2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷.docx

2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）命题：xR，x2x+10的否定是 2（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y28x的焦点坐标为 3（5分）在平面直角坐标系xOy中，三点A（1，0），B（a，3），C（0，2）共线，则实数a的值为 4（5分）在平面直角坐标系xOy中，方程x22-k+y2k-1=1表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是 5（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y40上，O是坐标原点，则OP的最小值为 6（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为 7（5分）函数f（x）exx的单调递增区间为 8（5分）已知直线l，m及平面，l，m，则“lm”是“l”的 条件（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）9（5分）九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”ABCA1B1C1中，ACBC，若“阳马”BA1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABCA1B1C1的体积为 cm310（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点若ABCF，则该椭圆离心率为 11（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中：若m，n，则mn；若m，mn，则n；若m，则m正确命题的序号是 12（5分）已知ykx+b是函数f（x）lnx+x的切线，则2k+b的最小值为 13（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x3）2+（y4）2r2和点A（0，-3），B（0，3），若在圆C上存在点P，使得APB60°，则半径r的取值范围是 14（5分）若函数f（x）（x1）（xa）2a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，ABDC，ADBC4，AB8，DC6以A，B为焦点的双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）过C，D两点（1）求双曲线的方程；（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程16（14分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM=12MC，DN=12NF（1）证明：MN平面BCF；（2）证明：MNDC17（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；（2）已知点P（x1，y1）为直线y2x6上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若PM=2PO，求点P的坐标18（15分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，k2均为正常数）如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上（不含A，B）若物体P到光源A的距离为x（1）试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；（2）当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？19（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，右准线方程为x=433（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内M为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2若直线l经过原点，且k1k2=54，求点A的坐标；若直线l过点（2，1），试探究k1+k2是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由20（16分）已知函数f（x）alnx+b（x1）（x2），其中a，bR（1）当b1时，若f（x）在x2处取得极小值，求a的值；（2）当a1时若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求b的取值范围；若存在实数x01，使得f（x0）0，求b的取值范围2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）命题：xR，x2x+10的否定是xR，x2x+10【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以xR，x2x+10的否定是：xR，x2x+10故答案为：xR，x2x+102（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y28x的焦点坐标为（2，0）【解答】解：抛物线y28x的开口向右，P4，所以抛物线的焦点坐标（2，0）故答案为：（2，0）3（5分）在平面直角坐标系xOy中，三点A（1，0），B（a，3），C（0，2）共线，则实数a的值为-12【解答】解：由题意得：3-0a-1=2-00-1，解得：a=-12，故答案为：-124（5分）在平面直角坐标系xOy中，方程x22-k+y2k-1=1表示的曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（，1）（2，+）【解答】解：若方程x22-k+y2k-1=1表示的曲线为双曲线，则（2k）（k1）0，即（k2）（k1）0，解得k1，或k2，即k（，1）（2，+），故答案为：（，1）（2，+）5（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y40上，O是坐标原点，则OP的最小值为22【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y40上，OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y40的距离：d=|0+0-4|2=22故答案为：226（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程为x2+（y1）25【解答】解：A（2，0），B（2，2），则以线段AB