高考数学一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积学案.doc

1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 7 7 章立体几何章立体几何第第 2 2 讲空间几何体的表面积和体积学案讲空间几何体的表面积和体积学案板块一 知识梳理·自主学习必备知识考点 1 多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和考点 2 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式考点 3 柱、锥、台和球的表面积和体积必会结论1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2Ra；若球为正方体的内切球，则 2Ra；若球与正方体的各棱相切，则 2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 2S.( )(2)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3a2.( )2 / 14(3)若一个球的体积为 4，则它的表面积为 12.( )(4)将圆心角为，面积为 3 的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于 4.( )答案 (1)× (2)× (3) (4)2.2018·长春模拟如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )B64A. D.C. 64 3答案 D解析 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为 4，其体积为×4×4×4.故选 D.3.2018·合肥模拟某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A1242B1882C28D2082答案 D解析 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图则该几何体的表面积为S2××2×24×2×22×4208.故选 D.4 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )B42A2 2D64C44 2答案 C解析 由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直3 / 14角三角形的斜边长为 2，腰长为，棱柱的高为 2，所以其侧面积S2×22×244.故选 C.52017·全国卷长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_答案 14解析 长方体的顶点都在球 O 的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为 R，则 2R.球 O 的表面积为 S4R24×214.62017·山东高考由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为_答案 2 解析 该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成，V2×1×12×××12×12.板块二 典例探究·考向突破考向 几何体的表面积 例 1 (1)2017·全国卷某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A10 B12 C14 D16答案 B解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，侧棱长为 2.三棱锥的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，如图所示因此该多面体各个面中有 2 个梯形，且这两个梯形全等，4 / 14梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 2，故这些梯形的面积之和为2××(24)×212.故选 B.(2)2016·全国卷下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20 B24 C28 D32答案 C解析 由三视图可得圆锥的母线长为4，S 圆锥侧×2×48.又 S 圆柱侧2×2×416，S 圆柱底4，该几何体的表面积为 816428.故选 C.触类旁通空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体的直观图(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理【变式训练 1】 2015·安徽高考一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1 B12 C2 D22答案 C解析 由三视图可得该四面体的直观图如图所示，平面 ABD平面 BCD，ABD 与BCD 为全等的等腰直角三角形，ABADBCCD.取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，则AOCO，AOCO1.由勾股定理得 AC，因此ABC 与ACD 为全等的正三角形，由三角形面积公式得 SABCSACD，SABDSBCD1，所以四面体的表面积为 2.故选 C.考向 几何体的体积命题角度 1 补形法求体积 例 2 2017·全国卷如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截5 / 14去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90 B63 C42 D36答案 B解析 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积 V×32×4×32×6×63.故选 B.命题角度 2 分割法求体积 例 3 2018·山西五校联考九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2丈，高 1 丈，问它的体积是多少？”已知 1 丈为 10 尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为( )B5500 立方尺A5000 立方尺 D6500 立方尺C6000 立方尺 答案 A解析 该楔体的直观图如图中的几何体 ABCDEF.取 AB 的中点G，CD 的中点 H，连接 FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥FGBCH 与三棱柱 ADEGHF 的体积之和又可以将三棱柱 ADEGHF割补成高为 EF，底面积为 S×3×1平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积 V×2×2×3×15 立方丈5000 立方尺故选 A.命题角度 3 转化法求体积 例 4 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为_答案 1 6解析 三棱锥 D1EDF 的体积即为三棱锥 FDD1E 的体积因6 / 14为 E，F 分别为 AA1，B1C 上的点，所以正方体 ABCDA1B1C1D1 中EDD1 的面积为定值，F 到平面 AA1D1D 的距离为定值 1，所以VFDD1E××1.触类旁通空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解考向 与球有关的切、接问题 例 5 2018·沈阳模拟已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O 的半径为( )A. B2 C. D310答案 C解析 如图所示，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AMBC，OMAA16，所以球 O 的半径 ROA .故选C.本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体” ，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为 r.又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4，从而 V 外接球R3×(2)332，7 / 14V 内切球r3×23.本例若将直三棱柱改为“正四面体” ，则此正四面体的表面积 S1 与其内切球的表面积 S2 的比值为多少？解 正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为S14··a2a2，其内切球半径 r 为正四面体高的，即r·aa，因此内切球表面积为 S24r2，则.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3 的正四棱锥” ，则其外接球的半径是多少？解 依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为 3×6，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于 3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3.触类旁通“切” “接”问题的处理规律(1)“切”的处理解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点，通过作截面来解决截面过球心(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径【变式训练 2】 (1)2017·全国卷已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B. C. D. 4答案 B解析 设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R1，8 / 14由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形r .圆柱的体积为 Vr2h×1.故选 B.