控制系统的稳定性及其分析.ppt

第4章控制系统的稳定性及其分析 v4.1 系统的稳定性 v4.2 系统的稳定性判据 v4.3 系统的稳定裕量 v4.4 液压仿形刀架控制系统的 综合分析与计算4.1 系统的稳定性 v线性系统的稳定性是系统自身的固有特性，它和系统的输入信号 无关，仅取决于特征方程的根。v系统稳定的充分和必要条件是闭环系统的特征方程的根均具有负 实部。v系统的稳定性分为大范围内稳定和小范围内稳定。v大范围内稳定是指如果系统受到扰动后，不论它的初始偏差多大，都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。v小范围内稳定是指如果系统受到扰动后，只有当它的初始偏差小 于某一定值时，才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态。v线性的稳定系统必须在大范围和小范围内都稳定。v而非线性系统或者是线性化后的非线性系统只是在小范围内稳定，而在大范围内却不稳定。4.2 系统的稳定性判据 v控制系统稳定的必要和充分条件是闭环传递函数的全部极点（即特征方程的根）均位于s平面左半部，即闭环系统特征方程的根均具有负实部，则系统稳定。v系统的稳定判据有解方程稳定判据，劳斯稳定判据，奈魁斯特稳定判据和对数幅相频率特性稳定判据等。1解方程稳定判据（求解闭环传递函数特征方程法）Xi(s)Xo(s)图4.1 系统传递框图 v 判断如图4.1所示单位负反馈系统是否稳定。其系统闭环传递函数为 特征方程为 特征方程的根为 可见，此系统两个根均具有负实部，所以系统稳定。从控制系统稳定性的判断上为什么不只用解方程稳定判据，而提出其它稳定性判据，其原因是求解三阶以上特征方程非常困难。2劳斯稳定判据v劳斯稳定判据是利用闭环系统特征方程的系数来进行稳定性判断。该判据是从稳定的必要条件和充分条件两方面来判断。（1）稳定的必要条件 闭环系统特征方程的各项系数均为正实数值。（2）稳定的充分条件劳斯阵列的第一列中所有项都具有正号。如闭环系统的特征方程为按特征方程列写劳斯行列表式中各项可写成行列式 给定一闭环系统的特征方程为 ,求当k等于何值时系统才稳定。首先进行必要条件的判断，即特征方程的各项系数均应大于零，即 k0，然后再进行充分条件的判断。现列写特征方程的劳斯行列表为 k-6211根据劳斯阵列第一列均应为正值，则 ,这样由不等式可知,当 时系统是稳定的。kckbcsbsksso=-=-=1111123 333 321如再给定一闭环系统的特征方程为s5-2s4+2s3+4s2-11s-10=0,判断系统是否稳定，如若不稳定有多少个极点在S平面的右半部。首先进行必要条件的判断就没有满足，此系统不稳定。但是要知有多少个极点在S平面的右半部，列劳斯阵列表为s5 1 2 -11s4 -2 4 -10s3 b1=4 b2=-16 0 s2 c1=-4c2=-10s1 d1=-26 s0-10 v劳斯阵列第一列变换三次符号，即说明有三个极点在S平面右半部。第一列中的符号变换次数即为正实部根数。由此可见劳斯稳定判据有三个功能：可进行稳定性判断。可判断不稳定情况下有几个正实部根，即有几个极点在S平面右半部。可求控制系统的增益，即放大系数K。3奈魁斯特稳定判据（简称奈氏判据）v奈氏判据是按开环传递函数的幅相频率特性（奈氏图或称极坐标图）来判断闭环系统是否稳定。v如何判断要根据系统开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。（1）开环状态下是稳定的（即是开环传递函数特征方程在S平面右半部无极点，即m=0。一般习惯上把开环系统积分环节的零根作为左根处理），闭环状态下稳定的充分和必要条件是：开环幅相频率特性G(s)H(s)曲线不包围S平面上的（-1，j o）点。（2）开环状态下是不稳定的（其开环传递函数的特征方程在S平面右半部有m个极点）闭环状态下稳定的充分和必要条件是：当从-到+时，开环幅相频率特性G(s)H(s)曲线逆时针方向包围（-1，j o）点m周。如果 从0到 时，开环幅相频率特性曲线应逆时针方向包围（-1，j o）点应为 周。图4.2(a)和(b)分别是在开环下稳定和不稳定的状态下，而 取值为0到 ，判断其系统是否稳定，经判断两系统均稳定。