高考数学一轮复习第7章立体几何初步第5节简单几何体的面积与体积教师用书文北师大版.doc

1第五节第五节 简单几何体的面积与体积简单几何体的面积与体积考纲传真 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l2.柱、锥、台和球的表面积和体积表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥) S表面积S侧S底VSh1 3台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V (S上S下1 3)hS上S下球S4R2V R34 31(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积( )(2)球的体积之比等于半径比的平方( )(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( )(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则Ra.( )32答案 (1)× (2)× (3) (4)2(教材改编)已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面2圆的半径为( )A1 cm B2 cmC3 cm D cm3 2B B S表r2rlr2r·2r3r212，r24，r2(cm)3(2015·全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，图 7­5­1下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图7­5­1，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( )A14 斛 B22 斛C36 斛 D66 斛B B 设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r，所以米堆的体积为 216 V × ·r2·5×2×5(立方尺)故堆放的米约有÷1.6222(斛)故1 41 3 12(16 )320 9320 9选 B.4(2016·全国卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A12 B 32 3C8 D4A A 设正方体棱长为a，则a38，所以a2.所以正方体的体对角线长为 2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为334·()212.35(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图 7­5­2 所示(单位：cm)，则该几何体的体积是_cm3.3【导学号：66482340】图 7­5­2由三视图可知该几何体是由棱长为 2 cm 的正方体与底面为边长为 2 cm 的正方32 3形、高为 2 cm 的四棱锥组成，VV正方体V四棱锥8 cm3 cm3 cm3.8 332 3空间几何体的表面积(1)某几何体的三视图如图 7­5­3 所示，则该几何体的表面积等于( )图 7­5­3A82 B11222C142 D152(2)(2016·全国卷) 如图 7­5­4，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是( )28 3A17 B18C20 D284图 7­5­4(1 1)B B (2 2)A A (1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示直角梯形斜腰长为，所以底面周长为 4，侧面积为121222422282，两底面的面积和为 2× ×1×(12)3.221 2所以该几何体的表面积为 823112.22(2) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的 ，得到的几何体如1 4图设球的半径为R，则 R3 × R3，解得R2.因此它的表面积为4 31 84 328 3×4R2 R217.7 83 4规律方法 1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理2若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解变式训练 1 (2016·全国卷)如图 7­5­5，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) A1836 B541855C90 D815图 7­5­5B B 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×33×63×3)×25418.故选 B.55空间几何体的体积(1)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 2ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B2 34 3C. D25 3(2)(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图7­5­6 所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3.图 7­5­6(1 1)C C (2 2)2 2 (1) 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示由于V圆柱·AB2·BC×12×22，6V圆锥 ·CE2·DE ·12×(21)，1 31 3 3所以该几何体的体积VV圆柱V圆锥2. 35 3(2)由三视图知，四棱锥的高为 3，底面平行四边形的一边长为 2，对应高为 1，所以其体积VSh ×2×1×32.1 31 3规律方法 1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解变式训练 2 (2017·陕西质检(二)某几何体的三视图如图 7­5­7 所示，则此几何体的体积是( )【导学号：66482341】A28 B32C36 D40图 7­5­7C C 由三视图得该几何体为一个底面半径为 2，高为 2 的圆柱体和一个上底半径为 2，下底半径为 4，高为 3 的圆台，则其体积为 2××22 ×3(22422×4)36，故1 3选 C.多面体与球的切、接问题(2016·全国卷)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是( )A4 B9 27C6 D32 3B B 由ABBC，AB6，BC8，得AC10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.则×6×8 ×(6810)·r，则r2.1 21 2此时 2r43，不合题意因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大由 2R3，即R .3 2故球的最大体积V R3 .4 39 2迁移探究 1 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC­A1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上” ，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解 将直三棱柱补形为长方体ABEC­ABEC，则球O是长方体ABEC­ABEC的外接球，体对角线BC的长为球O的直径因此 2R13，3242122故S球4R2169.迁移探究 2 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上” ，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，求该球的体积解 如图，设球心为O，半径为r，则在 RtAOF中，(4r)2()2r2，2解得r ，9 4则球O的体积V球 r3 ×3.4 34 3(9 4)243 16规律方法 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” 、 “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题8变式训练 3 (2015·全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90°，C为该球面上的动点若三棱锥O­ABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为( )A36 B64C144 D256C C 如图，设球的半径为R，AOB90°，SAOBR2.1 2VO­ABCVC­AOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VO­ABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VO­ABC最大为 ×R2×R36，1 31 2R6，球O的表面积为 4R24×62144.故选 C.思想与方法1转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形， “化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法2求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高易错与防范1求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理，防止重复计算2底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错