(2)2018·湖北七市联考一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为( )A36 B. C32 D28答案 B解析 根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为 4 的正方形，高是 2.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为 4 的正三角形，高是 4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离为×2，外接球的半径为 R，外接球的表面积 S4R24×.故选 B.核心规律1.表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积时，只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积时，可以从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积2.求几何体体积时，要选择适当的底面和高满分策略1.利用三视图求表面积和体积时，要正确地把它们还原成直观图，从三视图中得到几何体的相关量，再计算2.求不规则的几何体的表面积和体积时，把它们分成基本的简单几何体再求3.求几何体体积时注意运用割补法和等体积转换法.9 / 14板块三 启智培优·破译高考题型技法系列 10 破解切割棱柱体的三视图问题 2018·河南质检如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.6 B9 C12 D1解题视点 根据三视图还原几何体，先画出该棱柱在没有切割前完整的图形，然后去掉被切割下的三棱柱，结合图形利用体积公式破解解析 该几何体是一个直三棱柱截去所得，如图所示，其体积为××3×4×29.故选 B.答案 B 答题启示 从近年全国各地对于三视图知识的考查来看，所涉及的几何体往往是相对比较规则的，且多与长方体、直棱柱、圆锥及球密切相关.通常考查的不是这些简单的几何体，而是通过对这些简单的几何体的截或接所形成的几何体.跟踪训练将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D6答案 A解析 由图可知，该几何体为正方体切去一个三棱锥形成V2×2×2××2×2×1.故选 A.板块四 模拟演练·提能增分 A 级 基础达标1. 2018·南昌模拟如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )B21A11 D32C23 10 / 14答案 A解析 根据题意，三棱锥 PBCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高故三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图的面积之比为 11.故选 A.2 九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 3 寸，容纳米 2000 斛(1 丈10 尺，1 尺10 寸，斛为容积单位，1 斛1.62 立方尺，3)，则圆柱底面圆周长约为( )B5 丈 4 尺A1 丈 3 尺 D48 丈 6 尺C9 丈 2 尺 答案 B解析 设圆柱底面圆半径为 r 尺，高为 h 尺，依题意，圆柱体积为 Vr2h2000×1.623×r2×13.33，所以 r281，即r9，所以圆柱底面圆周长为 2r54,54 尺5 丈 4 尺，则圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺故选 B.3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.1 3答案 D解析 由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，V×1×1×1.故选 D.4正三棱柱的底面边长为，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A4 B8 C12 D16答案 B解析 由正弦定理得2r(其中 r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，r1，外接球的半径 R，外接球的表面积S4R28.故选 B.52017·北京高考某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )11 / 14A.60 B30 C20 D10答案 D解析 由三视图画出如图所示的三棱锥 PACD，过点 P 作 PB平面 ACD 于点 B，连接 BA，BD，BC，根据三视图可知底面 ABCD 是矩形，AD5，CD3，PB4，所以 V 三棱锥PACD××3×5×410.故选 D.62018·遵义模拟一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A. B. C. D.5答案 C解析 由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OAOB1，AB.又 PB平面 ABCD，PBBD，PBAB，PD，PA，从而有 PA2DA2PD2，PADA，该几何体的侧面积 S2×××12×××.故选 C.7某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )B216A.207 9 2D21618C21636 答案 B解析 由已知三视图知该几何体为一个棱长为 6 的正方体，切去一个底面半径为 3，高为 6 的圆锥其体积V63×××32×6216.故选 B.8.2017·江苏高考如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O的体积为 V2，则的值是_答案 3 2解析 设球 O 的半径为 R，12 / 14球 O 与圆柱 O1O2 的上、下底面及母线均相切，圆柱 O1O2 的高为 2R，圆柱 O1O2 的底面半径为 R.9某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，侧视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是_答案 2()解析 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为 2；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为 2，底面半径为 1，所以侧面积为 2.两部分加起来即为几何体的表面积，为 2()102018·云南昆明联考已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_答案 160 3解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为×4×4×8××4×4×464.B 级 知能提升12018·上海模拟如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A. B. C. D.22 3答案 D解析 根据三视图知此几何体是边长为 2 的正方体截去一个三棱锥 PABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为2×2×2××1×2×2.故选 D.22018·北京模拟某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )B4A2 5D5C22 13 / 14答案 C解析 由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA平面 ABC)，如图，由三视图中的数据可计算得 SABC×2×22，SSAC××1，SSAB××1，SSBC×2×，所以 S 表面积22.故选 C.32017·全国卷已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O的球面上，SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_答案 36解析 如图，连接 OA，OB.由 SAAC，SBBC，SC 为球 O 的直径，知 OASC，OBSC.由平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCBSC，OASC，知OA平面 SCB.设球 O 的半径为 r，则 OAOBr，SC2r，三棱锥 SABC 的体积V×·OA，即9，r3，S 球表4r236.4.如图，ABC 中，AB8，BC10，AC6，DB平面 ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.求此几何体的体积解 解法一：如图，取 CMANBD，连接 DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥则 V 几何体V 三棱柱V 四棱锥由题知三棱柱 ABCNDM 的体积为 V1×8×6×372.四棱锥 DMNEF 的体积为：V2×S 梯形 MNEF×DN××(12)×6×824，则几何体的体积为：VV1V2722496.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使14 / 14AABBCC8，所以 V 几何体V 三棱柱×SABC×AA×24×896.52018·杭州模拟已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积解 如图所示，在三棱台 ABCABC中，O，O 分别为上、下底面的中心，D，D分别是 BC，BC的中点，则 DD是等腰梯形 BCCB的高，又 AB20 cm，AB30 cm，所以 S 侧3××(2030)×DD75DD.S 上S 下×(202302)325(cm2)由 S 侧S 上S 下，得 75DD325，所以 DD cm，又因为 OD×20(cm)，OD×305(cm)，所以棱台的高 hOO 4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V(S 上S 下)×(325 334× 20 × 30)1900(cm3)故棱台的体积为 1900 cm3.