=0Re=+ImIm=0（-1，j0）(a)m=0Re=+（-1，j0）ss(b)m=2图4.2 开环幅相频率特性曲线4对数幅相频率特性稳定判据 v该判据是按开环传递函数的对数幅相频率特性（波德图）来判断闭环系统是否稳定。v如何进行判断也要根据开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。（1）开环状态下是稳定的（开环传递函数的特征方程在S平面右半部无极点，即m=0），则闭环状态下稳定的必要和充分条件是：在对数幅频特性的所有频率范围内 ，相频特性曲线 在 线上的正负穿越次数之差为零。(由 线下方向上穿越为正穿越，由 线上方向下穿越为负穿越)。某一系统的波德图如图4.3所示，该系统m=0，从图中可见正负穿越各一次，则系统稳定。图4.3 开环对数幅相频率特性曲线L()-180o0(+)(-)（2）开环状态下不稳定（其开环传递函数特征方程有m个根在S平面的右半部），则闭环状态下稳定的必要和充分条件是：在所有 的所有频率范围内，相频特性曲线 在 线上的正负穿越次数之差为 。两系统的波德图如图4.4的（a）和(b)所示。当m=2时，判断系统是否稳定。图（a）正负穿越次数之差为-1，所以系统不稳定。图（b）正负穿越次数之差为+1，所以系统稳定。(-)(+)(-)(+)(+)(b)m=2(a)m=2(-)-180o00-180oL()L()图4.4 开环对数幅相频率特性曲线4.3 系统的稳定裕量v设置系统稳定裕量的原因有五个方面：系统数学模型的简化，造成与实际系统有一定的误差。非线性系统的线性化。系统有关元件参数近似获得或实验获得，会存在一定误差。系统工作时元器件性能及参数有可能发生变化。难以预料的外部干扰。v稳定裕量是用来衡量一个稳定的系统距离不稳定的程度。不同的稳定判断，对稳定裕量的表述也不一样。1奈氏稳定判据的稳定裕量v根据奈氏稳定判据，对于开环稳定的系统（m=0），闭环系统稳定充分和必要条件是幅相频率特性（奈氏图）不包围（-1,j o）点。稳定裕量则是衡量幅相频率特性曲线距离（-1,j o）点的远近程度，距离越远稳定裕量越大。图4.5表示了稳定及稳定裕量等有关参数的相关关系。单位圆Re=(-1,j0)pIm=0图4.5 开环系统幅相频率特性曲线 v衡量系统稳定程度即稳定裕量有两个指标：（1）幅值裕量（也称增益裕量或幅值储备），可用 来表示。它等于开环相角 时开环幅值的倒数，即 。应该说是在相位交界频率 下，值越大幅值裕量越小。从图4.5中可以看到，离原点越近，也就是离 点越远幅值裕量就越大。（2）相位裕量（也称相角裕量或相位储备），可用 表示。它是指开环频率特性的幅值 时，它的相角 与1800之间的差值，即 。或者说，相位裕量 是向量 与负实轴的夹角。是开环频率特性的幅值等于1时的频率，即增益交界频率（剪切频率）。若 角越小，则相位裕量越大。2对数幅相频率特性稳定判据的稳定裕量 v根据对数幅相频率特性稳定判据，对于开环稳定的系统（m=0），闭环稳定充分和必要条件是：在对数幅频特性 的所有频率范围内,相频特性曲线 在-线上的正负穿越次数之差为零。如若在此条件下无穿越，如图4.6所示，则系统也为稳定。(+)c-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec0(+)-180o-90o0o图4.6 对数幅相频率特性曲线v若根据对数幅相频率特性判断其系统的稳定裕量。定义 为负值时（），增益裕量为正。当 增大，则幅值裕量增加。v当增益裕量以分贝表示时，如果 ，则增益裕量定为正值，当 ,增量裕量定为负值，正增益裕量说明系统稳定。对于稳定的最小相位系统（即是系统的开环传递函数在s平面的右半部没有零点、极点的系统）而言，正增益裕量指出了系统在变成不稳定的系统时，增益可增加多少。对于不稳定的系统而言，负增益裕量指出了若使系统稳定，增益应减少多少。例 试确定如图4.7所示的单位负反馈系统的稳定条件,即K值的取值范围。并试求当K=10和K=100时，对数幅相频率特性稳定判据的相位裕量和增益裕量。Xo(s)Xi(s)图4.7 系统传递框图 v如若确定K值的取值范围,就要用劳斯稳定判据。