高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11节导数与函数的单调性教师用书文北师大版.doc

1第十一节第十一节 导数与函数的单调性导数与函数的单调性考纲传真 了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)函数的导数与单调性的关系函数yf (x)在某个区间内可导，则(1)若f (x)0，则f (x)在这个区间内增加的；(2)若f (x)0，则f (x)在这个区间内减少的；(3)若f (x)0，则f (x)在这个区间内是常数函数1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)若函数f (x)在区间(a，b)上增加，那么在区间(a，b)上一定有f (x)>0.( )(2)如果函数在某个区间内恒有f (x)0，则函数f (x)在此区间上没有单调性( )(3)f (x)0 是f (x)为增函数的充要条件( )答案 (1)× (2) (3)×2f (x)x36x2的递减区间为( )A(0,4) B(0,2)C(4，) D(，0)A A f (x)3x212x3x(x4)，由f (x)1 时，g(x)>0.解 (1)由题意得f (x)2ax (x>0). 2 分1 x2ax21 x当a0 时，f (x)0 时，由f (x)0 有x，12a当x时，f (x)0，f (x)是增加的. 7 分(12a，)(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11. 9 分当x>1 时，s(x)>0，所以 ex1>x，4从而g(x) >0. 12 分1 x1 ex1求函数的单调区间(2016·天津高考节选)设函数f (x)x3axb，xR R，其中a，bR R.求f (x)的单调区间解 由f (x)x3axb，可得f (x)3x2a.下面分两种情况讨论：当a0 时，有f (x)3x2a0 恒成立，所以f (x)的递增区间为(，). 5 分当a0 时，令f (x)0，解得x或x.3a33a3当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(，3a3)3a3(3a3，3a3)3a3(3a3，)f (x)00f (x)递增极大值递减极小值递增所以f (x)的递减区间为，递增区间为，. (3a3，3a3)(，3a3) (3a3，)12 分规律方法 求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x)的定义域；(2)求f (x)；(3)在定义域内解不等式f (x)0，得递增区间；(4)在定义域内解不等式f (x)0，得递减区间变式训练 2 已知函数f (x)(x22x)ex，xR R，e 为自然对数的底数，则函数f (x)的递增区间为_(，) 因为f (x)(x22x)ex，22所以f (x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f (x)0，即(x22)ex0，因为 ex0，所以x220，解得x，22所以函数f (x)的递增区间为(，)22已知函数的单调性求参数已知函数f (x)x3ax1.5若f (x)在 R R 上为增函数，求实数a的取值范围解 因为f (x)在(，)上是增函数，所以f (x)3x2a0 在(，)上恒成立，即a3x2对xR R 恒成立. 5 分因为 3x20，所以只需a0.又因为a0 时，f (x)3x20，f (x)x31 在 R R 上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0. 12 分迁移探究 1 (变换条件)函数f (x)不变，若f (x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解 因为f (x)3x2a，且f (x)在区间(1，)上为增函数，所以f (x)0 在(1，)上恒成立，即 3x2a0 在(1，)上恒成立，7 分所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3. 12分迁移探究 2 (变换条件)函数f (x)不变，若f (x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解 由f (x)3x2a0 在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立. 5 分因为1x1，所以 3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f (x)在(1,1)上为减函数. 12 分迁移探究 3 (变换条件)函数f (x)不变，若f (x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解 f (x)x3ax1，f (x)3x2a.由f (x)0，得x±(a0). 3a35 分f (x)在区间(1,1)上不单调，01，得 0a3，即a的取值范围为(0,3).3a312 分规律方法 根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数递增，则f (x)0；若函数递减，则f (x)0”来求解易错警示：(1)f (x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f (x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f (x)不恒为 0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解6(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移 3 中利用了(0,1)来求解3a3变式训练 3 (2016·全国卷)若函数f (x)x sin2xasinx在(，)1 3递增，则a的取值范围是( )A1,1 B1，1 3C. D1 3，1 31，1 3C C 取a1，则f (x)x sin2xsinx，f (x)1 cos2xcosx，但f 1 32 3(0)1 1 0，不具备在(，)递增的条件，故排除 A，B，D.故选 C.2 32 3思想与方法1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f (x)0，f (x)0 的解区间，并注意函数f (x)的定义域2含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性3已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决易错与防范1求单调区间应遵循定义域优先的原则2注意两种表述“函数f (x)在(a，b)上为减函数”与“函数f (x)的减区间为(a，b)”的区别3在某区间内f (x)>0(f (x)<0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件4可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x(a，b)，都有f (x)0(f (x)0)，且f (x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零