2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷.docx

2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上1（5分）过点（0，1），（2，0）的直线的斜率为 2（5分）命题“xR，x2+2x+10”的否定是 命题（选填“真”、“假”之一）3（5分）抛物线y24x的准线方程是 4（5分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为 5（5分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点（1，4），则抛物线的方程为 6（5分）（文科做）曲线yex+1在x0处的切线方程为 7（理科做）在空间直角坐标系Oxyz中，若三点A（1，5，2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则a+b 8（5分）设aR，则“a1”是“|a|1”的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）9（5分）若方程x2a2+5+y22a2+1=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 10（5分）一个正四棱锥的底面边长为32cm，侧棱长为5cm，则它的体积为 cm311（5分）双曲线x2a2-y21（其中a0）的离心率为2，则实数a的值为 12（5分）（文科做）已知函数f（x）x3+x2x在（a，a+2）上存在极小值，则实数a的取值范围为 13（理科做）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则直线AC1与B1C所成角的余弦值为 14（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是 若mn，n，则m； 若m，则m；mn，n，则m； 若m，n，n，则m15（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF2交椭圆于B若AF1B的面积为403，内角A为60°，则椭圆的焦距为 16（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：ykx5（其中k0）上存在点P，在圆C：x2+（y1）21上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是 二、解答题：本大题共7小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（xm）2+（y+2）29（其中mR）设p：点（1，2）在圆C1内，设q：圆C1与圆C2：（x+1）2+（y1）24外离（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若q为真命题，求m的取值范围；（3）若“p或q”为真命题，求m的取值范围18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，BC=2AB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF平面ABCD求证：（1）EF平面PBD；（2）AE平面PEF19（14分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2m2-y2n2=1（m0，n0）经过点（3，0），其中一条近线的方程为y=33x，椭圆C2：x2a2+y2b2=1（ab0）与双曲线C1有相同的焦点椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为b7（1）求双曲线C1的方程；（2）求椭圆C2的方程20（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x4）2+y29与x轴交于A，B两点（其中点A在点B左侧），直线l过点（1，4）（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l上存在点M，满足MA2MB求直线l的斜率的取值范围；若点M不在x轴上，求MAB面积的最大值及此时直线l的方程21（16分）（文科做）已知函数f（x）=a3x3-12（a+1）x2+x（1）若a0，求f（x）的单调减区间；（2）当a在区间（0，1）上变化时，求f（x）的极小值的最大值22（理科做）如图，正四棱锥VABCD底面边长为4，侧棱长为17以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC中点（1）求向量BE，DE的夹角的余弦值；（2）求二面角BVCD的余弦值23（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）过点（1，e），（e，32），其中e为椭圆的离心率，过定点N（m，0）（0ma）的动直线l与椭圆交于A，B两点（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若OMAOMB总成立，求m的值；（3）是否存在定点M（x0，0）（其中x0a），使得OMAOMB总成立？如果存在，求出点M的坐标（用m表示x0）；如果不存在，请说明理由2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上1（5分）过点（0，1），（2，0）的直线的斜率为-12【解答】解：根据直线的斜率公式得k=1-00-2=-12，故答案为：-122（5分）命题“xR，x2+2x+10”的否定是假命题（选填“真”、“假”之一）【解答】解：由x2+2x+10得（x+1）20，x1，则命题“xR，x2+2x+10”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为：假3（5分）抛物线y24x的准线方程是x1【解答】解：2p4，p2，开口向右，准线方程是x1故答案为x14（5分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为6【解答】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为（2r）38r3，球的体积为43r3所以，球的体积与正方体的体积之比为43r38r3=6故答案为：65（5分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点（1，4），则抛物线的方程为x2=-14y【解答】解：由题意可设抛物线方程为x22py（p0），抛物线经过点（1，4），18p，得p=18抛物线的方程为x2=-14y故答案为：x2=-14y6（5分）（文科做）曲线yex+1在x0处的切线方程为yx+2【解答】解：yex+1的导数为yex，可得曲线yex+1在x0处的切线斜率为k1，切点为（0，2），即有切线方程为yx+2故答案为：yx+27（理科做）在空间直角坐标系Oxyz中，若三点A（1，5，2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则a+b7【解答】解：空间直角坐标系Oxyz中，三点A（1，