高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用热点探究课1导数应用中的高考热点问题教师用书文新人教A版.doc

1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数及其章函数导数及其应用热点探究课应用热点探究课 1 1 导数应用中的高考热点问题教师用书文导数应用中的高考热点问题教师用书文新人教新人教 A A 版版命题解读 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有热点 1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围(本小题满分 12 分)(2015·全国卷)已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围思路点拨 (1)求出导数后对 a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求 a 的范围2 / 13规范解答 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.2分若 a0，则 f(x)>0，所以 f(x)在(0，)上单调递增.3 分若 a>0，则当 x时，f(x)>0；当 x时，f(x)0 时，f(x)在 x取得最大值，最大值为flnaln aa1.9 分因此 f>2a2 等价于 ln aa11 时，g(a)>0.因此，a 的取值范围是(0,1).12 分答题模板 讨论含参函数 f(x)的单调性的一般步骤第一步：求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定)第二步：求函数 f(x)的导数 f(x)第三步：根据 f(x)0 的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论第四步：求解(令 f(x)>0 或令 f(x)0)当 a0 时，f(x)>0，f(x)没有零点；当 a>0 时，设 u(x)e2x，v(x)，3 分因为 u(x)e2x 在(0，)上单调递增，v(x)在(0，)上单调递增，所以 f(x)在(0，)上单调递增又 f(a)>0，当 b 满足 00 时，f(x)存在唯一零点.5 分(2)证明：由(1)，可设 f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当 x(0，x0)时，f(x)0.7 / 13故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当 xx0 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(x0).9 分由于 2e2x00，所以 f(x0)2ax0aln2aaln .故当 a>0 时，f(x)2aaln .12 分角度 2 不等式恒成立问题(2016·全国卷)已知函数 f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当 a4 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1，)时，f(x)>0，求 a 的取值范围解 (1)f(x)的定义域为(0，).1 分当 a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x3，f(1)2.3 分故曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 2xy20.5 分(2)当 x(1，)时，f(x)0 等价于 ln x0.设 g(x)ln x，则 g(x)，g(1)0.9 分当 a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故 g(x)0，g(x)在(1，)单调递增，因此 g(x)0；当 a2 时，令 g(x)0 得 x1a1，x2a1.由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此 g(x)0.综上，a 的取值范围是(，2.12 分角度 3 存在型不等式成立问题8 / 13(2014·全国卷)设函数 f(x)aln xx2bx(a1)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)0，f(x)在(1，)单调递增所以，存在 x01，使得 f(x0)1，故当 x时，f(x)0，f(x)在上单调递减，在上单调递增.9 分所以存在 x01，使得 f(x0)，所以不合题意若 a>1，则 f(1)10，即 f(x)>0，故 f(x)为增函数；当 x>x2 时，g(x)<0，即 f(x)<0，故 f(x)为减函数.9 分由 f(x)在3，)上为减函数，知 x23，解得 a.故a 的取值范围为.12 分2已知函数 f(x)ex(x2axa)，其中 a 是常数【导学号：31222100】10 / 13(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若存在实数 k，使得关于 x 的方程 f(x)k 在0，)上有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围解 (1)由 f(x)ex(x2axa)可得f(x)exx2(a2)x.2 分当 a1 时，f(1)e，f(1)4e.所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为：ye4e(x1)，即 y4ex3e.5 分(2)令 f(x)exx2(a2)x0，解得 x(a2)或 x0.6 分当(a2)0，即 a2 时，在区间0，)上，f(x)0，所以 f(x)是0，)上的增函数，所以方程 f(x)k 在0，)上不可能有两个不相等的实数根.8分当(a2)0，即 a2 时，f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x0(0，(a2)(a2)(a2)，)f(x)00f(x)aa4 ea2由上表可知函数 f(x)在0，)上的最小值为f(a2).因为函数 f(x)是(0，(a2)上的减函数，是(a2)，)上的增函数，且当 xa 时，有 f(x)ea(a)a，又 f(0)a.所以要使方程 f(x)k 在0，)上有两个不相等的实数根，11 / 13则 k 的取值范围是.12 分3(2016·全国卷)已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围解 (1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).1分()设 a0，则当 x(，1)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0.所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.3分()设 a0，由 f(x)0 得 x1 或 xln(2a)若 a，则 f(x)(x1)(exe)，所以 f(x)在(，)上单调递增若 a，则 ln(2a)1，故当 x(，ln(2a)(1，)时，f(x)0；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以 f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.5 分若 a，则 ln(2a)1，故当 x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0.所以 f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增，在(1，ln(2a)上单调递减.7 分(2)()设 a0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又 f(1)e，f(2)a，取 b 满足 b012 / 13且 bln，则 f(b)(b2)a(b1)2a0，所以 f(x)有两个零点.9 分()设 a0，则 f(x)(x2)ex，所以 f(x)只有一个零点()设 a0，若 a，则由(1)知，f(x)在(1，)上单调递增又当 x1 时 f(x)0，故 f(x)不存在两个零点；若 a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增又当 x1 时，f(x)0，故 f(x)不存在两个零点综上，a 的取值范围为(0，).12 分4(2017·郑州二次质量预测)已知函数 f(x).(1)讨论函数 yf(x)在 x(m，)上的单调性；(2)若 m，则当 xm，m1时，函数 yf(x)的图象是否总在函数 g(x)x2x 图象上方？请写出判断过程解 (1)f(x)，2 分当 x(m，m1)时，f(x)0；当 x(m1，)时，f(x)0，所以函数 f(x)在(m，m1)上单调递减，在(m1，)上单调递增.4 分(2)由(1)知 f(x)在(m，m1)上单调递减，所以其最小值为 f(m1)em1.5 分因为 m，g(x)在 xm，m1最大值为(m1)2m1.所以下面判断 f(m1)与(m1)2m1 的大小，即判断 ex 与(1x)x 的大小，其中 xm1.令 m(x)ex(1x)x，m(x)ex2x1，令 h(x)m(x)，则 h(x)ex2，因为 xm1，所以 h(x)ex20，m(x)单调递增.813 / 13分所以 m(1)e30，me40，故存在 x0，使得m(x0)ex02x010，所以 m(x)在(1，x0)上单调递减，在上单调递增，所以 m(x)m(x0)ex0xx02x01xx0xx01，所以当 x0时，m(x0)xx010，即 ex(1x)x，也即 f(m1)(m1)2m1，所以函数 yf(x)的图象总在函数 g(x)x2x 图象上方.12 分