高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-3圆的方程教师用书.doc

1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-39-3 圆的方程教师用书圆的方程教师用书1圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆圆心(a，b)标准(xa)2(yb)2r2(r>0)半径为r充要条件：D2E24F>0圆心坐标：( ， )D 2E 2方程一般x2y2DxEyF0半径r1 2 D2E24F【知识拓展】1确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D、E、F 的方程组；(3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程2点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2；2 / 16(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2>r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)20.( )(4)方程 x22axy20 一定表示圆( × )(5)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则xyDx0Ey0F0.( )1(教材改编)将圆 x2y22x4y10 平分的直线是( )Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30答案 C解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项 C 满足2方程 x2y2mx2y30 表示圆，则 m 的范围是( )A(，)(，)B(，2)(2，)C(，)(，)D(，2)(2，)答案 B3 / 16解析 将 x2y2mx2y30 化为圆的标准方程得(x)2(y1)213.由其表示圆可得2>0，解得 m2.3(教材改编)圆 C 的圆心在 x 轴上，并且过点 A(1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为_答案 (x2)2y210解析 设圆心坐标为 C(a,0)，点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，|CA|CB|，即，解得 a2，圆心为 C(2,0)，半径|CA|，圆 C 的方程为(x2)2y210.4(2016·浙江)已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案 (2，4) 5解析 由已知方程表示圆，则 a2a2，解得 a2 或 a1.当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当 a1 时，原方程为 x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，4 / 16表示以(2，4)为圆心，半径为 5 的圆.题型一 求圆的方程例 1 (1)(2016·天津)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为，则圆 C 的方程为_(2)(2015·课标全国)一个圆经过椭圆1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_答案 (1)(x2)2y29 (2)2y225 4解析 (1)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a>0，所以圆心到直线 2xy0 的距离 d，解得 a2，所以圆 C 的半径 r|CM|3，所以圆 C 的方程为(x2)2y29.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，2)三点，(4,0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为y12(x2)，令 y0，解得 x，圆心为，半径为.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据5 / 16已知条件列出关于 D、E、F 的方程组，进而求出 D、E、F 的值(2016·湖北八校联考)已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点A(1,0)，且被 x 轴分成两段弧，弧长之比为 12，则圆 C 的标准方程为_答案 x2(y±)24 3解析 圆 C 关于 y 轴对称，可设 C(0，b)，设圆 C 的半径为 r，则圆 C 的标准方程为 x2(yb)2r2，依题意，得解得Error!于是圆 C 的标准方程为 x2(y±)2.题型二 与圆有关的最值问题例 2 (2016·盐城检测)已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上求 xy 的最大值和最小值解 设 txy，则 yxt，t 可视为直线 yxt 的在 y 轴上的截距，xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在 y 轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得 t1 或 t1.xy 的最大值为1，最小值为1.引申探究1在例 2 的条件下，求的最大值和最小值6 / 16解 可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线的方程为 ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得 k2或 k2.的最大值为2，最小值为2.2在例 2 的条件下，求的最大值和最小值解 ，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定点(1,2)的距离为，的最大值为1，最小值为1.思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如 taxby 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2 型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx 的最小值；7 / 16(3)x2y2 的最大值和最小值解 (1)如图，方程 x2y24x10 表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆设k，即 ykx，则圆心(2,0)到直线 ykx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值由，解得 k23，kmax，kmin.(2)设 yxb，则 yxb，当且仅当直线 yxb 与圆切于第四象限时，在 y 轴上的截距 b 取最小值，由点到直线的距离公式，得，即 b2±，故(yx)min2.(3)x2y2 是圆上的点与原点的距离的平方，故连接 OC，与圆交于 B 点，并延长交圆于 C，则(x2y2)max|OC|2(2)274，(x2y2)min|OB|2(2)274.题型三 与圆有关的轨迹问题例 3 (2016·潍坊模拟)已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若PBQ90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程8 / 16解 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y)因为 P 点在圆 x2y24 上，所以(2x2)2(2y)24，故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x，y)，在 RtPBQ 中，|PN|BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10.思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等(2016·天津模拟)设定点 M(3,4)，动点 N 在圆x2y24 上运动，以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹解 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为，线段 MN 的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，9 / 16故，.