2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷.doc

2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）已知集合Ax|x2，Bx|1x5，则（RA）B（）A（2，5）B（2，+）C2，5）D2，+）2（3分）函数y+log2（x+3）的定义域是（）ARB（3，+）C（，3）D（3，0）（0，+）3（3分）已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（）A2B4C8D164（3分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A，B，C，D，5（3分）设，且，则锐角为（）A30°B60°C75°D45°6（3分）函数f（x）2x+3x的零点所在的一个区间（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）7（3分）如图所示，D是ABC的边AB的中点，则向量（）ABCD8（3分）函数yxcosx的部分图象是（）ABCD9（3分）已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）ABCD10（3分）已知函数，则该函数的图象（）A关于直线对称B关于点对称C关于点对称D关于直线对称11（3分）若，则cos+sin的值为（）ABCD12（3分）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则2+与3+2的夹角是（）A30°B60°C120°D150°13（3分）已知函数f（x）若f（2a2）f（a），则实数a的取值范围是（）A（，1）（2，+）B（1，2）C（2，1）D（，2）（1，+）14（3分）已知函数，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数f（x）的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度15（3分）设f（x）若f（x）x+a有且仅有三个解，则实数a的取值范围是（）A1，2B（，2）C1，+）D（，1）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16（3分） 17（3分） 18（3分）幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为 19（3分）函数y的单调递增区间是 20（3分）半径为1的扇形AOB，AOB120°，M，N分别为半径OA，OB的中点，P为弧AB上任意一点，则的取值范围是 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21（8分）已知函数yAsin（x+）（A0，0）的图象过点P（，0），图象中与点P最近的最高点是（，5）（1）求函数解析式；（2）求函数的增区间22（8分）已知函数f（x）loga（其中a1）（）求f（x）的定义域；（）判断f（x）的奇偶性，并给予证明；（）求使f（x）0的x取值范围23（8分）已知向量（sin，2）与（1，cos）互相垂直，其中（0，）（1）求sin和cos的值；（2）若sin（），0，求cos的值24（8分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x（吨）（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费（精确到0.1）25（8分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界已知函数f（x）1+a（）x+（）x（1）当a1，求函数f（x）在（，0）上的值域，并判断函数f（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在0，+）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【解答】解：RAx|x2；（RA）B2，5）故选：C2【解答】解：要使原函数有意义，只需，解得x（3，0）（0，+），所以原函数的定义域为（3，0）（0，+）故选：D3【解答】解：因为扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，所以扇形的半径为：，所以扇形的面积为：4故选：B4【解答】解：对于A，是两个共线向量，故不可作为基底对于B，是两个不共线向量，故可作为基底对于C，是两个共线向量，故不可作为基底对于D，是两个共线向量，故不可作为基底故选：B5【解答】解：由，且，则sincos0，解得tan，又为锐角，所以60°故选：B6【解答】解：函数f（x）2x+3x是增函数，f（1）0，f（0）1+010，可得f（1）f（0）0由零点判定定理可知：函数f（x）2x+3x的零点所在的一个区间（1，0）故选：B7【解答】解：由三角形法则和D是ABC的边AB的中点得，故选：A8【解答】解：函数yxcosx为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，x0，cosx1，则xcosx0，故选：D9【解答】解：两个非零向量，满足，展开得到故选：B10【解答】解：由2x+k，kz 可得 x，故该函数的图象关于点（，0）对称，kz由2x+k+，可得 x，kz，故该函数的图象关于直线 x 对称，kz故选：B11【解答】解：，故选：C12【解答】解：已知，是夹角为60°的两个单位向量，1×1×cos60°，设2+与3+2的夹角为，（0°，180°），|，|，（2+）（3+2）6+26+2，cos，120°，故选：C13【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（，+）上是单调递增函数，在由f（2a2）f（a），得2a2a 即a2+a20，解得2a1故选：C14【解答】解：数，要得到一个偶函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可故选：B15【解答】解：函数f（x），若的图象如图所示，（当x0时，函数的图象呈现周期性变化）由图可知：（1）当a3时，两个图象有且只有一个公共点；（2）当2a3时，两个图象有两个公共点；（3）当a2时，两个图象有三个公共点；即当a2时，f（x）x+a有三个实解故选：B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16【解答】解：1+|1|1+10故答案为：017【解答】解：，所以sin；故答案为：18【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）x，幂函数f（x）的图象过点，4，f（8），故答案为：19【解答】解：根据对数函数的定义可得：函数y的定义域为：（，6）（2，+）令tx2+4x12，则，由对数函数的性质可得：函数在定义域内是减函数，由二次函数的性质可得：tx2+4x12的单调递减区间是（，6），单调递增区间是（2，+），再根据复合函数的单调性是“同增异减”，所以函数的单调递增区间是（，6）故答案为：（，6）20【解答】解：由题意，设POM，则（）（）+2××cos120°1×cos1×cos（120°）+1cos（cos+sin）+1（cos+sin）sin（+30°），因为0°，120°，所以+30°30°，150°，所以sin（+30°），1，所以的取值范围是，故答案为：，三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21【解答】解：（1）由已知点函数yAsin（x+）（A0，0）的图象过点，图象中与点P最近的最高点是A5，即T2y5sin（2x+），将代入得55sin（+）解得+2k，kZ令k0，则y5sin（2x）（2）令+2k2x+2k，kZ则+kx+k，kZ函数的增区间为+k，+k），（kZ）22【解答】解：（）由函数f（x）loga（其中a1），可得 0，即0，即（x+1）（x1）0，解得1x1，故函数的定义域为（1，1）（）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（x）f（x），故函数为奇函数（）由f（x）0 可得1，即 0，2x（x1）0，解得 0x1，故所求的x的取值范围为（0，1）23【解答】解：（1）向量（sin，2）与（1，cos）互相垂直，sin×1+（2）×cos0sin2cossin2+cos21，4cos2+cos21cos2（0，），cos，sin（2）解法一：由sin（）得，sincoscossinsin2cos，sin2+cos25cos22 cos+15cos22 cos0解得cos或cos，0，cos解法二：0，所以cos（）故coscos（）coscos（）+sinsin（）×+×24【解答】解：（1）由题意知：x0，令5x4，得x；令3x4，得x则当时，y（5x+3x）×1.814.4x当时，当时，24x9.6即得（2）由于yf（x）在各段区间上均单增，当x时，yf（）26.4当x时，yf（）26.4当x时，令24x9.626.4，得x1.5所以甲户用水量为5x7.5吨，付费S14×1.8+3.5×317.70元乙户用水量为3x4.5吨，付费S28.7元25【解答】解：（1）当a1时，f（x）1+1（）x+（）x令t（）x，由x0 可得t1，f（x）h（t）t2+t+1+，h（t）在（1，+）上单调递增，故f（t）f（1）3，故不存在常数M0，使|f（x）|M成立，故函数f（x）在（，0）上不是有界函数（2）若函数f（x）在0，+）上是以3为上界的有界函数，则当x0时，|f（x）|3恒成立故有3f（x）3，即31+a（）x+（）x3，即4a2，42xa22x当x0时，42x的最大值为415，22x的最小值为211，故有5a1，即a的范围为5，1第12页（共12页）