第03讲_三角形内角和定理(教师版)A4-精品文档整理-精品文档资料.docx

高斯教育学科教师辅导讲义学员姓名：年 级：辅导科目：学科教师：五块石1上课时间授课主题第03讲_三角形内角和定理知识图谱错题回顾顾题回顾三角形的内角和外角知识精讲1. 按角分类 2. 内角和定理三角形三个内角和等于.3. 内角和定理的推论（外角和定理）（1）外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角（2）外角和：每个顶点处取一个外角，再相加，叫三角形的外角和。外角和等于.（3）性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和.三点剖析考点：1. 按角分类；2.内角和定理；3. 内角和定理的推论（外角和定理）重难点：1. 尽管三角形的外角的性质是由内角和定理推理得出，但在日常的计算中经常利用外角可以快速地提升解题速度。2. 在无法直接计算要求的角的度数时，可以通过先设未知数，然后通过列等式解方程的方法来求解.易错点：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，但每个顶点处只算一次，因此三角形共有三个外角题模精讲题模一：按角分类例1.1.1借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A65°B75°C85°D95°【答案】B【解析】此题主要考查了用三角板直接画特殊角，关键掌握用三角板画出的角的规律：都是15°的倍数先分清一副三角尺，各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可，故选：B例1.1.2一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A等腰三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形【答案】D【解析】三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形故选D题模二：内角和定理例1.2.1如图，在ABC中，B=46°，C=54°，AD平分BAC，交BC于D，DEAB，交AC于E，则ADE的大小是（）A45°B54°C40°D50°【答案】C【解析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键根据三角形的内角和定理求出BAC，再根据角平分线的定义求出BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得ADE=BADB=46°，C=54°，BAC=180°-B-C=180°-46°-54°=80°，AD平分BAC，BAD=BAC=×80°=40°，DEAB，ADE=BAD=40°故选：C例1.2.2如图所示，将ABC沿着DE翻折，若1+2=80°，则B=_度【答案】40 【解析】ABC沿着DE翻折，1+2BED=180°，2+2BDE=180°，1+2+2（BED+BDE）=360°，而1+2=80°，B+BED+BDE=180°，80°+2（180°-B）=360°，B=40°故答案为：40°例1.2.3如图，中，的垂直平分线交于，交于，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】设，则的垂直平分线交于，交于，根据三角形的内角和定理，得，即，题模三：内角和定理的推论（外角和定理）例1.3.1如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则_度.【答案】20【解析】该题考查的是角度计算直尺的对边平行，又，例1.3.2如图，ABC中，BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若，则_度【答案】36【解析】该题考查的是三角形内角和的推论设，而AD平分，而，又，在ABD中，即，故答案为：36例1.3.3如图，中，是高，分别是和的平分线，它们相交于点，求，【答案】；【解析】该题考查的是角度的计算AD是高，AE，BF是角平分线，随堂练习随练1.1若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上答案都错【答案】A【解析】该题考查的是三角形内角和设三角形的三角的度数是，则，即三角形是直角三角形，故答案是A随练1.2如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DEAB若B为锐角，BCDF，则B的大小为（）A30°B45°C60°D75°【答案】C【解析】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等首先根据垂直定义可得ADE=90°，再根据FDE=30°，可得ADF=60°，然后根据两直线平行同位角相等可得B的大小DEAB，ADE=90°，FDE=30°，ADF=90°-30°=60°，BCDF，B=ADF=60°，故选：C随练1.3如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，A = 50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，那么DBC的度数为（ ）A10°B15°C20°D30°【答案】B【解析】，与关于对称故答案为B随练1.4在ABC中，°，则_，_【答案】90°；30°【解析】由三角形内角和定理，得因此，解得角度计算模型知识精讲一 “8”字形如图a所示的“”字型，其也存在着一个等式：，由三角形内角和知，又（对顶角相等），二 “A”字型如图b所示的“”字型，我们可称其为“A字型”或“塔形”，其存在一个等式：，由三角形内角和知，°，可知这种类型的应用在求有关角度时可以更加快捷和方便三 燕尾形如图c所示，其也存在着如下等式：，其证明过程如下：连接长到，BDE是ABD的外角，同理，四 角平分线模型1两条内角平分线相交（如图1）结论：2两条外角平分线相交（如图2）结论：3内角平分线与外角平分线相交（如图3）结论：三点剖析考点：1. “8”字形；2. “A”字型；3. 燕尾形；4. 角平分线模型重难点：1. 在题目中给出的复杂图形中能够快速地识别找出相应的模型，并能够利用相应的结论来结题；2. 每个模型结论的证明过程也都要求掌握，解答题中需要先证明后才能使用易错点：在角度推导的过程中计算错误题模精讲题模一：“8”字形例2.1.1如图，求的度数【答案】【解析】例2.1.2如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，则A的度数是_【答案】12° 【解析】解：设A=x，AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，A=AP2P1=AP13P14=x，P2P1P3=P13P14P12=2x，P3P2P4=P12P13P11=3x，P7P6P8=P8P9P7=7x，AP7P8=7x，AP8P7=7x，在AP7P8中，A+AP7P8+AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即A=12°故答案为：12°例2.1.3如图，求的度数【答案】【解析】连接，（对顶角相等）（等量减等量，差相等）（等量代换）（三角形内角和定理）（等量代换）题模二：“A“字形例2.2.1如图，一个顶角为的直角三角形纸片，剪去这个角后得到一个四边形，则的度数是_度ABCFE【答案】270【解析】该题考查的是三角形内角和，题模三：角平分线模型例2.3.1如图，点O是ABC的两条角平分线的交点，若BOC=118°，则A的大小是_°【答案】56 【解析】BOC中，BOC=118°，1+2=180°-118°=62°BO和CO是ABC的角平分线，ABC+ACB=2（1+2）=2×62°=124°，在ABC中，ABC+ACB=124°，A=180°-（ABC+ACB）=180°-124°=56°故答案为：56°例2.3.2如图，ACD是ABC的外角，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，An1BC的平分线与An1CD的平分线交于点An设A=则：（1）_（2）_【答案】（1）（2）【解析】该题考查的是角平分线的性质与找规律（1）是的平分线，是的平分线，又，；（2）同理可得，所以题模四：燕尾形例2.4.1如图，已知，求度数【答案】【解析】法1：如图1，延长交于，求得；法2：如图2，连接；法3：如图3，连接并延长到点本题的一个重要结论：如例题所示图形，我们有结论：该模型我们称为“燕尾模型”随堂练习随练2.1如图，已知，求_ 【答案】【解析】如图，连接EF，则，因此随练2.2如图，在中，、是外角平分线，、是内角平分线，、交于，、交于，试探索与的关系：_【答案】【解析】在和中，同理，随练2.3如图，BD平分CDA，EB平分AEC，则_【答案】【解析】该题考查的是角度计算BD平分，EB平分，设，在BDG中，AEG中，又，即即，随练2.4已知ABC中，ÐABC的n 等分线与ÐACB的n 等分线分别相交于G1, G2, G3, , Gn-1，试猜想：ÐBGn-1C 与ÐA的关系(其中n 是不小于2 的整数) 首先得到：当n = 2时，如图3，ÐBG1C =_，当n = 3时，如图4，ÐBG2C = _，如图5，猜想 ÐBGn-1C =_【答案】，【解析】该题考查找规律图3中，,所以图4中，,所以通过观察发现，随练2.5如图，在三角形中，和的三等分线分别交于、，求的度数【答案】【解析】设的三分之一为，的三分之一为，因为三角形内角和为，所以有：，即，所以随练2.6已知：ABC中，记BAC=，ACB=（1）如图1，若AP平分BAC，BP，CP分别平分ABC的外角CBM和BCN，BDAP于点D，用的代数式表示BPC的度数，用的代数式表示PBD的度数；（2）如图2，若点P为ABC的三条内角平分线的交点，BDAP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论【答案】（1）（2）【解析】该题考察的是角度计算综合（1）如图BP，CP分别平分ABC的外角和，在PBC中，3分AP平分，于点D，在RtPBD中，是PAB的外角，5分（2）若点P为ABC的三条内角平分线的交点，如图26分7分随练2.7如图，求BOC的大小【答案】【解析】连接AO并延长至E，由三角形外角的性质可知：，所以自我总结 