高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关系教师用书文新人教A版.doc

1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 8 8 章平面解析几何章平面解析几何第第 2 2 节两条直线的位置关系教师用书文新人教节两条直线的位置关系教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2k1k2.当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线 l1，l2 的斜率存在，设为 k1，k2，则有l1l2k1·k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组的解3距离2 / 12P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|d点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离d|Ax0By0C|A2B2平行线AxByC10 与AxByC20 间的距离d|C1C2|A2B21(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“×”)(1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.( )(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( )(3)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为.( )(4)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.( )(5)若点 P，Q 分别是两条平行线 l1，l2 上的任意一点，则P，Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离( )答案 (1)× (2)× (3)× (4) (5)2(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a 等于( )A. B22C.1D.1C C 由题意得由题意得1 1，即，即|a|a1|1|，又 a>0，a1.3直线 l：(a2)x(a1)y60，则直线 l 恒过定点_3 / 12(2，2) 直线 l 的方程变形为 a(xy)2xy60，由解得 x2，y2，所以直线 l 恒过定点(2，2)4已知直线 l1：ax(3a)y10，l2：x2y0.若l1l2，则实数 a 的值为_2 2 由由2 2，得，得 a a2.2.5已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是_2 2 ，mm8 8，直线 6xmy140 可化为 3x4y70，两平行线之间的距离 d2.两条直线的平行与垂直(1)设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2017·青岛模拟)过点(1,3)且垂直于直线 x2y30的直线方程为( )A2xy10B2xy50Cx2y50Dx2y70(1)A (2)A (1)当 a1 时，显然 l1l2，若 l1l2，则 a(a1)2×10，所以 a1 或 a2.所以 a1 是直线 l1 与直线 l2 平行的充分不必要条件(2)直线 x2y30 的斜率为，从而所求直线的斜率为2.又直线过点(1,3)，4 / 12所以所求直线的方程为 y32(x1)，即 2xy10.规律方法 1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件2在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论另外当 A2B2C20 时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便变式训练 1 已知过点 A(2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2xy10 为 l2，直线 xny10 为 l3.若l1l2，l2l3，则实数 mn 的值为( )A10 B2 C0 D8A A l1l2l1l2，kABkAB2 2，解得，解得 m m8.8.又l2l3，×(2)1，解得 n2，mn10.两直线的交点与距离问题(1)直线 l 过点 P(1,2)且到点 A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为_(2)过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 l1：2xy20和 l2：xy30 所截的线段 AB 以 P 为中点，求此直线 l 的方程. 【导学号：31222289】(1)x3y50 或 x1 法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，5 / 12直线 l 的方程为 y2(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意法二：当 ABl 时，有 kkAB，直线 l 的方程为y2(x1)，即 x3y50.当 l 过 AB 中点时，AB 的中点为(1,4)，直线 l 的方程为 x1.故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.(2)设直线 l 与 l1 的交点为 A(x0，y0)，则直线 l 与 l2 的交点B(6x0，y0)，2 分由题意知解得 6 分即 A，从而直线 l 的斜率 k8，10 分直线 l 的方程为 y8(x3)，即 8xy240.12 分规律方法 1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数2利用距离公式应注意：点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离d|x0a|，到直线 yb 的距离 d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等变式训练 2 若直线 l 过点 A(1，1)与已知直线l1：2xy60 相交于 B 点，且|AB|5，求直线 l 的方程解 过点 A(1，1)与 y 轴平行的直线为 x1.解方程组求得 B 点坐标为(1,4)，此时|AB|5，即直线 l 的方程为 x1.4 分设过点 A(1，1)且与 y 轴不平行的直线为 y1k(x1)，6 / 12解方程组Error!得 x且 y(k2，否则 l 与 l1 平行)则 B 点坐标为.8 分又 A(1，1)，且|AB|5，所以 2252，解得 k.10 分因此 y1(x1)，即 3x4y10.综上可知，所求直线的方程为 x1 或 3x4y10.12 分对称问题(1)平面直角坐标系中直线 y2x1 关于点(1,1)对称的直线方程是_(2)光线从 A(4，2)点射出，到直线 yx 上的 B 点后被直线 yx 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(1,6)，则 BC 所在的直线方程是_(1)y2x3 (2)10x3y80 (1)法一：在直线 l 上任取一点 P(x，y)，其关于点(1,1)的对称点 P(2x,2y)必在直线y2x1 上，2y2(2x)1，即 2xy30.因此，直线 l 的方程为 y2x3.法二：由题意，l 与直线 y2x1 平行，设 l 的方程为2xyc0(c1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，解得 c3.