高考数学一轮复习第5章数列第4节数列求和教师用书文北师大版.doc

1第四节第四节 数列求和数列求和考纲传真 1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；na1an 2nn1 2(2)等比数列的前n项和公式：SnError!2分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)裂项时常用的三种变形： ；1 nn11 n1 n1；1 2n12n11 2(1 2n11 2n1).1nn1n1n4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解5倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf (n)类型，可采用两项合并求解2例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前n项和Sn.( )a1an1 1q(2)当n2 时，.( )1 n211 2(1 n11 n1)(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得( )(4)如果数列an是周期为k(k为大于 1 的正整数)的周期数列，那么SkmmSk.( )答案 (1) (2) (3)× (4)2(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于( )1 nn1A1 B5 6C. D1 61 30B B an ，1 nn11 n1 n1S5a1a2a51 .1 21 21 31 65 63(2016·广东中山华侨中学 3 月模拟)已知等比数列an中，a2·a84a5，等差数列bn中，b4b6a5，则数列bn的前 9 项和S9等于( )A9 B18C36 D72B B a2·a84a5，即a4a5，a54，2 5a5b4b62b54，b52，S99b518，故选 B.4若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_.【导学号：66482259】2n12n2 Sn2n12n2.212n 12n12n1 253·214·225·23(n2)·2n_.4 设S3× 4×5×(n2)×，n4 2n1 21 221 231 2n3则S3×4×5×(n2)×.1 21 221 231 241 2n1两式相减得S3× .1 21 2(1 221 231 2n)n2 2n1S3(1 21 221 2n1)n2 2n34.1 21(1 2)n1112n2 2nn4 2n分组转化求和(2016·北京高考)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和解 (1)设等比数列bn的公比为q，则q 3，b3 b29 3所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(n1,2,3，). 2 分b2 q设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427，所以 113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，). 5 分(2)由(1)知an2n1，bn3n1.因此cnanbn2n13n1. 7 分从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2. 12 分n12n1 213n 133n1 2规律方法 分组转化法求和的常见类型(1)若an bn±cn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和4(2)通项公式为anError!的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和易错警示：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论变式训练 1 (2016·浙江高考)设数列an的前n项和为Sn，已知S24，an12Sn1，nN N*.(1)求通项公式an；(2)求数列|ann2|的前n项和解 (1)由题意得Error!则Error!2 分又当n2 时，由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an，得an13an，所以数列an的通项公式为an3n1，nN N*. 5 分(2)设bn|3n1n2|，nN N*，则b12，b21.当n3 时，由于 3n1>n2，故bn3n1n2，n3. 8 分设数列bn的前n项和为Tn，则T12，T23，当n3 时，Tn3，913n2 13n7n2 23nn25n11 2所以TnError!12 分裂项相消法求和(2016·重庆南开二诊)若An和Bn分别表示数列an和bn的前n项的和，对任意正整数n，an2(n1)，3AnBn4n.(1)求数列bn的通项公式；(2)记cn，求cn的前n项和Sn.2 AnBn解 (1)由于an2(n1)，an为等差数列，且a14. 2 分Ann23n，na1an 2n42n2 2Bn3An4n3(n23n)4n3n25n，当n1 时，b1B18，当n2 时，bnBnBn13n25n3(n1)25(n1)6n2.由于b18 适合上式，bn6n2. 5 分(2)由(1)知cn2 AnBn2 4n28n，7 分1 4(1 n1 n2)5SnError!1 4Error!1 4(11 21 n11 n2) . 12 分3 81 4(1 n11 n2)规律方法 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵捎，要注意消去了哪些项，保留了哪些项，从而达到求和的目的2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项变式训练 2 (2017·石家庄一模)已知等差数列an中，2a2a3a520，且前 10项和S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和1 anan1【导学号：66482260】解 (1)由已知得Error!解得Error!3 分所以数列an的通项公式为an12(n1)2n1. 5 分(2)bn，8 分1 2n12n11 2(1 2n11 2n1)所以Tn1 2(11 31 31 51 2n11 2n1). 12 分1 2(11 2n1)n 2n1错位相减法求和(2016·山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.an1n1 bn2n解 (1)由题意知当n2 时，anSnSn16n5.当n1 时，a1S111，符合上式6所以an6n5. 2 分设数列bn的公差为d.由Error!即Error!解得Error!所以bn3n1. 5 分(2)由(1)知cn3(n1)·2n1. 7 分6n6n1 3n3n又Tnc1c2cn，得Tn3×2×223×23(n1)×2n1，2Tn3×2×233×24(n1)×2n2，9 分两式作差，得Tn3×2×2223242n1(n1)×2n23×4412n 12n1 × 2n23n·2n2，所以Tn3n·2n2. 12 分规律方法 1.如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an·bn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，若bn的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况讨论2在书写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐” ，即公比q的同次幂项相减，转化为等比数列求和变式训练 3 (2016·广东肇庆第三次模拟)已知等差数列an的前n项和Sn满足S36，S515.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.an 2an解 (1)设等差数列an的公差为d，首项为a1.S36，S515，Error!即Error!解得Error!3 分an的通项公式为an a1(n1)d1(n1)×1n. 5 分(2)由(1)得bn，6 分an 2ann 2nTn ，1 22 223 23n1 2n1n 2n式两边同乘 ， 得1 27Tn，1 21 222 233 24n1 2nn 2n1得Tn 1 21 21 221 231 2nn 2n11，10 分1 2(11 2n)112n 2n11 2nn 2n1Tn2. 12 分1 2n1n 2n思想与方法解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和易错与防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论2利用裂项相消法求和的注意事项：(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.1 anan11 d(1 an1 an1)1 anan21 2d(1 an1 an2)