课后作业作业1若一个三角形的三个外角的度数之比为，那么这个三角形是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【答案】C【解析】该题考查的是角度计算多边形的外角和是，又三个外角的度数之比为，三个外角的度数分别是，；三个内角的度数分别是，；该三角形是钝角三角形，故选C作业2将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为（）A45°B60°C75°D85°【答案】C【解析】如图2=60°，3=45°，1=180°-2-3=75°故选C作业3如图，已知ABCD，EBA=45°，E+D的度数为（）A30°B60°C90°D45°【答案】D【解析】此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和根据平行线的性质可得CFE=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得E+D=CFEABCD，ABE=CFE，EBA=45°，CFE=45°，E+D=CFE=45°，故选：D作业4如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，ab，1=50°，2=60°，则3的度数为（）A50°B60°C70°D80°【答案】C【解析】BCD中，1=50°，2=60°，4=180°-1-2=180°-50°-60°=70°，5=4=70°，ab，3=5=70°故选：C作业5如图，ABC中，ACB=90°，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处若A=22°，则BDC等于_A44°B60°C67°D77°【答案】C【解析】ABC中，ACB=90°，A=22°，B=90°-A=68°，由折叠的性质可得：CED=B=68°，BDC=EDC，ADE=CED-A=46°，BDC=67°故选C作业6如图，已知ABC中，若沿图中虚线剪去B，则（ ）A130°B230°C270°D310°【答案】B【解析】该题考查的是三角形的角度计算设虚线交AB边于D，交BC边于E则, 故选B作业7已知ABC中，B是A的2倍，C比A大20°，则A等于（）A40°B60°C80°D90°【答案】A【解析】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°设A=x，则B=2x，C=x+20°，再根据三角形内角和定理求出x的值即可设A=x，则B=2x，C=x+20°，则x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即A=40°故选A作业8一副三角板如图放置，若，则的度数为( ) ABCD【答案】C【解析】该题考查的是内角和问题如图，故此题答案C作业9已知的三个内角为，令，则，中锐角的个数至多为（ ）A个B个C个D个【答案】A【解析】实际是问至多有几个顶点所对应的外角是锐角，即至多有几个内角是钝角总结：一个三角形的内角至多有锐角3个，直角1个，钝角1个；至少有个锐角作业10如图，求的大小【答案】的大小为【解析】，作业11如图，求的值【答案】【解析】连接、，那么，作业12如图1，五角星ABCDE（1）请你直接写出为_度； （2）若有一个顶点B在运动，五角星变为图2，(1)的结论还正确吗？请说明理由【答案】（1）（2）正确；【解析】该题考查的是角度计算（1） 如图所示，；（2）结论成立理由如下：，作业13如图1,BP、CP是ABC中ÐABC、ÐACB的角平分线,ÐA=50°,可知P =_, 如图2的四边形ABCD,BP、CP仍然是ÐABC、ÐBCD的角平分线，猜想ÐBPC与ÐA,ÐD有何数量关系_【答案】；【解析】该题考查的是角度计算图1中，BP、CP是、的角平分线，；图2中，BP、CP是、的角平分线，作业14如图，线段、把三等分，线段、把三等分，则的大小是_【答案】【解析】思路1：分析可知，因为，故可以先考虑求出的度数，根据题设条件，线段、把三等分，线段、把三等分，所以，这样只要求出的度数，就可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出解法1 ：在中，因为平分，平分，所以是的平分线即因为，所以，又因为、把三等分，、把三等分所以，又因为，所以，所以思路2：结合本题特有条件，还可以把着眼点集中于中，直接利用三角形内角和定理解决这一问题同样由两个三等分得到，不同在于我们利用三等分的另一个结论，解法2 ：在中，因为平分，平分，所以是的平分线，即因为，所以，所以，所以作业15如图，平分，平分，试探索与和的关系：【答案】【解析】如图，连接，在中，在中，又，在中，即：作业16已知：如图，AM，CM分别平分BAD和BCD（1）求M的大小（2）当B，D为任意角时，探索M与B，D间的数量关系，并对你的结论加以证明【答案】（1）（2）；见解析【解析】该题考查的是三角形中复杂的角度模型：八字形（如图）BADC（1），而AM，CM分别平分和，又，得，°，；（2）与，间的数量关系为，理由同上作业17在中，BO平分，点P为直线AC上一动点，于点OABCOBCOAPBOCPA图1图2图3（1）如图1，当，点P与点C重合时，；（2）如图2，当点P在AC延长线时，求证：；（3）如图3，当点P在边AC所示位置时，请直接写出与，等量关系式.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】该题考查的是角度的计算（1），BO平分，1分（2）作射线AO，如图，即，BO平分，5分（3）记CP与BO的交点为M，BO平分， 6分