判断此系统的稳定性,就要求此系统的闭环传递函数的特征方程,而后再确定令系统稳定的K值的取值范围。系统的闭环传递函数为：闭环系统的特征方程为 劳斯阵列为 当0K30时系统稳定。v下面按题目要求,求对数幅相频率特性稳定判据的相位裕量和增益裕量。当K=10时，开环传递函数为 系统由四个典型环节组成（1）比例环节 （2）积分环节 当 时，,则 为增益交界频率（3）惯性环节 此环节时间常数 则转角频率（交点频率）当 时，,可将 视为波德图渐近线的转角频率。当 时，（4）惯性环节 此环节时间常数 ,即转角频率 频率响应-20dB/dec0o-45o-90o-180o-270o=-30o=24.6oW(s)51100.130404626200610-60dB/dec-40dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-20dB/dec-20dB/dec-12dBW1(s)G2(s)G1(s)cG1(s)W2(s)G3(s)+10dBG4(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）v根据上述四个环节绘制 波德图,由图4.8可知：当K=10时，增益交界频率 ；相位裕量 ；相位交界频率 ；增益裕量等于10dB。由此可知幅值裕量和相位裕量均为正。如果作图准确的话,可以得到较为准确的裕量。0o-45o-90o-180o-270o51100.130404626200610cW1(s)-40dB/dec-60dB/dec-12dBG1(s)=24.6o=-30oW(s)-60dB/dec-40dB/decW2(s)-20dB/decG3(s)-20dB/decG2(s)+10dB-20dB/decG4(s)G1(s)图4.8 W1(s)和W2(s)波德图（K=10和K=100时）v若想获得更为精确的值，需通过下列计算获得。(1)求相位裕量 决定 的频率是波德图，从波德图看出，决定 位置的是G1(s)、G2(s)和G3(s)，而与G4(s)无关。则开环传递函数为则频率响应为 求增益交界频率 ，则 而增益交界频率 处的对数幅频特性为 所以取正值，则 决定相位裕量，则 其相位裕量为(2)求增益裕量 首先需求 的相位交界频率 ,也就是相频特性曲线与-1800线的交点，因为 ，。又因为 ,所以可通过G3（s）和G4（s）两环节就可确定相位交界频率 。由上式可见 应为 ，则 取正值v求W1（s）在相位交界频率 下的增益裕量，有两种方法，一是可以将 代入 中求，但比较麻烦，但也可以将 代入每个环节后叠加。当K=100时，与W1（s）相比,只有比例环节(k=20)有区别，其它环节均相同。其对数辐频特性为由此可见，与K=10相比，只是增加20dB,则做图时将W1（s）幅频特性曲线平行上移20dB，见图4.8。而相频特性曲线没有变化。4.4液压仿形刀架控制系统的综合分析与计算v液压仿型刀架如图4.9所示，系统由伺服阀、液压缸及仿形机构三部分组成。触头位移 受样板控制，杠杆牵动伺服阀阀芯产生位移 ，形成节流口的开度来控制油缸的位移 ，此位移又使节流口逐渐关小，直到恢复阀体相对阀芯的原始位置。这一运动过程是刀架完全跟踪仿形样板型面的运动过程。图4.9 液压仿形刀架结构原理图1液压仿形刀架系统物理模型的建立 所有在x方向运动的部件（包括刀架、液压缸体、伺服阀）的质量为m，运动部件与非运动部件（液压缸活塞及活塞杆和其它导向机构）间的粘滞阻尼系数为 ，活塞杆的刚度系数为k，F为切削力(可认为外扰动力)，AP为活塞有效工作面积，PL为油缸两腔压差（称为负载压差）PL=P1-P2，刀架位移为xo2液压仿形刀架系统数学模型的建立 液压仿形首先不考虑杠杆和样板仿形部分，而只考虑伺服阀和液压缸部分。（1）确定系统的输入量及输出量伺服阀输入量为阀芯位移xe，其输出量为负载流量QL，QL表示管路中流量的平均值为 ，如不考虑泄漏，则液压缸输入量为伺服阀的输出量，即负载流量QL。液压缸的输出量为液压缸也就是刀架的位移xo。在此应该注意在建立数学模型时，前一个环节的输出量应该是后一个环节的输入量，这样有利于解所建立的联立方程时中间变量的消除。（2）列写系统各环节的运动方程 伺服阀运动方程的建立 伺服阀特性曲线如图4.10所示。