边形的内角和等于，作业4将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见如我们常见的纸就是一个“白银矩形”请根据上述信息可求纸的较长边与较短边的比值为_【答案】【解析】解：设原纸的长边为，宽为依题意可知，可得，则，即作业5如图，在矩形中，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，在连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，按此规律继续下去，则矩形的面积为_【答案】【解析】解：四边形是矩形，按逆时针方向作矩形的相似矩形，矩形的边长和矩形的边长比为，矩形的面积和矩形的面积的比为，矩形的面积，的面积，依此类推，矩形的面积与矩形的面积的比为，矩形的面积，矩形的面积，按此规律第个矩形的面积为：作业6下列说法正确的是（ ）A相似三角形一定全等B不相似的三角形不一定全等C全等三角形不一定是相似三角形D全等三角形一定是相似三角形【答案】D【解析】A相似三角形大小不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；B不相似的三角形一定不全等，不是不一定全等，故本选项错误；C全等三角形一定是相似三角形，故本选项错误；D全等三角形是相似比为1的相似三角形，所以一定是相似三角形，正确作业7如图，DE是ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则SDMN：S四边形ANME等于（）A1：5B1：4C2：5D2：7【答案】A【解析】DE是ABC的中位线，DEBC，DE=BC，若设ABC的面积是1，根据DEBC，得ADEABC，SADE=，连接AM，根据题意，得SADM=SADE=SABC=，DEBC，DM=BC，DN=BN，DN=BD=ADSDNM=SADM=，S四边形ANME=，SDMN：S四边形ANME=：=1：5故选A作业8如图，在ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DEAC，若S BDE：S CDE=1：4，则S BDE：S ACD=（）A1：16B1：18C1：20D1：24【答案】C【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用BDE的面积表示出ABC的面积是解题的关键设BDE的面积为a，表示出CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出DBE和ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出ABC的面积，然后表示出ACD的面积，再求出比值即可S BDE：S CDE=1：4，设BDE的面积为a，则CDE的面积为4a，BDE和CDE的点D到BC的距离相等，=，=，DEAC，DBEABC，S DBE：S ABC=1：25，S ACD=25a-a-4a=20a，S BDE：S ACD=a：20a=1：20故选：C作业9如图，在ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O若ADE的面积为S，则四边形B0GC的面积=_【答案】S 【解析】点D、E分别是边AB、AC的中点，DEBC，DE=BC，ADEABC，=()2=，ADE的面积为S，S ABC=4S，DEBC，ODEOFB，EDG=F，DEG=GCF，=，又EG=CG，DEGFCG（AAS），DE=CF，BF=3DE，DEBC，ODEOFB，=，AD=BD，S BDE=S ADE=S，AE=CE=2EG，S DEG=S ADE=S，=，S ODE=S BDE=S，S OEG=S DEG-S ODE=S，S四边形DBCE=S ABC-S ADE=3S，S四边形OBCG=S四边形DBCE-S BDE-S OEG=3S-S-S=S故答案为：S作业10在锐角ABC中，BAC=60°，BD、CE为高，F是BC的中点，连接DE、EF、FD则以下结论中一定正确的个数有_EF=FD；AD：AB=AE：AC；DEF是等边三角形；BE+CD=BC；当ABC=45°时，BE=DEA2个B3个C4个D5个【答案】C【解析】BD、CE为高，BEC、BDC是直角三角形F是BC的中点，EF=DF=BC故正确；ADB=AEC=90°，A公共，ABDACE，得AD：AB=AE：AC故正确；A=60°，ABC+ACB=120°F是BC的中点，EF=BF，DF=CFABF=BEF，ACB=CDFBFE+CFD=120°，EFD=60°又EF=FD，DEF是等边三角形故正确；若BE+CD=BC，则可在BC上截取BH=BE，则HC=CDA=60°，ABC+ACB=120°又BH=BE，HC=CD，BHE+CHD=120°，EHD=60°所以存在满足条件的点，假设成立，但一般情况不一定成立，故错误；当ABC=45°时，在RtBCE中，BC=BE，在RtABD中，AB=2AD，由B、C、D、E四点共圆可知，ADEABC，=，即=，BE=DE，故正确；故此题选C作业11如图，ABC是一张锐角三角形的硬纸片AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上AD与HG的交点为M（1）求证：=；（2）求这个矩形EFGH的周长【答案】（1）见解析（2）72cm【解析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出AHGABC是解决问题的关键（1）根据矩形性质得出AHG=ABC，再证明AHGABC，即可证出；（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长（1）证明：四边形EFGH为矩形，EFGH，AHG=ABC，又HAG=BAC，AHGABC，=；（2）由（1）=得：设HE=xcm，MD=HE=xcm，AD=30cm，AM=（30-x）cm，HG=2HE，HG=（2x）cm，可得 =，解得，x=12，2x=24所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）答：矩形EFGH的周长为72cm作业12如图1，在ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分EDF；（3）连接CG，如图2，若BDG与DFG相似，求证：BGCG【答案】（1）（b+c）（2）见解析（3）见解析【解析】（1）BDG与四边形ACDG的周长相等，BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG，D是BC的中点，BD=CD，BG=AC+AG，BG+（AC+AG）=AB+AC，BG=（AB+AC）=（b+c）；（2）证明：点D、F分别是BC、AB的中点，DF=AC=b，BF=AB=c，又FG=BG-BF=（b+c）-c=b，DF=FG，FDG=FGD，点D、E分别是BC、AC的中点，DEAB，EDG=FGD，FDG=EDG，即DG平分EDF；（3）证明：BDG与DFG相似，DFGB，BGD=DGF（公共角），B=FDG，由（2）得：FGD=FDG，FGD=B，DG=BD，BD=CD，DG=BD=CD，B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，BGC=90°，即BGCG