为直径的圆的圆心为C（0，1），半径为r=12|AB|=12×(2+2)2+(2-0)2=5，所求的圆的标准方程为x2+（y1）25故答案为：x2+（y1）257（5分）函数f（x）exx的单调递增区间为（0，+）【解答】解：函数f（x）exx的导数为f（x）ex1，由f（x）0，即ex10，ex1e0，解得x0，故答案为：（0，+）8（5分）已知直线l，m及平面，l，m，则“lm”是“l”的必要不充分条件（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）【解答】解：由“l“则直线l垂直平面中的任意直线，又m，则“lm”，即“lm”是“l”的必要条件，由“lm”，则直线l不一定垂直平面，即“lm”是“l”的不充分条件，即“lm”是“l”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分条件9（5分）九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如：“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”ABCA1B1C1中，ACBC，若“阳马”BA1ACC1的体积为20cm3，则“堑堵”ABCA1B1C1的体积为30cm3【解答】解：如图，连接A1C，根据等底等高，易得：VB-AA1C=VB-A1C1C=VA1-BCC1=VA1-BC1B1，BA1ACC1的体积为20cm3，ABCA1B1C1的体积为30cm3，故答案为：3010（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点若ABCF，则该椭圆离心率为5-12【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右顶点和右焦点，点B，C分别是椭圆的上、下顶点若ABCF，可得：-babc=-1，可得b2aca2c2，可得e2+e10，e（0，1），解得e=5-12故答案为：5-1211（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题中：若m，n，则mn；若m，mn，则n；若m，则m正确命题的序号是【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在中，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故错误；在中，若m，mn，则n或n，故错误；在中，若m，则由面面平行的性质定理得m，故正确故答案为：12（5分）已知ykx+b是函数f（x）lnx+x的切线，则2k+b的最小值为ln2+2【解答】解：根据题意，直线ykx+b与函数f（x）lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），函数f（x）lnx+x，其导数f（x）=1x+1，则f（m）=1m+1，则切线的方程为：y（lnm+m）（1m+1）（xm），变形可得y（1m+1）x+lnm1，又由切线的方程为ykx+b，则k=1m+1，blnm1，则2k+b=2m+2+lnm1lnm+2m+1，设g（m）lnm+2m+1，其导数g（m）=1m-2m2=m-2m2，在区间（0，2）上，g（m）0，则g（m）lnm+2m+1为减函数，在（2，+）上，g（m）0，则g（m）lnm+2m+1为增函数，则g（m）ming（2）ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；故答案为：ln2+213（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x3）2+（y4）2r2和点A（0，-3），B（0，3），若在圆C上存在点P，使得APB60°，则半径r的取值范围是25-2，42+2【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（0，-3），B（0，3），使得APB60°，可知P在以AB为弦的一个圆上，圆的圆心在AB的中垂线上，半径为：12×23sin60°=2，则P的方程为：（x1）2+y222，或：（x+1）2+y222，已知圆C：（x3）2+（y4）2r2，若在圆C上存在点P和，使得APB60°，就是两个圆有公共点，可得：(3-1)2+42r+2，并且r-2(3+1)2+42解得r25-2，42+2故答案为：25-2，42+214（5分）若函数f（x）（x1）（xa）2a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（，1-332）（1+332，+）【解答】解：f（x）（x1）（xa）2a+1，f（x）（xa）（3xa2）令f（x）0，解得xa或x=a+23，f（x）（x1）（xa）2a+1有三个不同的零点，f（x）极大值f（x）极小值0，f（a）f（a+23）0，即（a+1）（a+23-1）（a+23-a）2a+10，整理可得（a1）2（4(a-1)2-2727）0，即4（a1）2270，解得a1-332或a1+332故答案为：（，1-332）（1+332，+）二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等腰梯形ABCD，ABDC，ADBC4，AB8，DC6以A，B为焦点的双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）过C，D两点（1）求双曲线的方程；（2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，ABDC，ADBC4，AB8，DC6，等腰梯形的高为42-12=15，可得A（4，0），B（4，0），C（3，15），D（3，15），则CA=72+15=8，CB=12+15=4，由2aCACB4，即a2，又AB8，即c4，b=c2-a2=23，则双曲线的方程为x24-y212=1；（2）双曲线的离心率e=ca=2；渐近线方程为y±3x16（14分）如图，AC，DF分别为正方形ABCD和正方形CDEF的对角线，M，N分别是线段AC，DF上的点，且AM=12MC，DN=12NF（1）证明：MN平面BCF；（2）证明：MNDC【解答】解（1）证明：取DC的三等分点P，使DP=12PC，AM=12MC，MPAD，MPBC，MP平面FBC，DN=12NF，NPFC，NP平面FBC，平面MNP平面FBC，MN平面FBC；（2）CDCB，CDCF，CD平面FBC，CD平面MNP，CDMN，即MNDC17（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2+2x4y+30（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求切线l的方程；（2）已知点P（x1，y1）为直线y2x6上一点，由点P向圆C引一条切线，切点为M，若PM=2PO，求点P的坐标【解答】解：（1）根据题意，圆C切