2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）.docx

2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A15B25C825D9252（5分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a=(m，n)与向量b=(1，0)的夹角记为，则(0，4)的概率为（）A518B512C12D7123（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为15，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（ab），则ba=（）A13B12C33D224（5分）已知命题p：xR，使得x+1x2，命题q：xR，x2+x+10，下列命题为真的是（）A（p）qB（p）（q）Cp（q）Dpq5（5分）下列说法正确的是（）AaR，“1a1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”D命题p：“xR，sinx+cosx2”，则p是真命题6（5分）如图，已知直线l：yk（x+1）（k0）与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|2|BN|，则k的值是（）A13B23C232D227（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A92，2.8B92，2C93，2D93，2.88（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）ABCD9（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A8万元B10万元C12万元D15万10（5分）设P为椭圆x29+y24=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|2：1则PF1F2的面积为（）A2B3C4D511（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），直线xa与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原若OAF的面积为13a2，则双曲线C的离心率为（）A233B322C2D13312（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2=23，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2则3e12+1e22=（）A4B23C2D3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93这种抽样方法是一种分层抽样；这种抽样方法是一种系统抽样；这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是 14（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于 15（5分）设椭圆x225+y2b2=1（0b5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为 16（5分）如图，多面体OABCD，ABCD2，ADBC23，ACBD=10，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：三棱锥OABC的体积是定值；球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是13；直线OB平面ACD；直线AD与OB所成角是60°；二面角AOCD等于30°其中正确的结论是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆x264+y216=1左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆x264+y216=1共焦点，且以y=±3x为渐近线，求此双曲线的标准方程18（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（）求分数在50，60）的频率及全班人数；（）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）若要从分数在80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在90，100）之间的概率19（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b20（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率20（12分）已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）若AF=3FB，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值21（12分）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出SB、SC的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值22（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点（1）求证：BC平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A15B25C825D925【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n=C52=10，甲被选中包含的基本事件的个数m=C11C41=4，甲被选中的概率p=mn=410=25故选：B2（5分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a=(m，n)与向量b=(1，0)的夹角记为，则(0，4)的概率为（）A518B512C12D712【解答】解：根据题意，m、n的情况各有6种，则a=(m，n)的情况有6×636种，又由题意，向量a=(m，n)，向量b=(1，0)，则cos=mm2+n2，若(0，4)，则22mm2+n21，化简可得m2n2，即mn，则a的坐标可以为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有15种情况；则(0，4)的概率为1536=512，故选：B3（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为15，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（ab），则ba=（）A13B12C33D22【解答】解：这一点落在小正方形内的概率为 15，正方形ABCD面积为a2+b2，三角形的面积为12ab，4×12aba2+b2=1-15，即a2+b2=52ab，即ab+ba=52，ab，解得ba=12，ba=2（舍去）故选：B4（5分）已知命题p：xR，使得x+1x2，命题q：xR，x2+x+10，下列命题为真的是（）A（p）qB（p）（q）Cp（q）Dpq【解答】解：对于命题p：xR，使得x+1x2，当x0时，命题p成立，命题p为真命题q：xR，x2+x+10，显然x2+x+1=(x+12)2+340，命题q为真根据复合命题的真假判定，pq为真，（p）q为假，p（q）为假，（p）（q）为假故选：D5（5分）下列说法正确的是（）AaR，“1a1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”D命题p：“xR，sinx+cosx2”，则p是真命题【解答】解：A由1a1得a1或a0，则“1a1”是“a1”的必要不充分条件，正确，B若pq为真命题，则p，q都是真命题，此时pq为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，pq为真命题，但pq为假命题，故“pq为真命题”是“pq为真命题”的充分不必要条件，故B错误，C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”，故C错误，Dsinx+cosx=2sin（x+4）2恒成立，p是真命题，则p是假命题，故D错误，故选：A6（5分）如图，已知直线l：yk（x+1）（k0）与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|2|BN|，则k的值是（）A13B23C232D22【解答】解：设抛物线C：y24x的准线为l：x1直线yk（x+1）（k0）恒过定点P（1，0）如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|AM|2|BN|，则|FA|2|FB|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=12|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为12，点B的坐标为B（12，2），把B（12，2）代入直线l：yk（x+1）（k0），解得k=232故选：C7（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A92，2.8B92，2C93，2D93，2.8【解答】解：由题意所剩数据：90 90 93 94 