首先建立伺服阀在不同的开口量，即阀芯位移为 ，的情况下，负载流量QL与负载压差PL的函数关系。其xei、QL、PL的函数关系为 (4.1)图4.10 伺服阀特性曲线 PLQLPs 液压缸流量方程的建立 根据液压系统的质量守恒原则，建立液压缸两腔的连续方程左腔连续方程为 (4.2)右腔连续方程为 (4.3)式中 Cep液压缸外部泄漏系数（m5/Ns）；Cip液压缸内部泄漏系 数（m5/Ns）；P1液压缸左腔压力（MPa）；P2液压缸右腔压力（MPa）V1液压缸进油腔容积（m3）；V2液压缸回油腔容积（m3）；Q1液压缸进油流量（m3/s）；Q20液压缸回油流量（m3/s）；e液压缸有效容积弹性模数（N/m2），表示压力相对体积的 变化率。液压缸进油腔容积为液压缸回油腔容积为（4.4）（4.5）式中 V02，V01分别为液压缸左右两腔的初始容积，被认为是常数；AP 液压缸活塞的有效工作面积。液压缸左右两腔的总容积为式中V0活塞处于中间位置时左右腔的容积。对（4.4）式求导得 (4.6)对（4.5）式求导得 (4.7)液压缸两腔的压差为 (4.8)油泵的供油压力为 (4.9)（4.8）式加（4.9）式得 (4.10)（4.9）式减（4.8）式得 (4.11)油泵的供油压力恒定，则 =常数对（4.10）求导得 对（4.11）求导得 （4.12）式（4.2）减（4.3）后，并将（4.6）、（4.7）、（4.12）、（4.13）代入，得 （4.13）（4.14）令式中又因为由（4.14）式得（4.15）液压缸力平衡方程的建立 根据物理模型建立其液压缸力学方程则(4.16)非线性方程的线性化处理 非线性方程 的线性化，需取额定工作点 ，如图4.10所示。（4.17）引入泰勒公式进行线性化处理,若函数 在点 处的某一邻域内具有1至n阶导数 ，则泰勒公式为式中 拉格朗日型的余项，为高阶无穷小。根据系统对精度的要求，可选择其中几项，本系统拟选择前两项。则（4.1）式可展成为令式中 -流量放大系数；-流量压力系数。则（4.18）（4.18）与（4.17）两式的两端分别相减，得（4.19）式（4.19）表明了负载流量 、阀芯位移 和负载压差 之间的线性关系。可见随着阀的工作点不同，阀的系数 和 也在变化。因为伺服阀是在额定工作点处展开成线性，而且阀是工作在额定工作点附近，所以可将增量方程（4.19）写成（4.20）将（4.15）、（4.16）、（4.20）式拉氏变换，令初始条件为零则 (4.21)(4.22)(4.23)将式(4.22)改写为 (4.26)或 (4.27)由式(4.23)、(4.25)、(4.27)绘制传递框图4.12如下：由式(4.21)得 (4.24)或 (4.25)下图为由(4.23).(4.25).(4.27)绘制传递框图。图4.13负载压降与液压缸位移传递框图 由图4.13得 (4.29)由式(4.28)和式(4.26)得 (4.28)由式(4.29)得 (4.30)由式(4.30)得 (4.31)由式由式(4.32)变换得变换得由式由式(4.31)得得(4.32)(4.33)式中：为总流量压力系数。(4.34)式(4.33)给出了液压缸位移对伺服阀阀芯位移输入和负载扰动力F的响应特性。该式考虑因素全面，但比较复杂。一般情况下，要根据实际情况进行必要的简化。下边是忽略系统的弹性系数时的筒化模型。当k=0时，式(4.29)分母第三项 可写成 ，显然阻尼力 远远小于液压缸的输出力 ，泄漏损失流量 远小于液压缸运动所需的流量 ，故 ，则可以忽略。式(4.33)筒化后可写成如果式中 小到可以忽略不计，则或式中：无阻尼液压固有频率，；液压阻尼比，无量纲；速度常数(或称开环放大系数)，。(1)只考虑负载扰动力F，而不计输入信号 时的传递函数为(4.35)(2)只考虑伺服阀位移 ，而不考虑干扰力F时的传递函数为 (4.36)3液压仿形刀架系统传递函数的建立 建立以样板 为输入，刀架位移 为输出的传递函数。首先对只考虑伺服阀位移的（4.36）式进行拉氏变换，并令初始条件为零，则（4.37）（4.38）式中 是 引起的阀芯位移；是 引起的阀芯位移。对（4.38）式进行拉氏变换，并令初始条件为零，则建立 、与 的关系，由图4.14所示。