5，2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则AB=（1，1，3），AC=（a1，2，b+2）；a-11=-2-1=b+23，解得a3，b4，a+b7故答案为：78（5分）设aR，则“a1”是“|a|1”的充分不必要条件条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）【解答】解：解绝对值不等式“|a|1”，得a1或a1，又“a1”是“a1或a1”的充分不必要条件，即“a1”是“|a|1”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要条件9（5分）若方程x2a2+5+y22a2+1=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（2，2）【解答】解：由题意可得a2+52a2+1，即a24，可得2a2，即a的曲折范围是（2，2）故答案为：（2，2）10（5分）一个正四棱锥的底面边长为32cm，侧棱长为5cm，则它的体积为24cm3【解答】解：如图，正四棱锥的底面边长为32cm，SABCD18cm3连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO底面ABCD，OC=12AC=12×32×2=3cm，又棱长PC5cm，OP=52-32=4cm，VP-ABCD=13×18×4=24cm3故答案为：2411（5分）双曲线x2a2-y21（其中a0）的离心率为2，则实数a的值为33【解答】解：双曲线x2a2-y21的b1，c=a2+1，可得e=ca=a2+1a=2，解得a=33，故答案为：3312（5分）（文科做）已知函数f（x）x3+x2x在（a，a+2）上存在极小值，则实数a的取值范围为（-53，13）【解答】由函数f（x）x3+x2x得f（x）3x2+2x1令f（x）3x2+2x10，解得 x1=-1，x2=13x（1，13），f（x）0 且x（13，+），f（x）013为f（x）的极小值点函数f（x）在区间（a，a+2）上存在极小值a13a+213 即-53a13故答案为：(-53，13)13（理科做）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则直线AC1与B1C所成角的余弦值为55【解答】解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设ABBC2AA12，则A（2，0，0），C1（0，2，1），B1（2，2，1），C（0，2，0），AC1=（2，2，1），B1C=（2，0，1），设直线AC1与B1C所成角为，则cos=|AC1B1C|AC1|B1C|=395=55直线AC1与B1C所成角的余弦值为55故答案为：5514（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是若mn，n，则m； 若m，则m；mn，n，则m； 若m，n，n，则m【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故错误；在中，若m，则m与相交、平行或m，故错误；在中，mn，n，则m与相交、平行或m，故错误；在中，若m，n，n，则由线面垂直的判定定理得m，故正确故答案为：15（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF2交椭圆于B若AF1B的面积为403，内角A为60°，则椭圆的焦距为10【解答】解：由题意可得AF1F2为等边三角形，即有2ca，b=a2-c2=3c，可得椭圆方程为3x2+4y212c2，设直线AB的方程为x=-33y+c，代入椭圆方程可得3（13y2+c2-233cy）+4y212c2，化为5y223cy9c20，解得y=3c或y=-335c，即有AF1B的面积为122c|yAyB|c835c403，可得c5，即有椭圆的焦距为10故答案为：1016（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：ykx5（其中k0）上存在点P，在圆C：x2+（y1）21上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是3【解答】解：圆心坐标C（0，1），半径R2，则直径为2，要使在圆C：x2+（y1）21上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，即MNMP，则MN的最大值为直径2，即MP的最大值为2，即圆心C到直线ykx5的最大值距离d1+23，即圆心到直线l：kxy50的距离d满足d3，即|0-1-5|1+k2=61+k23，则1+k22，平方得1+k24，得k23，得k3或k-3（舍），则k 的最小值为3，故答案为：3二、解答题：本大题共7小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（xm）2+（y+2）29（其中mR）设p：点（1，2）在圆C1内，设q：圆C1与圆C2：（x+1）2+（y1）24外离（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若q为真命题，求m的取值范围；（3）若“p或q”为真命题，求m的取值范围【解答】解：（1）若p为真命题，即点（1，2）在圆C1：（xm）2+（y+2）29内，则（1m）2+（2+2）29，解得2m4，即m的取值范围为（2，4）；（2）若q为真命题，即圆C1与圆C2外离，则m-(-1)2+(-2-1)25，解得m3或m5，即m的取值范围是（，5）（3，+）；（3）因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可，所以m的取值范围为（，5）（2，+）18（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，BC=2AB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF平面ABCD求证：（1）EF平面PBD；（2）AE平面PEF【解答】证明：（1）E，F分别是BC，CD的中点，EFBD，EF平面PBD，BD平面PBD，EF平面PBD（2）设ABa，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，BC=2AB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF平面ABCD，EF=32a，AE=62a，AF=32a，AE2+EF2AF2，AEEF，PF平面ABCD，AE平面ABCD，PFAE，PFEFF，AE平面PEF19（14分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2m2-y2n2=1（m0，n0）经过点（3，0），其中一条近线的方程为y=33x，椭圆C2：x2a2+y2b2=1（ab0）与双曲线C1有相同的焦点椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为b7（1）求双曲线C1的方程；（2）求椭圆C2的方程【解答】解：（1）双曲线C1：x2m2-y2n2=1（m0，n0）经过点（3，