93，所以平均数x=90+90+93+94+935=92，方差S=15（9092）2+（9092）2+（9392）2+（9492）2+（9392）22.8，故选：A8（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）ABCD【解答】解：由茎叶图，得：甲地该月14时的平均气温x甲=15（26+28+29+31+31）29，甲地该月14时的平均气温的标准差S甲=15(-3)2+(-1)2+02+22+22=3.6，乙地该月14时的平均气温x乙=15（28+29+30+31+32）30，乙地该月14时的平均气温的标准差S乙=15(-2)2+(-1)2+02+12+22=2，甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差根据茎叶图能得到的统计结论的标号为故选：A9（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A8万元B10万元C12万元D15万【解答】解：由频率分布直方图得0.4÷0.1411时至12时的销售额为3×412故选：C10（5分）设P为椭圆x29+y24=1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|2：1则PF1F2的面积为（）A2B3C4D5【解答】解：|PF1|：|PF2|2：1，可设|PF1|2k，|PF2|k，由题意可知2k+k6，k2，|PF1|4，|PF2|2，|F1F2|25，PF1F2是直角三角形，其面积=12×|PF1|×|PF2|=12×4×2=4故选：C11（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），直线xa与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原若OAF的面积为13a2，则双曲线C的离心率为（）A233B322C2D133【解答】解：由题意，A（a，b），OAF的面积为13a2，12bc=13a2，2c23bc2b20，c2b或c=-12b（舍去），a=c2-b2=3b，e=ca=233故选：A12（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2=23，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2则3e12+1e22=（）A4B23C2D3【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，可得|PF1|a1+a2，|PF2|a1a2，设|F1F2|2c，F1PF2=23，在PF1F2中由余弦定理得，4c2（a1+a2）2+（a1a2）22（a1+a2）（a1a2）cos 23，化简得3a12+a224c2，该式可变成3a12c2+a22c2=4，结合e1=ca1，e2=ca2，3e12+1e22=4故选：A二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93这种抽样方法是一种分层抽样；这种抽样方法是一种系统抽样；这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是【解答】解：若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以错；由题目看不出是系统抽样，所以错；这五名男生成绩的平均数，x男=15（86+94+88+92+90）90，这五名女生成绩的平均数x女=15（88+93+93+88+93）91，故这五名男生成绩的方差为S甲2=15（42+42+22+22+02）8，这五名女生成绩的方差为S乙2=15（32+22+22+32+22）6，故正确，错故答案为：14（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于90°【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则A1（0，0，2），B（2，0，0），C1（2，2，2），E（0，1，0），A1B=（2，0，2），C1E=（2，1，2），设异面直线A1B与C1E所成角为，则cos=|A1BC1E|A1B|C1E|=|-4+4|89=0，90°异面直线A1B与C1E所成角等于90°故答案为：90°15（5分）设椭圆x225+y2b2=1（0b5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为4【解答】解：设焦距为2c，则有25-b2=c25+c=2b，解得b216，可得b4故答案为：416（5分）如图，多面体OABCD，ABCD2，ADBC23，ACBD=10，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：三棱锥OABC的体积是定值；球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是13；直线OB平面ACD；直线AD与OB所成角是60°；二面角AOCD等于30°其中正确的结论是【解答】解：由题意，构造长方体，如右图，设OAx，OBy，OCz，则x2+y24，x2+z210，y2+z212，解得，x1，y=3，z3，对于，三棱锥OABC的体积为13OC×12OA×OB=32，故对；对于，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为12+32+(3)2=13，故对；对于，由于OBAE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故错对于，由于OBAE，则DAE即为直线AD与OB所成的角，由tanDAE=DEAE=3，则DAE60°，故对；因为AOOC，DCOC，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角AOCD的二面角大小，连接OE，则角AOE为所求，tanAOE=AEOA=3，所以AOE60°；错误；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆x264+y216=1左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆x264+y216=1共焦点，且以y=±3x为渐近线，求此双曲线的标准方程【解答】解：（1）椭圆x264+y216=1的a8，左顶点为（8，0），设抛物线的方程为y22px（p0），可得-p2=-8，解得p16，则抛物线的方程为y232x；（2）双曲线与椭圆x264+y216=1共焦点（±64-16，0），即为（±43，0），设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1（a0，b0），则a2+b248，渐近线方程为y±bax，可得ba=3，解得a23，b6，则双曲线的方程为x212-y236=118（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（）求分数在50，60）的频率及全班人数；（）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）若要从分数在80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在90，100）之间的概率【解答】解：（）分数在50，60）的频率为0.008×100.08，由茎叶图知：分数在50，60）之间的频数为2，全班人数为20.08=25（）分数在80，90）之间的频数为25223；频率分布直方图中80，90）间的矩形的高为325÷10=0.012（）将80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在90，100）之间的概率是710=0.719（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b20（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【解答】解：设事件A为“方程有实根”当a0，b0时，方程有实根的充要条件为ab（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P=912=34（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab所求的概率是3×2-12×223×2=2320（12分）已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）若AF=3FB，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值【解答】解：（1）由抛物线y24x的焦点在x轴上，焦点坐标F（1，0），设直线AB的方程为：xmy+1，则x=my+1y2=4x，整理得：y24my40，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知：y1+y24m，y1y24，AF=（1x1，y1），FB=（x21，y2），AF=3FB，y13y2，整理得：m2=13，解得：m±33，直线AB的斜率k=1m=±3，直线AB的斜率3或-3；（2）由（1）可知：|y1y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16m2+16=4m2+1，四边形OACB面积SOACB2SAOB=12|OF|y1y2|y1y2|4m2+14，当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值为421（12分）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出SB、SC的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值【解答】解：（1）以A为原点建系如图，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（3，1，0），C（0，2，0）AB=（3，1，0），SB=（3，1，3），SC=（0，2，3）（6分）（2）设面SBC的法向量为n=(x，y，z)则nSB=3x+y-3z=0nSC=2y-3z=0令y3，则z2，x=3，n=(3，3，2)设AB与面SBC所成的角为，则sin=|nAB|n|AB|=3412分22（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点（1）求证：BC平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）ADEF为正方形，EDAD 又平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD又ED平面ADEF，ED平面ABCD 又BC平面ABCD，EDBC ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，BDBC=22+22=22，BD2+BC2CD2，BDBC，BDEDD，BC平面BDE解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），EB=（2，2，2），EC=（0，4，2），设平面BEC的法向量n=（x，y，z），则nEB=2x+2y-2z=0nEC=4y-2z=0，取y1，得n=（1，1，2），平面ADEF的法向量m=（0，1，0），设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为，则cos=|mn|m|n|=16=66平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值66声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/27 12:17:20；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265第21页（共21页）