（4.39）图4.14 阀芯位移示意图 由（4.37）式和（4.39）式建立系统传递框图如图4.15所示。图4.15 仿形刀架系统传递框图系统闭环传递函数为(4.40)如果令式中开环增益固有频率阻尼比则由（4.40）式得（4.41）则系统的闭环传递框图如图4.16所示。图4.16 仿形刀架系统传递框图其系统的开环传递函数为（4.42）4绘制系统的波德图首先给出有关参数的量值。伺服阀面积变化率 （即表示滑阀每移动0.01m，开口面积变化多少m2）；流量系数 ；油液密度 ；供油压力 ；液压缸有效容积弹性模数 ，杠杆比 ；总负载质量；液压缸行程H=0.11m；液压缸有效工作面积 ,阻尼比 。开环增益系统固有频率（1）绘制对数幅频特性曲线由（4.42）式知，系统的开环传递函数W(s)是由比例、积分和振荡环节组成的。所以应分别画三个环节的对数幅频特性曲线然后再叠加。比例环节积分环节 的增益交界频率 ，幅频曲线以-20dB/dec 斜率下降。振荡环节 转角频率 也是固有频率 （振荡环节的固有频 率 等于转角频率 ）,所以 ，并且幅频特性曲线 大于 段是以-40dB/dec斜率 下降，如图4.17所示。（2）绘制对数相频特性曲线 对数相频特性曲线的绘制，已知比例环节 ，积分环节 ，而振荡环节 在已知 的情况下，则所绘制的对数相频特性曲线如图4.17所示。-60dB/dec-20dB/dec11.7dBG1(s)W(s)G2(s)1(s)2(s)3(s)W(s)0o-90o-180o-270o()-40dB/decG3(s)L()6070504030201001101000010001000.1图4.17系统对数幅频特性曲线5系统稳定性判断 利用对数幅相频率特性的稳定判据进行判断。首先看开环状态下是否稳定，即开环传递函数的特征方程在s平面右半部有无极点，无极点为开环状态下稳定，而有极点为开环状态下不稳定，这时再分两种情况进行判断。开环传递函数的特征方程为此式积分环节的零根通常按负实根处理，而振荡环节的根为所以，此系统在开环状态下是稳定的，即m=0，那么闭环稳定的充分和必要条件是对数幅频特性 的所有频率 下，相频特性曲线 在 线正负穿越次数之差为0，由波德图看出确实没有穿越，故该系统稳定。6求系统的相位裕量和增益裕量（1）求系统的相位裕量 首先求三个环节叠加后的W(s)增益交界频率 ，从图4.17中可以得到。如果若想获得精确的相位裕量就要通过计算的方法。由图4.17可见 是由比例环节G1(s)和积分环节G2(s)的传递函数决定，即其频率响应为求增益交界频率 ，则即则相位裕量 ，若求 在已知增益交界频率 的情况下的相位裕量，可首先通过（4.40）式列写振荡环节 的相角，则 则再通过开环传递函数W(s)在 处三个环节相角的叠加求得总的相角，则则 相位裕量为另外，开环传递函数 在 处的相角还可以通过（4.40）式求得 则因为实部和虚部均为负值，所以相角应在第三象限，则所以（2）求系统的增益裕量 若求增益裕量，必须先求相位交界频率 ，即对数相频特性曲线与-180o线交点的频率 。为简化计算，因为积分环节是 ,所以只计算振荡环节与-90o线的交点频率 即可，如图4.14所示。而且是振荡环节的转角频率 ,所以 应等于系统的固有频率 。已知 也即 ，通过（4.28）式可求出相位交界频率下的幅值 ，即为增益裕量。由此上式可见频率特性虚部为零，则增益裕量为 所以，系统的增益裕量为+11.51dB。如果按三个环节分别计算后再叠加，由波德图4.17可见，则由此可见，两种计算方法所得增益裕量相差+4.437dB。其原因是因为 在 处的对数幅频特性是由渐近线获得，即如果将 代入下式计算可得 处的对数幅频特性值。则可见，当系统的相位交界频率 与振荡环节的固有频率 相等时将产生超调。第4章 复习题1.稳定性是针对开环系统还是闭环系统而言的？2.稳定性和稳定裕量分别保证系统在何种状态下工作？3.线性系统的稳定性与输入信号是否有关？4.系统的稳定判据有哪几种(回答四种即可)？它们的充 分和必要条件是什么？5.设置系统的稳定裕量原因有哪五个方面？6.画极座标图和波德图，分别示意相位裕量和增益裕量，同时在图上注明决定两个裕量的频率及其名称。7.掌握用计算方法求相位裕量和增益裕量的方法和步骤。