因此所求直线 l 的方程为 y2x3.法三：在直线 y2x1 上任取两个点 A(0,1)，B(1,3)，则点A 关于点(1,1)对称的点 M(2,1)，B 关于点(1,1)对称的点N(1，1)由两点式求出对称直线 MN 的方程为，即 y2x3.(2)作出草图，如图所示，设 A 关于直线 yx 的对称点为7 / 12A，D 关于 y 轴的对称点为 D，则易得 A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与 C.故 BC 所在的直线方程为，即 10x3y80.迁移探究 1 在题(1)中“将结论”改为“求点 A(1,1)关于直线 y2x1 的对称点” ，则结果如何？解 设点 A(1,1)关于直线 y2x1 的对称点为 A(a，b)，2 分则 AA的中点为，4 分所以解得 10 分故点 A(1,1)关于直线 y2x1 的对称点为.12 分迁移探究 2 在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线 xy0 对称” ，则结果如何？解 在直线 y2x1 上任取两个点 A(0,1)，B(1,3)，则点A 关于直线 xy0 的对称点为 M(1,0)，点 B 关于直线 xy0 的对称点为 N(3,1)，6 分根据两点式，得所求直线的方程为，即 x2y10.12 分规律方法 1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称2解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上变式训练 3 (2017·广州模拟)直线 x2y10 关于直线xy20 对称的直线方程是( )Ax2y10 B2xy108 / 12C2xy30Dx2y30B B 由题意得直线由题意得直线 x x2y2y1 10 0 与直线与直线 x xy y2 20 0 的交点坐标的交点坐标为为(1,1)(1,1)在直线 x2y10 上取点 A(1,0)，设 A 点关于直线 xy20 的对称点为 B(m，n)，则解得Error!故所求直线的方程为，即 2xy10.思想与方法1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1l2k1k2；l1l2k1·k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法易错与防范1判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑2(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y的系数对应相等课时分层训练课时分层训练( (四十六四十六) )两条直线的位置关系两条直线的位置关系A 组 基础达标(建议用时：30 分钟)9 / 12一、选择题1已知点 A(1，2)，B(m,2)且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x2y20，则实数 m 的值是( )A2 B7 C3 D1C C 因为线段因为线段 ABAB 的中点在直线的中点在直线 x x2y2y2 20 0 上，代入解得上，代入解得m m3.3.2(2016·北京高考)圆(x1)2y22 的圆心到直线yx3 的距离为( )A1B2 C.D22C C 圆心坐标为圆心坐标为( (1,0)1,0)，所以圆心到直线，所以圆心到直线 y yx x3 3 即即x xy y3 30 0 的距离为的距离为.3若直线(a1)x2y0 与直线 xay1 互相垂直，则实数a 的值等于( )A1B0 C1D2C C 由由××1 1，得，得 a a1 12a2a，故，故 a a1.1.4直线 mxy2m10 经过一定点，则该定点的坐标是( )A(2,1)B(2,1)C(1，2)D(1,2)A A mxmxy y2m2m1 10 0，即，即 m(xm(x2)2)y y1 10.0.令得故定点坐标为(2,1)5若直线 l1：yk(x4)与直线 l2 关于点(2,1)对称，则直10 / 12线 l2 经过定点( )【导学号：31222290】A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4，2)B B 直线直线 l1l1：y yk(xk(x4)4)经过定点经过定点(4,0)(4,0)，其关于点，其关于点(2,1)(2,1)对称对称的点为的点为(0,2)(0,2)，又直线，又直线 l1l1：y yk(xk(x4)4)与直线与直线 l2l2 关于点关于点(2,1)(2,1)对称，对称，故直线故直线 l2l2 经过定点经过定点(0,2)(0,2) 二、填空题6(2017·深圳模拟)直线 l1 的斜率为 2，l1l2，直线 l2 过点(1,1)且与 y 轴交于点 P，则 P 点坐标为_【导学号：31222291】(0,3) 因为 l1l2，且 l1 的斜率为 2，则直线 l2 的斜率k2.又直线 l2 过点(1,1)，所以 l2 的方程为 y12(x1)，整理得 y2x3.令 x0，得 y3，所以 P 点坐标为(0,3)7已知直线 l1 与 l2：xy10 平行，且 l1 与 l2 的距离是，则直线 l1 的方程为_xy10 或 xy30 设直线 l1 的方程为xyC0(C1)，由题意知，即|C1|2，解得 C1 或 C3，因此直线 l1 的方程为 xy10 或 xy30.三、解答题11 / 129求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线 l3：3x5y60 的直线 l 的方程【导学号：31222292】解 由方程组得 l1，l2 的交点坐标为(1,2).5 分l3 的斜率为，l 的斜率为，8 分则直线 l 的方程为 y2(x1)，即 5x3y10.12 分10已知直线 l：(2ab)x(ab)yab0 及点 P(3,4)(1)证明直线 l 过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程解 (1)证明：直线 l 的方程可化为 a(2xy1)b(xy1)0，由得 2 分直线 l 恒过定点(2,3).5 分(2)设直线 l 恒过定点 A(2,3)，当直线 l 垂直于直线 PA 时，点 P 到直线 l 的距离最大.7 分又直线 PA 的斜率 kPA，直线 l 的斜率 kl5.10 分故直线 l 的方程为 y35(x2)，即 5xy70.12 分B 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1(2015·广东高考)平行于直线 2xy10 且与圆x2y25 相切的直线的方程是( )A2xy0 或 2xy0B2xy0 或 2xy0C2xy50 或 2xy5012 / 12D2xy50 或 2xy50D D 切线平行于直线切线平行于直线 2x2xy y1 10.0.设切线方程为 2xyc0.依题意，得，则 c±5.2(2017·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点 P 的直线l：axy10 与过定点 Q 的直线 m：xay30 相交于点 M，则|MP|2|MQ|2 的值为_1010 由题意知由题意知 P(0,1)P(0,1)，Q(Q(3,0)3,0)，过定点 P 的直线 axy10 与过定点 Q 的直线xay30 垂直，M 位于以 PQ 为直径的圆上|PQ|，|MP|2|MQ|2|PQ|210.3若 m0，n0，点(m，n)关于直线 xy10 的对称点在直线 xy20 上，求的最小值解 易知点(m，n)关于直线 xy10 的对称点为M(1n,1m).3 分又点 M(1n,1m)在直线 xy20 上，1n(1m)20，即 mn2.6 分于是(mn)11·22，10 分当且仅当 mn1 时，上式等号成立因此的最小值为 2.12 分