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切线方程为x+ya（a0），又圆C：（x+1）2+（y2）22，其圆心C（1，2），半径r=2，则有|-1+2-a|1+1=2，解可得：a1或a3，故所求切线方程为x+y+10或x+y30；（2）根据题意，由于PM为切线且M为切点，则PM2PC2MC2，又由PM=2PO，则2PO2PC2MC2，若点P（x1，y1），O（0，0），MCr=2，则（x1+2）2+（y12）222（x12+y12），变形可得：x12+y122x1+4y130，点P（x1，y1）为直线y2x6上一点，则y12x16，联立可得：x12+y12-2x1+4y1-3=0y1=2x1-6，变形可得：5x1218x1+90，解可得x1=35或x13；当x1=35时，y1=-245，此时P的坐标为（35，-245），当x13时，y10，此时P的坐标为（3，0）则P的坐标为（35，-245）或（3，0）18（15分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2（k1，k2均为正常数）如图，强度分别为8，1的两个光源A，B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上（不含A，B）若物体P到光源A的距离为x（1）试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；（2）当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？【解答】解：（1）若物体P到光源A的距离为x，则物体P到光源B的距离为10x，P在线段AB上且不与A，B重合，故0x10，光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，故P点受A光源的照度为：8k1k2x2，P点受B光源的照度为：k1k2(10-x)2，故问题P收到A，B两光源的总照度y=8k1k2x2+k1k2(10-x)2，x（0，10）；（2）f（x）=8k1k2x2+k1k2(10-x)2，x（0，10），f（x）=2k1k2(3x-20)(3x2-60x+400)x3(10-x)3，令f（x）0，解得：x=203，当0x203时，f（x）0，故f（x）在（0，203）递减，当203x10时，f（x）0，故f（x）在（203，10）递增，故当x=203时，f（x）取极小值，且是最小值，故在线段AB上距光源A为203处，物体P受到A，B两光源的总照度最小19（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的离心率为32，右准线方程为x=433（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A在第三象限内M为椭圆C的上顶点，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2若直线l经过原点，且k1k2=54，求点A的坐标；若直线l过点（2，1），试探究k1+k2是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由【解答】解：（1）椭圆的离心率为32，右准线方程为x=433，ca=32a2c=433，解得a=2c=3又b=a2-c2=1，椭圆C的标准方程为x24+y2=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M为椭圆的上顶点，则M（0，1），直线l经过原点，由椭圆对称性可知，B（x1，y1），点A（x1，y1）在椭圆上，x124+y12=1，即y12-1=-x124k1=y1-1x1，k2=y2-1x2=y1+1x1k1k2=y1-1x1y1+1x1=y12-1x12=-14k1-k2=54k1k2=-14，解得k1=1k2=-14或k1=14k2=-1点A在第三象限角，k112，则k11则直线MA的方程为yx+1联立x24+y2=1y=x+1，解得x1=0y1=1或x2=-85y2=-35，A（-85，-35）直线l过点（2，1），设其方程为y+1k（x+2）联立方程组x24+y2=1y=kx+2k-1，消去y可得（4k2+1）x2+8k（2k1）x+16k（k1）0当0时，由韦达定理可知，x1+x2=-8k(2k-1)4k2+1，x1x2=16k(k-1)4k2+1k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=x1y2+x2y1-(x1+x2)x1x2=2k+2(k-1)(x1+x2)x1x2=2k+2(k-1)×-8k(2k-1)16k(k-1)=2k+（12k）120（16分）已知函数f（x）alnx+b（x1）（x2），其中a，bR（1）当b1时，若f（x）在x2处取得极小值，求a的值；（2）当a1时若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求b的取值范围；若存在实数x01，使得f（x0）0，求b的取值范围【解答】解：（1）当b1时，f（x）alnx+（x1）（x2），f（x）=ax+2x3，f（x）在x2处取极小值，故f（2）0，解得：a2，此时，f（x）=(2x+1)(x-2)x，当x（0，2）时，f（x）0，f（x）递减，当x（2，+）时，f（x）0，f（x）递增，故f（x）在x2处取极小值，故a2符合题意；（2）当a1时，f（x）lnx+b（x1）（x2），f（x）=2bx2-3bx+1x，令g（x）2bx23bx+1，f（x）在（1，2）递增，f（x）0在（1，2）恒成立，即g（x）0在（1，2）恒成立，1°当b0时，则g（x）1，满足题意，2°当b0时，g（x）的对称轴是x=341，故g(1)0g(2)0，解得：-12b0或0b1，综上，实数b的范围是-12，1；1°当b0时，f（x）lnx，与题意不符，2°当b0时，取x03-1b，则x01，令h（x）lnxx+1，则h（x）=1x-1，当x（0，1）时，h（x）0，h（x）递增，当x（1，+）时，h（x）0，h（x）递减，故h（x）h（1）0，即lnxx1，故f（x0）lnx0+b（x01）（x02）（x01）+b（x01）（x02）2b10，故b0符合题意；3°当0b1时，g（x）2bx23bx+1在（1，+）递增且g（1）1b0，故f（x）=g(x)x0在（1，+）恒成立，故f（x）在（1，+）递增，故f（x）f（1）0恒成立，与题意不符；4°当b1时，g（1）1b0，g（2）2b+10，由零点存在性原理可知，存在x1（1，2），使得g（x1）0，故当x（1，x1）时，f（x）0，f（x）递减，取x0x11，则f（x0）f（1）0，符合题意，综上，实数b的范围是（，0）（1，+）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/27 12:22:00；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265第16页（共16页）