0），可得m23，其中一条近线的方程为y=33x，可得nm=33，解得m=3，n1，即有双曲线C1的方程为x23-y21；（2）椭圆C2：x2a2+y2b2=1（ab0）与双曲线C1有相同的焦点，可得a2b24，椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F（2，0），A（a，0），B（0，b），由点F到直线AB：bxay+ab0的距离为b7，可得|-2b+ab|b2+a2=b7，化为a2+b27（a2）2，由解得a4，b23，则椭圆C2的方程为x216+y212=120（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x4）2+y29与x轴交于A，B两点（其中点A在点B左侧），直线l过点（1，4）（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；（2）若直线l上存在点M，满足MA2MB求直线l的斜率的取值范围；若点M不在x轴上，求MAB面积的最大值及此时直线l的方程【解答】解：若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x1，若直线l与x轴不垂直，则设l的方程为y+4k（x1），即kxyk40（1）若直线l与x轴垂直，则直线l和圆C相切，符号条件若直线l与x轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离d=|4k-k-4|1+k2=|3k-4|1+k2=3，解得k=724，即直线l的方程为7x24y1030，综上直线l的方程为7x24y1030或x1（2）设M（x，y），则由MA2MB，得，MA24MB2，即（x1）2+y24（x7）2+y2整理得：（x9）2+y216，即点M在圆（x9）2+y216上，根据题意直线l与圆（x9）2+y216有公共点，注意到直线l的斜率明显存在，因此直线l：kxyk40与圆（x9）2+y216有公共点，即|9k-k-4|1+k2=|8k-4|1+k24，解得0k43，即直线l的斜率的范围0，43M在圆（x9）2+y216上，当点M的坐标为（9，4）或（9，4）时，M到x轴上的距离d取得最大值4，则MAB面积的最大值为12ABdmax=12×6×4=12，此时直线l的方程为xy50或y421（16分）（文科做）已知函数f（x）=a3x3-12（a+1）x2+x（1）若a0，求f（x）的单调减区间；（2）当a在区间（0，1）上变化时，求f（x）的极小值的最大值【解答】解：（1）若a0，f（x）=-12x2+x=-12(x-1)2+12，则f（x）的单调递减区间为（1，+）；若a0，则f（x）=ax2-(a+1)x+1=a(x-1a)(x-1)令f（x）0，得(x-1a)(x-1)0，即x1a或x1则f（x）的单调减区间为（，1a），（1，+）；（2）f（x）=a(x-1)(x-1a)，0a1当x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当x（1，1a）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（1a，+）时，f（x）0，f（x）单调递增f（x）的极小值为为f（1a）=a31a3-12(a+1)1a2+1a=-161a2+121a=-16(1a-32)2+38当a=23时，函数f（x）的极小值f（1a）取得最大值为3822（理科做）如图，正四棱锥VABCD底面边长为4，侧棱长为17以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系Oxyz，其中OxBC，OyAB，E为VC中点（1）求向量BE，DE的夹角的余弦值；（2）求二面角BVCD的余弦值【解答】解：（1）根据条件知正四棱锥VABCD的高为(17)2-(22)2=3，根据条件，B（2，2，0），C（2，2，0），D（2，2，0），V（0，0，3），E（1，1，32），BE=（3，1，32），DE=（1，3，32），向量BE，DE的夹角的余弦值为cosBE，DE=BEDE|BE|DE|=-154(72)2=-1549（2）CB=（4，0，0），设平面BVC的一个法向量n=（x，y，z），则nBE=-3x-y+32z=0nCB=4x=0，取y3，得n=（0，3，2），同理可得平面DVC的一个法向量m=（3，0，2），设二面角BVCD的平面角为，由图知为钝角，则cos=-|mn|m|n|=-41313=-413，二面角BVCD的余弦值为-41323（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）过点（1，e），（e，32），其中e为椭圆的离心率，过定点N（m，0）（0ma）的动直线l与椭圆交于A，B两点（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若OMAOMB总成立，求m的值；（3）是否存在定点M（x0，0）（其中x0a），使得OMAOMB总成立？如果存在，求出点M的坐标（用m表示x0）；如果不存在，请说明理由【解答】解：（1）椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）过点（1，e），（e，32），1a2+e2b2=1e2a2+34b2=1a2=b2+c2e=ca，解得a=2，bc1，椭圆方程为x22+y21（2）椭圆x22+y2=1的准线方程为x2，则M（2，0），当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，OMAOMB；当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为yk（xm），k0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由x22+y2=1y=k(x-m)，得（2k2+1）x24mk2x+2m2k220，x1+x2=4mk22k2+1，x1x2=2m2k2-22k2+1，（*），OMAOMB总成立，又MA，MB斜率存在，故MA，MB的斜率和总为0，y1x1-2+y2x2-2=0对k（，0）（0，+）恒成立，即k(x1-m)x1-2=-k(x2-m)x2-2对k（，0）（0，+）恒成立，即2x1x2（m+2）（x1+x2）+4m0k（，0）（0，+）恒成立，代入（*）式并整理得m1（3）假设存在这样的点M（x0，0），（其中x0a）满足条件，则MA，MB的斜率同时存在且和为0，即y1x1-x0+y2x2-x0=0，根据题意，只需要考虑直线l与x轴不垂直也不重合的情形，结合（2）中（*）式有：x0=x1y2+x2y1y1+y2=x1k(x2-m)+x2k(x1-m)k(x1-m)+k(x2-m)=2x1x2-m(x1+x2)x1+x2-2m=22m2k2-22k2+1-m4mk22k2+14mk22k2+1-2m=4m2k2-4-4m2k2-2m=2m为定值，这样的点M如果存在，其坐标只可能为（2m，0），m（0，2），x0=2m2满足条件，M坐标为（2m，0）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/27 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