从而Error!又 N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点 P 在直线 OM 上的情况)23利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C 的方程思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线 yx26x1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题规范解答解 一般解法 (代数法)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32，0)，(32，0)，设圆的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，则有解得Error!故圆的方程是 x2y26x2y10.巧妙解法 (几何法)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设 C 的圆心为(3，t)，则有 32(t1)2(2)2t2，解得 t1.10 / 16则圆 C 的半径为3，所以圆 C 的方程为(x3)2(y1)29.1已知点 A(1，1)，B(1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是 ( )Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y24答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0)，|AB|2，圆的方程为 x2y22.2(2016·南昌检测)圆心在 y 轴上，且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是( )Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0答案 B解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为 r，则 32(r1)2r2，解得 r5，可得圆的方程为 x2y210y0.3(2016·福州质检)设圆的方程是 x2y22ax2y(a1)20，若 0a1，则原点与圆的位置关系是 ( )A原点在圆上 B原点在圆外C原点在圆内 D不确定11 / 16答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为0a1，所以(0a)2(01)22a(a1)20，即，所以原点在圆外4点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，xy4，连线中点坐标为(x，y)，则Error!代入 xy4 中得(x2)2(y1)21.5(2016·绵阳诊断)圆 C 的圆心在 y 轴正半轴上，且与 x 轴相切，被双曲线 x21 的渐近线截得的弦长为，则圆 C 的方程为( )Ax2(y1)21 Bx2(y)23Cx2(y1)21 Dx2(y)23答案 A解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆 C 的圆心坐标是(0,1)、半径是 1，因此其方程是 x2(y1)21.6(2016·九江模拟)已知 P 是直线 l：3x4y110 上的动点，12 / 16PA，PB 是圆 x2y22x2y10 的两条切线(A，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形 PACB 的面积的最小值是( )A. B2 C. D23答案 C解析 圆的方程可化为(x1)2(y1)21，则 C(1,1)，当|PC|最小时，四边形 PACB 的面积最小，|PC|min2，此时|PA|PB|.所以四边形 PACB 的面积 S2×××1，故选 C.7(2017·杭州质检)设直线 l1：mx(m1)y10(mR)，则直线 l1 恒过定点_；若直线 l1 为圆 x2y22y30 的一条对称轴，则实数 m_.答案 (1,1) 2解析 l1 方程变形为 m(xy)y10，令得Error!l1 恒过定点(1,1)l1 过圆心(0，1)，则 m110，m2.8(2016·南昌模拟)若圆 C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y1 相切，则圆 C 的方程是_答案 (x2)2(y)225 4解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)13 / 16又因为圆与直线 y1 相切，所以|1m|，解得 m.所以圆 C 的方程为(x2)2(y)2.9圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2，则圆 C 的标准方程为_答案 (x2)2(y1)24解析 设圆 C 的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得 a2b>0，且 a2()2b2，解得 a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.10(2016·浙江五校高三第二次联考)直线 mxy40 与直线xmy40 相交于点 P，则 P 到点 Q(5,5)的距离|PQ|的取值范围是_答案 ，5解析 直线 mxy40 过定点 A(0,4)，直线 xmy40 过定点B(4,0)，且两直线互相垂直，所以点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，圆心 K(2,2)，r2.又|QK|3，所以32|PQ|325，即|PQ|的取值范围是，511已知圆 C 经过 P(4，2)，Q(1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段的长为 4，半径小于 5.14 / 16(1)求直线 PQ 与圆 C 的方程；(2)若直线 lPQ，且 l 与圆 C 交于点 A，B，且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线 l 的方程解 (1)由题意知直线 PQ 的方程为 xy20.设圆心 C(a，b)，半径为 r，由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 yx，即 yx1，所以 ba1.由圆 C 在 y 轴上截得的线段的长为 4，知 r212a2，可得(a1)2(b3)212a2，由得 a1，b0 或 a5，b4.当 a1，b0 时，r213，满足题意，当 a5，b4 时，r237，不满足题意故圆 C 的方程为(x1)2y213.(2)设直线 l 的方程为 yxm(m2)，A(x1，mx1)，B(x2，mx2)由题意可知 OAOB，即·0，x1x2(mx1)(mx2)0，化简得 2x1x2m(x1x2)m20.由得2x22(m1)xm2120，x1x2m1，x1x2，15 / 16代入，得 m212m·(1m)m20，m4 或 m3，经检验都满足题意，直线 l 的方程为 xy40 或 xy30.12(2016·宁波五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x轴上截得线段长为 2，在 y 轴上截得线段长为 2.(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为，求圆 P 的方程解 (1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.则 y22r2，x23r2.y22x23，即 y2x21.P 点的轨迹方程为 y2x21.(2)设 P 点的坐标为(x0，y0)，则，即|x0y0|1.y0x0±1，即 y0x0±1.当 y0x01 时，由 yx1，得(x01)2x1.r23.圆 P 的方程为 x2(y1)23.当 y0x01 时，由 yx1，得(x01)2x1.r23.圆 P 的方程为 x2(y1)23.综上所述，圆 P 的方程为 x2(y±1)23.*13.已知 M 为圆 C：x2y24x14y450 上任意一点，且点16 / 16Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求的最大值和最小值解 (1)由圆 C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2.又|QC|4.所以|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，则k.由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以2，可得 2k2，所以的最大值为 2，最小值为 2.